Aufgabe 2A

Ein Telefonanbieter bietet die Tarife $S,$ $M,$ und $L$ an. Jeder Kunde hat genau einen dieser Tarife. Allen Kunden steht eine Service-Hotline zur Verfügung.
$20\,\%$ aller Kunden haben den Tarif $S,$ $25\,\%$ den Tarif $L.$ $47\,\%$ aller Kunden haben bereits die Service-Hotline angerufen. $27,5\,\%$ der Kunden haben den Tarif $M$ und haben bereits die Service-Hotline angerufen.
$11\,\%$ haben den Tarif $S$ und haben die Service-Hotline noch nicht angerufen.

Stelle alle Anteile - analog zu einer Vier-Felder-Tafel - in der folgenden Tabelle dar.

	Tarif S	Tarif M	Tarif L
Service-Hotline angerufen
Service-Hotline nicht angerufen
				100 %

(3 BE)

Ein zufällig ausgewählter Kunde hat die Service-Hotline noch nicht angerufen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kunde den Tarif $S$ hat.

(2 BE)

Bestimme den Anteil aller Kunden, die entweder den Tarif $L$ haben oder die Service-Hotline noch nicht angerufen haben.

(2 BE)

Der Anbieter führt eine Befragung unter $600$ zufällig ausgewählten Kunden durch. Es kann davon ausgegangen werden, dass unter den Befragten die Anzahl derjenigen mit dem Tarif $S$ binomialverteilt ist.

Beschreibe die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang:

$\displaystyle\sum\limits_{k=470}^{490}\pmatrix{600\\k}\cdot0,8^k\cdot0,2^{600-k}$

(3 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Kunden mit dem Tarif $S$ um höchstens $5\,\%$ vom Erwartungswert abweicht.

(3 BE)

Bestimme die größte natürliche Zahl $k,$ für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Befragten weniger als $k$ Kunden den Tarif $S$ haben, kleiner als $25\,\%$ ist.

(4 BE)

Die Wartezeit beim Anrufen der Service-Hotline ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 1 Minute und 15 Sekunden.

Angenommen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer höchstens drei Minuten warten muss, beträgt $15\,\%.$
Berechne unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Anrufer mindestens fünf Minuten warten muss.

(4 BE)

Untersuche, ob es ein Zeitintervall mit einer Länge von zwei Minuten gibt, in dem die Wartezeit eines zufällig ausgewählten Anrufers mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $60\,\%$ liegt.

(4 BE)

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Dem Text der Aufgabenstellung können direkt die folgenden Werte entnommen werden:

	Service-Hotline angerufen	Service-Hotline nicht angerufen
Tarif S		11 %	20 %
Tarif M	27,5 %
Tarif L			25 %
	47 %		100 %

Mit diesen Werten kann nun schrittweise der Rest der Tabelle ausgerechnet werden.

	Service-Hotline angerufen	Service-Hotline nicht angerufen
Tarif S	9 %	11 %	20 %
Tarif M	27,5 %	27,5 %	55 %
Tarif L	10,5 %	14,5 %	25 %
	47 %	53 %	100 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde, der noch nicht angerufen hat, den Tarif S hat, beträgt:

$\dfrac{11 \%}{53 \%}=21\%$

In der Aufgabenstellung wird die Formulierung entweder oder verwendet, sodass der Anteil auf den beide Teile zutreffen nicht mit einberechnet werden darf. Somit beträgt der gesuchte Anteil $10,5 \%+11 \%+27,5 \%=49 \%.$

$20 \%$ der Kunden haben den Tarif S, $80 \%$ der Kunden den Tarif M oder L

Somit gibt der Term die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mindestens $470$ und höchstens $490$ der befragten Kunden einen der Tarife M oder L haben.

Es gilt: $p=0,2$ , $n = 600$ und $X:$ Anzahl der Kunden mit dem Tarif S

Der Mittelwert $\mu_X$ beträgt: $\mu_X=n\cdot p =600 \cdot 0,2= 120$

$5 \%$ vom Mittelwert $\mu_X$ sind: $120 \cdot 0,05 = 6$

Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} P(114 \le X \le 126) &=& 0,4929 \end{array}$

Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Kunden mit dem Tarif S um höchstens $5\%$ vom Erwartungswert abweicht $49,29 \%.$

Es ist:

$P(X \lt 114) = P(X \le 113) \approx 0,2554$

$P(X \lt 113) = P(X \le 112) \approx 0,2223.$

Folglich ist die größte natürliche Zahl $k=113,$ für die die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Befragen weniger als $k$ Kunden den Tarif S haben, kleiner als $25\%$ ist.

$Y:$ Wartezeit in Minuten
$\sigma = 1,25$

Nach Aufgabenstellung gilt: $P(Y \le 3) = \displaystyle\int_{- \infty}^{3}\varphi_{\mu_y; 1,25}(x)\;\mathrm dx = 0,15$

Berechnen mit dem Taschenrechner ergibt: $\mu_Y \approx 4,3.$ Somit kann nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet werden:

$P(Y\ge 5)$ $= \displaystyle\int_{5}^{\infty}\varphi_{4,3; 1,25}(x)\;\mathrm dx \approx 0,29.$

$Z:$ Wartezeit in Minuten
$\mu_Y \approx 4,3$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist unabhänig vom Erwartungswert. Das Intervall mit der größten Wahrscheinlichkeit liegt symmetrisch zum Erwartungswert.

$\begin{array}[t]{rll} P(\mu_Z - 1 \le Z \le \mu_Z + 1)&\approx& P(3,3 \le Z \le 5,3) \\[5pt] P(\mu_Z - 1 \le Z \le \mu_Z + 1)&\approx& 0,576 \\[5pt] \end{array}$

Folglich gibt es kein solches Zeitintervall, da $0,576 \lt 0,600$ ist.

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