Aufgabe 2B

Eine Fluggesellschaft setzt auf einer bestimmten Flugstrecke immer Flugzeuge des gleichen Typs mit $320$ Sitzplätzen ein. Kunden der Fluggesellschaft, die einen Flug für diese Strecke gebucht haben, treten diesen erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ nicht an. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Passagiere, die den Flug nicht antreten.

Für ein Flugzeug dieses Typs sind für einen zufällig ausgewählten Flug auf dieser Strecke $320$ Tickets verkauft worden. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in diesem Flugzeug

mindestens $12$ Plätze frei bleiben,
mehr als $6$ aber weniger als $10$ Plätze frei bleiben,
mindestens $300$ aber höchstens $310$ Plätze genutzt werden.

Bestimme das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall, in dem die Anzahl der den Flug nicht antretenden Passagiere mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ liegt.

(14 BE)

Um Flugzeuge besser auszulasten, ist die Fluggesellschaft auf der betrachteten Strecke dazu übergegangen, für ihre Flüge mehr Tickets zu verkaufen als Plätze vorhanden sind. Passagiere, die nicht mit dem gebuchten Flugzeug transportiert werden können, werden von der Fluggesellschaft entschädigt. Betrachtet werden zufällig ausgewählte Flüge, für die jeweils $368$ Tickets verkauft worden sind. Interpretiere den Term

$\binom{368}{30}\cdot 0,05^{30}\cdot 0,95^{338}$

auch im Hinblick auf die Anzahl der zu entschädigenden Personen.

(3 BE)

Auf der betrachteten Strecke wollen $323$ Personen den Flug antreten. Die Passagiere werden von der Fluggesellschaft angesprochen, ob sie den Flug freiwillig später antreten würden. Passagiere entscheiden sich unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit $p$ für einen späteren Flug.
Berechne für $p = 0,15$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mitarbeiter genau $10$ Passagiere ansprechen muss, um die drei Passagiere zu finden, die freiwillig später fliegen. Begründe die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Der Term $1-(1-p)^k$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens $k$ Passagiere angesprochen werden müssen, um einen Passagier zu finden, der freiwillig später fliegt.

(7 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$ aus der Aufgabenstellung. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden, da die angegebene Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Passagier den Flug nicht antritt für jede Person gilt, unabhängig davon, wie viele der anderen Personen den Flug nicht antreten. Für die entsprechenden Parameter gilt $n= 320$ und $p= 0,05.$

Mit den Befehlen für die Binomialverteilung des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X\geq 12)\\[5pt] \approx& 87,93\,\% \\[10pt] &P(6\lt X \lt 10)\\[5pt] \approx&3,62\,\% \\[5pt] &P(10 \leq X \leq 20)\\[5pt] \approx& 83,43\,\% \end{array}$

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Screenshot einer statistischen Software mit Binomialverteilungseinstellungen und Berechnungsergebnissen.

Abb. 1: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ E: Binomial Cdf

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $87,93\,\%$ bleiben mindestens $12$ Plätze frei.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $3,62\,\%$ bleiben mehr als $6$ aber weniger als $10$ Plätze frei.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $83,43\,\%$ sind mindestens $300$ und höchstens $310$ Plätze belegt.

$\blacktriangleright$ Intervall bestimmen

Gesucht ist ein Intervall $[\mu-a; \mu +a],$ sodass folgende Wahrscheinlichkeit gilt:

$P(\mu - a \leq X \leq \mu +a) \geq 0,9$

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable ist $\mu = n\cdot p.$ Also gilt:

$\mu = 320\cdot 0,05 = 16$

Für das Intervall $[10;20]$ gilt in etwa die Wahrscheinlichkeit $83,43\,\%.$ Dieses kann als Richtwert zum Lösen durch Probieren genutzt werden. Mit dem GTR ergeben sich wie oben beispielsweise folgende Werte:

$a= 6:$ $P(10\leq X \leq 22)$ $\approx 0,9069$
$a=5:$ $P(11\leq X\leq 21)$ $\approx 0,8440$

Für $a=6$ erhält man also das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $90\,\%.$

Das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Anzahl der den Flug nicht antretenden Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ liegt, ist $[10;22].$

$\blacktriangleright$ Term interpretieren

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit $P(Y = 30)$ an, wobei $Y$ die Anzahl der Personen beschreibt, die ihren Flug bei $368$ gebuchten Tickets nicht antreten.
Der Term gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei $368$ Buchungen genau $30$ Passagiere ihren Flug nicht antreten. Es wären demnach immernoch $18$ Passagiere, die nicht in das Flugzeug passen und demnach entschädigt werden müssen.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Genau der zehnte Passagier muss der dritte sein, der freiwillig später fliegt. Unter den ersten neun Passagieren müssen dazu genau zwei Passagiere freiwillig später fliegen.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich daher mithilfe der Formel für die Binomialverteilung und der Pfadmultiplikationsregel zu:

$... \approx 3,90\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $3,90\,\%$ muss ein Mitarbeiter genau zehn Passagiere befragen, um drei Passagiere zu finden, die freiwillig mit einem späteren Flug fliegen.

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Terms begründen

Der zweite Teil des Terms $(1-p)^k$ beschreibt entsprechend der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter $k$ Passagieren nicht ein einziger befindet, der freiwillig später fliegt.
Durch Subtraktion von $1$ ergibt sich die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also dafür, dass sich unter $k$ Passagieren mindestens einer befindet, der freiwillig später fliegt.
Da die Befragung nach der ersten gefundenen Person endet, die freiwillig später fliegt, ist dies also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $k$ Personen befragt werden müssen um eine zu finden, die freiwillig später fliegt.

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$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mit den Befehlen für die Binomialverteilung des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X\geq 12)\\[5pt] \approx& 87,93\,\% \\[10pt] &P(6\lt X \lt 10)\\[5pt] \approx&3,62\,\% \\[5pt] &P(10 \leq X \leq 20)\\[5pt] \approx& 83,43\,\% \end{array}$

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Dialogfenster zur Berechnung einer binomialen kumulativen Verteilungsfunktion mit Eingabefeldern.

Abb. 1: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ diskret $\to$ binomialCDf

Screenshot einer Software mit Berechnungen zur binomialen kumulativen Verteilungsfunktion.

Abb. 2: Ergebnisse

$\blacktriangleright$ Intervall bestimmen

Gesucht ist ein Intervall $[\mu-a; \mu +a],$ sodass folgende Wahrscheinlichkeit gilt:

$P(\mu - a \leq X \leq \mu +a) \geq 0,9$

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable ist $\mu = n\cdot p.$ Also gilt:

$\mu = 320\cdot 0,05 = 16$

$a= 6:$ $P(10\leq X \leq 22)$ $\approx 0,9069$
$a=5:$ $P(11\leq X\leq 21)$ $\approx 0,8440$

Für $a=6$ erhält man also das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $90\,\%.$

Das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Anzahl der den Flug nicht antretenden Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ liegt, ist $[10;22].$

$\blacktriangleright$ Term interpretieren

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$... \approx 3,90\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $3,90\,\%$ muss ein Mitarbeiter genau zehn Passagiere befragen, um drei Passagiere zu finden, die freiwillig mit einem späteren Flug fliegen.

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Terms begründen

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