Aufgabe 1C

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-\dfrac{1}{100}\cdot \left(\dfrac{1}{500}x^4-\dfrac{1}{8}x^3+\dfrac{5}{2}x^2-45x\right).$
Im Küstenschutz ist ein neuer Deich von Bedeutung: der Klimadeich. Der Querschnitt eines Klimadeichs wird durch die von dem Graphen der Funktion $f$ und der $x-$ Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden $x$ und $f(x)$ in Metern $(\text{m})$ angegeben.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f.$
Markiere auf der $x-$ Achse das Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5\,\text{m}$ hoch ist.
Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.
Entscheide, ob der Klimadeich diese Regel erfüllt. Begründe deine Entscheidung nur mithilfe der Abbildung.

Grafik eines Deichprofils mit Wasserseite, Deichkrone und Landseite, dargestellt in einem Koordinatensystem.

(5 BE)

Die maximale Höhe des Klimadeichs ist $0,9\,\text{m}$ höher als die des zuvor vorhandenen Deiches.
Berechne die maximale Höhe des früheren Deiches auf $\text{cm}$ genau.

(4 BE)

Berechne die durchschnittliche Steigung des Klimadeichs im Intervall $[0;30].$
Berechne den Neigungswinkel des Klimadeichs an der Stelle $x=0.$

(5 BE)

Der Klimadeich besteht aus einem Sandkern und einer Abdeckungsschicht aus Kleiboden. Im Querschnitt hat die Abdeckungsschicht aus Kleiboden im Bereich $5\leq x \leq 42$ an jeder Stelle eine vertikale Dicke von $1,5\,\text{m}.$

Berechne den prozentualen Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5\leq x \leq 42.$

(5 BE)

Begründe, dass im Bereich von $a$ bis $b$ mit $5\leq a\lt b\leq 42$ der Inhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht mit $1,5\cdot (b-a)$ berechnet werden kann.

(4 BE)

An der Stelle $x=42$ wird senkrecht zum oberen Rand des Querschnitts eine $1,30\,\text{m}$ lange geradlinige Bohrung durchgeführt.
Untersuche, ob diese Bohrung den Sandkern erreicht.

(5 BE)

Der obere Rand des Querschnitts des Sandkerns wird neu modelliert.
Der obere Rand des Querschnitts des Klimadeichs wird weiterhin durch $f$ beschrieben.
Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $g_k$ mit

$g_k(x)=0,3\cdot (x-k)^2\cdot e^{0,16\cdot (x-k)+0,2}.$

Die Graphen von $g_k$ sollen für $5\leq x\leq 42$ und $41,5\leq k\leq 47,5$ den oberen Rand des Querschnitts des Sandkerns beschreiben.

In der Abbildung sind die Graphen von zwei Graphen von zwei Vertretern von $g_k$ abgebildet.
Gib für Graph $I$ und Graph $II$ jeweils einen Näherungswert für $k$ an.
Begründe deine Angaben.

Graph mit zwei Kurven in verschiedenen Farben, Achsen beschriftet mit x und y.

(5 BE)

Die vertikale Dicke der Abdeckungsschicht aus Kleiboden soll

$2\,\text{m}$ an der Stelle $x=14$ betragen und
im Querschnitt im Bereich $5\leq x\leq 42$ an jeder Stelle mindestens $0,95\,\text{m}$ betragen.

Untersuche, ob es einen Wert für $k$ mit $41,5\leq k\leq 47,5$ gibt, sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind.

(7 BE)

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Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass die Breite des Deichs ungefähr $46\,\text{m}$ und die Höhe ungefähr $9\,\text{m}$ beträgt.
Es gilt $\dfrac{46}{9}=5,$ also erfüllt dieser Deich die Regel.

Diagramm eines Deichs mit Wasser- und Landseite sowie Deichkrone. Beschriftete Achsen für y und x.

Das Maximum von $f$ gibt die maximale Höhe des Klimadeichs an.

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menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

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Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Das Maximum befindet sich an der Stelle $x_M\approx33,14.$

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$f(33,14)\approx 8,83$

Die Höhe des früheren Deiches lässt sich mit $8,83-0,9=7,93$ berechnen. Diese beträgt also $7,93\,\text{m}.$

$f(0)=0$
$f(30)= 8,55$
Die durchschnittliche Steigung im Intervall $[0,30]$ ist gegeben durch $\dfrac{8,55-0}{30-0}=\dfrac{8,55}{30}=0,285.$

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menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\(f$ $=-\dfrac{1}{100}\cdot\left(\dfrac{x^3}{125}-\dfrac{3x^2}{8}+5x-45\right)$

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$\( f$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& 0,45&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 24,2^{\circ} \end{array}$

Der Neigungswinkel des Deichs an der Stelle $x=0$ beträgt ungefähr $24,2^{\circ}.$

Der Flächeninhalt der Fläche des Querschnitts im Intervall $[5;42]$ lässt sich berechnen durch

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$\displaystyle\int_{5}^{42}f(x)\;\mathrm dx.$

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menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Der Wert dieses Integrals beträgt ungefähr $224,37.$

Der obere Randverlauf des Sandkerns wird durch die Funktion $s(x)=f(x)-1,5$ beschrieben.
Der Flächeninhalt der Fläche des Sandkernquerschnitts im gesuchten Intervall ist gegeben durch

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$\displaystyle\int_{5}^{42}s(x)\;\mathrm dx\approx 168,87.$

Der prozentuale Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5\leq x\leq42$ beträgt $\dfrac{168,87}{224,37}\approx0,75=75\%.$

Der Untere Randverlauf der Kleibodenschicht wird durch die Funktion $k(x)=f(x)-1,5$ beschrieben.

Der Flächeninhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht im Bereich $5\leq a \leq b \leq 42$ ist damit gegeben durch

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$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)-k(x)\;\mathrm dx=1,5\cdot(b-a)$

Zunächst muss die Normale an die Funktion $f$ an der Stelle $x=42$ berechnet werden.

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$f(42)\approx5,18$

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menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

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$\( f$

Damit ist die Normalengleichung an im Punkt $P(42 \mid 5,18)$ an $f$ gegeben durch

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$n(x)=1,04x-38,57$

Die Stelle, an der die Normale die Funktion $s(x)=f(x)-1,5$ schneidet, ist gegeben durch die Lösung der Gleichung $n(x)=s(x).$

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menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Der Schnittpunkt im gesuchten Intervall befindet sich an der Stelle $x_s\approx 41,23.$

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$s(41,23)\approx 4,56$

Die Normale an $f$ im Punkt $P(42 \mid 5,18)$ schneidet die obere Grenze des Sandkerns im Punkt $Q(41,23 \mid 4,56).$

Gesucht ist nun der Abstand zwischen den Punkten $P$ und $Q.$ Dieser lässt sich wie folgt berechnen:

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$d(P,Q)\approx 0,989\lt 1,3$

Damit erreicht die Bohrung den Sandkern.

Der Funktion $g_k$ kann entnommen werden, dass sich an der Stelle $k$ eine doppelte Nullstelle und damit eine Berührstelle des Graphen mit der $x-$ Achse befindet.

Die Graphen $I$ und $II$ berühren die $x-$ Achse an den Stellen $k_I\approx 42$ und $k_{II}\approx47.$ Dies sind damit die gesuchten Werte für $k.$

Die erste Bedingung liefert die Gleichung $f(14)-g_k(14)=2.$

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menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Die Gleichung hat im relevanten Bereich hat die Lösung $k_1\approx 46,9.$

Für die zweite Bedingung muss zusätzlich $f(x)-g_{k_1}(x)\geq 0,95$ erfüllt sein.
Beispielsweise an der Stelle $x=37$ gilt jedoch $f(37)-g_{k_1}(37)\approx 8,26-7,37$ $= 0,89 \lt 0,95.$

Damit können für keinen Wert von $k$ aus dem gegebenen Intervall beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein.

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