Aufgabe 2C

Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. $98 \,\%$ der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“. Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der unrunden Bälle in jeder Stichprobe binomialverteilt ist.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl unrunder Bälle in einer Stichprobe von 200 Bällen kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist.

(3 BE)

Betrachtet werden zwei Stichproben von jeweils 200 Bällen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens einer dieser beiden Stichproben mehr als sechs Bälle unrund sind.

(3 BE)

Nach der Herstellung durchlaufen die Bälle eine Sortieranlage. Dabei wird ein unrunder Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von $90 \,\%$ aussortiert. Allerdings werden auch $5 \,\%$ der runden Bälle aussortiert.

Stelle den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

Beschreibe die Bedeutung des Terms $0,98 \cdot 0,05 \cdot 2000$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Angenommen, die nicht aussortierten Bälle würden die gleiche Sortieranlage ein zweites Mal durchlaufen.
Ermitttle den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert würden.

(4 BE)

Das Gewicht eines Tischtennisballs soll 2,70 Gramm (g) betragen. Das Gewicht der Bälle in der Produktion wird als normalverteilt angenommen mit $\mu=2,70$ und $\sigma=0,03$ .
Bei der Qualitätskontrolle von Tischtennisbällen in der Produktion werden jeweils 24 Bälle getestet.
Es gelten folgende Regeln:

Jedes Gewicht zwischen $2,67 \,\text g$ und $2,77 \,\text g$ ist akzeptabel, wobei einer der getesteten Bälle ein Gewicht außerhalb dieses Toleranzbereichs aufweisen darf.

II)

Keiner der Bälle darf ein Gewicht von unter $2,60 \,\text g$ oder über $2,85 \,\text g$ aufweisen.

Bei der Qualitätskontrolle der Bälle gibt es Bereiche von Gewichten, in denen nach den Regeln I und II das Gewicht höchstens eines der Bälle liegen darf, ohne dass es zu einer Beanstandung bei der Kontrolle kommt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Balles der Produktion innerhalb dieser Bereiche von Gewichten liegt.

(3 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Qualitätskontrolle von 24 Bällen keine Beanstandung aufgrund von Regel I auftritt.

(4 BE)

Durch Einstellung der Produktionsmaschine kann der Wert für $\mu$ verändert werden. Der Wert von $\sigma$ bleibt dabei unverändert.
Entscheide, ob $\mu=2,70$ die optimale Einstellung der Maschine ist und begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

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$X$ : Anzahl der unrunden Bälle, $n=200, p=0,02$

$E(X)=200 \cdot 0,02=4$

$P(X \lt 4) \approx 0,431$

Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich am leichtesten über das Gegenereignis lösen, nämlich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in beiden Proben je höchstens 6 Bälle unrund sind.

$X$ : Anzahl der unrunden Bälle, $n=200, p=0,02$

$1-(P(X \leq 6))^{2} \approx 0,205$

R: „Ein Ball ist rund.“
A: „Ein Ball wird aussortiert.“

Der Term gibt für 2000 hergestellte Bälle den Erwartungswert für die Anzahl der aussortierten runden Bälle an.

Es gäbe zwei Arten von zweimalig nicht aussortierten Bällen: Runde Bälle, die in beiden Runden nicht aussortiert würden, mit dem Anteil $0,98 \cdot 0,95^{2}$ und unrunde Bälle, die in beiden Runden nicht aussortiert würden. Deren Anteil wäre: $0,02 \cdot 0,1^{2}.$ Folglich ist der Anteil der unrunden Bällen, die nicht aussortiert würden unter den nicht aussortierten Bällen:

$\dfrac{0,02 \cdot 0,1^{2}}{0,98 \cdot 0,95^{2}+0,02 \cdot 0,1^{2}}$ $\approx 0,00023$

$Y$ : Gewicht eines Balles in Gramm; normalverteilt mit $\mu=2,70$ und $\sigma=0,03$

Die Bereiche, in denen höchstens ein Ball liegen darf sind: $[2,60;2,67]$ und $[2,77;2,85]$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball in den beiden Intervallen liegt, beträgt:
$P(2,60 \leq Y \leq 2,67)$ $+P(2,77 \leq Y \leq 2,85)$ $\approx 0,168$

$Z:$ Anzahl der nach Regel I aufgrund ihres Gewichts beanstandeten Bälle; binomialverteilt mit $n=24$ und $p=1-P(2,67 \leq Y \leq 2,77)$ $= 0,16847.$

$P(Z \leq 1) \approx 0,070$

$\mu = 2,70$ ist nicht optimal. Die Normalverteilung ist symmetrisch bezüglich $\mu$ . Des Weiteren ist die Fläche pro Schritt auf $x$ -Achse zwischen dem Graph der Normalverteilung und der $x$ -Achse um die Symmetrieachse maximal. Folglich kann die Wahrscheinlichkeit, dass Regel I oder Regel II verletzt werden, wenn $\mu$ in der Mitte des Intervalls $[2,67;2,77]$ oder in der Mitte des Intervalls $[2,60;2,85]$ liegt, minimiert werden.

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