Aufgabe 1C

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=30x^3-90x^2+240$ beschrieben.
Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde. Abbildung 1 veranschaulicht den Sachverhalt.

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Abb. 1

Bestimme die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15:00 Uhr hat. Zeige, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15:00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute.

(4 BE)

Bestimme die Länge des Zeitraums, in dem die Geschwindigkeit höchstens $200$ aber mindestens $150$ Kilometer pro Stunde beträgt.

(3 BE)

Gib mögliche Werte $x_1$ und $x_2$ an, sodass gilt: $\(f$
Deute die Aussage $\(f$ im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.

(3 BE)

Bestimme einen Zeitraum, der frühestens um 14:59 Uhr beginnt und spätestens um 15:03 Uhr endet, in dem der ICE eine Strecke mit einer Länge von genau $7\,\text{km}$ zurücklegt.

(5 BE)

Untersuche, ob folgende Aussage richtig ist:
Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15:01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.

(6 BE)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=a\cdot\sin(b\cdot x)+c$ mit $a,b,c\in\mathbb{R}.$ Die Punkte $E_1(-2\mid-1)$ und $E_2(2\mid3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s.$

Bestimme die passenden Werte von $a,$ $b$ und $c.$
[Zur Kontrolle: $a=2,$ $b=\dfrac{\pi}{4},$ $c=1$ ]

(5 BE)

Berechne den Wert des Terms $\displaystyle\int_{-2}^{2}s(x)\;\mathrm dx.$ Beschreibe mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Abb. 2

(6 BE)

Die Punkte des Graphen von $s$ mit der $y$ -Koordinate $1$ sind die Wendepunkte des Graphen. Die $x$ -Koordinate der Wendepunkte ist ganzzahlig und ein Vielfaches von $4.$ Die Steigung des Graphen von $s$ in jedem seiner Wendepunkte ist entweder $-\dfrac{\pi}{2}$ oder $+\dfrac{\pi}{2}.$

Für jeden Wendepunkt des Graphen von $s$ wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt $P(2022\mid 2022)$ verläuft.
Untersuche, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den Graphen von $s$ ist.

(5 BE)

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Bestimmung der Geschwindigkeit

$f(0,5) = 30 \cdot 0,5^3 - 90 \cdot 0,5^2 + 240$
$f(0,5) = 221,25$

Die Geschwindigkeit des ICE beträgt eine halbe Minute nach 15:00 ca. $221 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}.$

Bestimmung der Geschwindigkeitsabnahme im ersten Intervall

$f(0)-f(0,5)= 30 \cdot 0^3 - 90 \cdot 0^2 + 240 - 221,25$
$f(0)-f(0,5)= 18,75$

Bestimmung der Geschwindigkeitsabnahme im zweiten Intervall

$f(0,5)-f(1)= 221,25 -(30 \cdot 1^3 - 90 \cdot 1^2 + 240)$
$f(0)-f(0,5)= 41.25$

Folglich ist die Geschwindigkeitabnahme im zweiten Intervall größer, als die im ersten Intervall.

Da der Graph der Funktion $f$ nach dem Schaubild streng monoton fällt, gibt es eine Stelle $x_1,$ an der $f(x)=200$ gilt und eine Stelle $x_2,$ an der $f(x)=150$ gilt. Das Intervall ist $[x_1;x_2].$

Berechnung von $x_1$

Es muss $f(x)= 200$ gelten.

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $x_1=0,774.$

Berechnung von $x_2$

Es muss $f(x)= 150$ gelten.

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich sich $x_2=1,347.$

Berechnung der Intervalllänge

$\begin{array}[t]{rll} x_2 - x_1&=& 1,347 - 0,774 \\[5pt] x_2 - x_1&=& 0,573 \end{array}$

Folglich ist der Zeitraum in dem der ICE zwischen $200 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $150 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$ fährt $0,573$ Minuten lang.

Deutung der Aussage im Sachzusammenhang

Die Aussage $\(f$ bedeutet, dass die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten $x_1$ und $x_2$ identisch ist.

Berechnung der 1. Ableitung

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Angabe eines möglichen Wertepaars

Graphisches Darstellen mit Taschenrechner und Ablesen eines Wertepaars ergibt u.a. das Wertepaar: $x_1=0,5$ und $x_2=1,5$ .

Bestimmen des Minimum mit dem Taschenrechner ergibt: $\(f$ ist für $x=1$ minimal. Folglich nimmt um genau 15:01 Uhr die Geschwindigkeit am stärksten ab.

Die zurückgelegte Strecke $s$ entspricht dem Flächeninhalt der Fläche, die der Graph mit der $x$ -Achse einschließt. Bei der Strecke muss beachtet werden, dass die $x$ -Achse in $\text{min}$ angegeben ist und die $y$ -Achse in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben ist. Bei Beginn eines solchen Zeitraums z.B. um 15:00 Uhr ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} s&=& \dfrac{1}{60} \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] s&=& \dfrac{1}{60} \cdot \left[7,5x^4 - 30x^3+240 \right]_0^2 \\[5pt] s&=& \dfrac{1}{60} \cdot \left( 7,5 \cdot 2^4 - 30 \cdot 2^3+240 \right) \\[5pt] s&=& 6 \; [\text{km}] \end{array}$

Der Zug hat bis 15:02 Uhr $6 \text{ km}$ zurückgelegt. Folglich muss noch der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Zug einen weiteren Kilometer zurückgelegt hat.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{60} \cdot f(2) \cdot t&=& 1 \\[5pt] \dfrac{1}{60} \cdot 120 \cdot t&=& 1 \\[5pt] 2 \cdot t&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] t&=& 0,5 \end{array}$

Somit endet der Zeitraum, der um 15:00 Uhr beginnt nach $2+0,5=2,5$ Minuten.

Die Tangente des Graphen von $f$ an der Stelle $x_0=1$ wird auf Nullstellen untersucht.

Aufstellen der Tangente

$\(\begin{array}[t]{rll} y&=& f$

Nullstelle der Tangente

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0 \\[5pt] -90 \cdot x+ 270 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -270 \\[5pt] -90 \cdot x &=& -270 &\quad \scriptsize \mid\; :90 \\[5pt] x &=& 3 \end{array}$

Zurückgelegte Strecke

Die zurückgelegte Strecke $s$ entspricht dem Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von $y$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[1;3]$ einschließt. Bei der Strecke muss beachtet werden, dass die $x$ -Achse in $\text{min}$ angegeben ist und die $y$ -Achse in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben ist.

$\begin{array}[t]{rll} s&=& \dfrac{1}{60} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot f(1)\\[5pt] s&=& \dfrac{1}{60} \cdot 180 \\[5pt] s&=& 3 \; [\text{km}] \end{array}$

Die Aussage ist richtig.

Berechung von a

Der Parameter $a$ gibt die Streckung entlang der $y$ -Achse an. Dieser ergibt sich aus der halbierten Differenz der $y$ -Werte der beiden aufeinanderfolgenden Extrempunkte.

$\begin{array}[t]{rll} a &=& \dfrac{1}{2} \cdot (3 - (-1)) \\[5pt] a &=& 2 \end{array}$

Berechung von b

Der Parameter $b$ gibt die Streckung entlang der x-Achse an.

$\begin{array}[t]{rll} b &=& \dfrac{\pi}{2-(-2)} \\[5pt] b &=& \dfrac{\pi}{4} \\[5pt] \end{array}$

Berechung von c

Der Parameter $c$ gibt die Verschiebung entlang der $y$ -Achse an. Dieser ergibt sich aus dem Mittelwert der $y$ -Werte der beiden aufeinanderfolgenden Extrempunkte.

$\begin{array}[t]{rll} c &=& \dfrac{1}{2} \cdot (3 + (-1)) \\[5pt] c &=& 1 \end{array}$

Der Graph von $s$ ist symmetrisch bezüglich des Punktes $(0\mid 1).$ Damit haben die Flächenstücke $A_{1}$ und $A_{4}$ ebenso den gleichen Inhalt wie die Flächenstücke $A_{2}$ und $A_{3}.$ Aufgrund der Lage dieser Flächenstücke bezüglich der $x$ -Achse und bezüglich des abgebildeten Quadrats, stimmt der Wert des Terms mit dem Flächeninhalt des Quadrats überein, ist also $2^{2}=4.$ Also gilt:

$\displaystyle\int_{-2}^{2}s(x)\;\mathrm dx = 4$

Koordinaten der Wendepunkte

Der Aufgabenstellung kann entnommen werden, dass die Wendepunkte die Koordinaten $(4k \mid 1)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ besitzen.

Steigung der Geraden

Die betrachteten Geraden haben folgende Steigung:

$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\[5pt] m &=& \dfrac{2022 - 1}{2022-4k} \\[5pt] m &=& \dfrac{2021}{2022-4k} \\[5pt] \end{array}$

Folglich ist die Steigung für jedes $k \in \mathbb{Z}$ rational. Die Steigung in den Wendestellen ist nach Aufgabenstellung $\pm \frac{\pi}{2}$ und somit irrational. Folgich ist keine der Geraden eine Tangente einer Wendestelle.

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