Aufgabe 3A
Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken
und
mit
und
besteht.
und
sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

a)
Begründe, dass die Punkte
und
symmetrisch bezüglich der
-Achse liegen.
(2 BE)
b)
Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.
(3 BE)

c)
Bestimme eine Gleichung von
in Koordinatenform.
[zur Kontrolle:
]
(3 BE)
d)
Berechne die Größe
des Winkels, unter dem
die
-Ebene schneidet.
Gib einen Term an, mit dem aus
die Größe des Winkels zwischen den Ebenen
und
berechnet werden kann.
(5 BE)
e)
Die Ebene
teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimme das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper.
(4 BE)
f)
Das Saarpolygon wird von verschiedenen Positionen aus betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 stellen das Saarpolygon für zwei Positionen schematisch dar.
Gib zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt.
Stelle das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

Abbildung 1

Abbildung 2
(4 BE)
g)
Der Punkt
liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken
und
den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von
i.
ii.
iii.
Erläutere die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Wertes von
zugrunde liegen.
(4 BE)
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a)
Sowohl die
-Koordinaten als auch die
-Koordinaten von
und
unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen, die
-Koordinaten stimmen überein. Folglich liegen die Punkte
und
symmetrisch bezüglich der
Achse.
b)
c)
d)
Der Winkel der beiden Ebenen ist der Betrag des Winkels der Normalenvektoren der Ebene. Ein Normalenvektor der Ebenen
ist
. Ein Normalenvektor der
- Ebene ist
. Der Winkel beträgt:
Die Ebene
schneidet die
- Ebene unter dem Winkel
Da die Ebene
symmetrisch mit der Ebenen
bezüglich der
- Achse ist, schneidet auch die Ebene
die
- Ebene unter dem Winkel
Somit beträgt der Winkel zwischen der Ebene
und der Ebene
:
e)
Die Seitenfläche des Quaders, die
und
enthält, wird als Grundfläche und deren Flächeninhalt mit
bezeichnet. Die Länge der zugehörigen Höhe des Quaders wird mit
bezeichne. Folglich hat der pyramidenförmigen Teilkörper eine Grundfläche von
und eine Höhe von
.
Somit hat er folgendes Volumen:
. Der andere Teilkörper hat ein Volumen von
. Damit beträgt das gesuchte Verhältnis
f)
Für Abbildung 1 muss der Betrachter parallel zur
- Achse auf das Saarpolygon blicken. Somit ist
ein möglicher Vektor.
Für Abbildung 2 muss der Betrachter parallel zur Strecke
stehen. Somit ist
ein möglicher Vektor.
Betrachtung von oben:

g)
Nach i. gibt
genau die Ortsvektoren für alle Punkte auf der Strecke
an. Somit ist
ein Punkt auf
Nach ii. gilt
. Folglich steht
senkrecht zu
. Da
in
liegt, gibt
den Abstand von
zu
an.
Dieser Abstand muss nach Aufgabenstellung mit dem Abstand von
zu
übereinstimmen. Der Abstand beträgt
und stimmt somit mit dem in iii. angegebenen Abstand überein.