Aufgabe 1A

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=5\cdot\left(\mathrm e^{-0,3x}- \mathrm e^{-4x}\right)$ modelliert für $0 \leq x\leq 12$ die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Stunden ( $h$ ) nach der Einnahme des Medikamentes und $f(x)$ die Konzentration in Milligramm pro Liter $\left(\frac{\text{mg}}{\text{l}}\right)$ .

Berechne die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes. Gib den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert $2,8\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ annimmt.
Bestimme, wie lange die Konzentration mindestens $0,5\, \frac{\text{mg}}{\text{l}}$ beträgt.

(6 BE)

Zeige rechnerisch, dass die Konzentration ungefähr $0,7$ Stunden nach der Einnahme des Medikamentes mit etwa $3,75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ am größten ist.

(4 BE)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration genauso groß ist wie zwei Stunden später.

(3 BE)

Bestimme die Lösung der Gleichung $\(f$ und interpretiere die Lösung im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass bis $6$ Stunden nach der Einnahme des Medikamentes die Konzentration durch $f$ beschrieben wird und danach die Abnahmerate der Konzentration konstant ist. Dabei ist die konstante Abnahmerate so groß wie die Änderungsrate der durch $f$ beschriebenen Konzentration nach $6$ Stunden.
Bestimme den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem Modell null ist.

(4 BE)

Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der durch $f$ beschriebenen Konzentration, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Die Gesamtkonzentration soll $6 \,\frac{\text{mg}}{\text{l}}$ nicht übersteigen.
Untersuche, ob diese Vorgabe eingehalten wird.

(4 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)= \mathrm e^{-a\cdot x}- \mathrm e^{-4x},$ $x \in \mathbb{R},a\gt 0, a\neq4$ gegeben.
In der Abbildung sind zwei Graphen der Schar dargestellt. Jeder Graph der Funktionenschar hat genau einen Extrempunkt. Eine Stammfunktion von $f_a$ ist durch $F_a(x)=-\frac{1}{a}\cdot \mathrm e^{-a\cdot x}+\frac{1}{4} \mathrm e^{-4x}$ gegeben.

Graf einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine kurvenförmige Darstellung.

Berechne die Werte von $a$ , für die die Fläche zwischen dem Graph von $f_a$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;1]$ den Inhalt $0,2$ hat.

(4 BE)

Entscheide, für welche Werte von $a$ an der Extremstelle ein Maximum und für welche ein Minimum vorliegt.
Begründe deine Entscheidung ohne Berechnung der Extremstelle.

(6 BE)

Der Graph von $f_a$ wird an der $x$ -Achse gespiegelt.
Berechne die Werte von $a$ , für die sich der gespiegelte Graph und der Graph $f_a$ unter einem rechten Winkel schneiden.

(5 BE)

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Konzentration eine Stunde nach Einnahme

$f(1) \approx 3,6 \; \frac{\text{mg}}{\text{l}}$

Zeitpunkt bestimmen

Es soll gelten:

$5\cdot (\mathrm e^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})=2,8$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich, dass die Konzentration nach ungefähr einer Viertelstunde erstmals den Wert $2,8$ annimmt.

Intervall bestimmen

Es soll $f(x) \gt 0,5$ gelten.

Mit dem solve-Befehl wird die Gleichnug $5\cdot (\mathrm{e}^{-0,3x}-\mathrm{e}^{-4x})=0,5$ gelöst.

Daraus ergeben sich die Werte $x_1 \approx 0,03$ und $x_2 \approx 7,7.$

$x_1 \lt x \lt x_2$ erfüllt $f(x) \gt 0,5.$

$x_2-x_1 \approx 7,67$

Die Konzentration beträgt ungefähr 7,67 Stunden mindestens $0,5 \frac{\text{mg}}{\text{l}}.$

Die Konzentration soll nach $0,7$ Stunden am höchsten sein, gesucht ist also das Maximum von $f$ in $[0;12].$

1. Schritt: Ableitungen aufstellen

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Diese Gleichung wird mit dem solve-Befehl des Taschenrechners gelöst.

Es ergibt sich $x \approx 0,7.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( f$

Also befindet sich das Maximum an der Stelle $x\approx 0,7.$

4. Schritt: Funktionswert berechnen und Intervallränder überprüfen

$f(0,7)=5\cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 0,7}-\mathrm e^{-4\cdot 0,7})$ $\approx 3,75$

$f(0)=5\cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 0}-\mathrm e^{-4\cdot 0})$ $=0$

$f(12)=5\cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 12}-\mathrm e^{-4\cdot 12})$ $=0,14$

Die Konzentration ist ca. $0,7$ Stunden nach der Einnahme mit etwa $3,75 \; \frac{\text{mg}}{\text{l}}$ am größten.

Gesucht ist die Lösung der Gleichung:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$f(x)=f(x+2)$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich $x \approx 0,2.$

Ungefähr 0,2 Stunden nach der Einnahme ist die Konzentration genauso groß wie zwei Stunden später.

Es gilt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( f$

Lösen dieser Gleichung mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt: $x\approx 2,3.$

Die Ableitung $\(f$ gibt die momentane Änderungsrate an der Stelle $x$ an, während der Term $\frac{f(x+1)-f(x-1)}{2}$ die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den Stellen $x-1$ und $x+1$ angibt.

Im Sachzusammenhang bedeutet die Gleichung, dass die momentane Änderungsrate der Medikamentenkonzentration nach ungefähr 2,3 Stunden genauso groß ist, wie die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den Zeitpunkten $x_0=2,3-1=1,3$ und $x_1=2,3+1=3,3.$

Die Konzentration für $x \geq 6$ wird durch die Tangente des Graphen von $f$ durch den Punkt $(6 \mid f(6))$ beschrieben.

1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Dafür wird zunächst der Funktionswert und die Steigung bei $x=6$ berechnet.

$f(6)=5 \cdot (\mathrm e^{-0,3\cdot 6}-\mathrm{e}^{-4 \cdot 6})$ $\approx 0,8256$

$\(f$ $\approx -0,2479$

Mit diesen Werten kann die Tangentengleichung aufgestellt werden:

$t(x)= -0,2479 \cdot (x-6)+0,8256$

2. Schritt: Nullstelle der Tangente berechnen

Es gilt $t(x)=0$ . Die Nullstelle wird über den solve-Befehl des Taschenrechners ermittelt.

Die Lösung ist $x\approx 9,3.$ Ungefähr $9,3$ Stunden nach der Einnahme ist die Konzentration nach diesem Modell gleich Null.

Die Gesamtkonzentration wird durch die Funktion $g(x)=f(x)+f(x-4)$ für $x \ge 4$ beschrieben.
Es soll $g(x) \le 6$ für $x \geq 4$ gelten. Zur Überprüfung wird graphisch das Maximum von $g$ mit dem Taschenrechner bestimmt.

Die Koordinaten des Hochpunktes sind ungefähr gegeben durch $(4,63 \mid 4,98 ).$ Damit liegt der maximale Funktionswert bei $y_{max} \approx 4,98 \lt 6.$ Die Vorgabe wird also eingehalten.

An der Abbildung ist erkennbar, dass die Graphen der Funktionenschar $f_a$ nur die Nullstelle $x=0$ besitzen. Die Graphen von $f_a$ verlaufen also im Intervall $[0;1]$ entweder nur oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse.

Gesucht ist also ein Wert für $a,$ sodass $\,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, = 0,2$ gilt.

Nach Aufgabenstellung ist bereits eine Stammfunktion $F_a$ gegeben. Damit ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

Diese Gleichung kann mit dem solve-Befehl des Taschenrechners gelöst werden.

Für $\displaystyle \int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx= 0,2$ ergibt sich die Lösung $a_1\approx 1,9$ und für $\displaystyle \int_{0}^{1}f_a(x)\;\mathrm dx =-0,2$ die Lösung $a_2\approx 22.$

Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x)=0$ und $f_a (0)=0.$
Der Abbildung kann entnommen werden, dass ein Maximum vorliegt, wenn $f_a(x)\gt 0$ für $x\gt 0$ und ein Minimum vorliegt, wenn $f_a(x)\lt 0$ für $x\gt0$ ist.

Es muss dementsprechend untersucht werden, für welche Werte $a$ die Schar $f_a$ positiv bzw. negativ ist.

Ist $x \gt 0$ und $a\lt4$ , so gilt $\mathrm{e}^{-ax}\gt \mathrm{e}^{-4x}$ . Damit ist $f_a(x)=\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-4x}\gt 0.$
Ist $x\gt0$ und $a \gt 4$ , gilt $\mathrm{e}^{-ax}\lt \mathrm{e}^{-4x}$ . Somit ist $f_a(x)=\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-4x}\lt 0.$

Für $a\lt4$ nimmt $f_a$ an der Extremstelle ein Maximum an und für $a\gt 4$ ein Minimum.

Wird der Graph von $f_a$ an der $x$ -Achse gespiegelt, ergibt sich die Funktion $g_a(x)=-f_a(x)=-\mathrm{e}^{-a \cdot x}+\mathrm{e}^{-4x}.$

1. Schritt: Schnittstelle berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&g_a(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] \mathrm{e}^{-a \cdot x}-\mathrm{e}^{-4x}&=&-\mathrm{e}^{-a \cdot x}+\mathrm{e}^{-4x} \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners ergibt sich, dass sich die Graphen von $g_a$ und von $f_a$ an der Stelle $x=0$ schneiden.

2. Schritt: Ableitungen bilden

Es gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

3. Schritt: Wert für $a$ ermitteln

Der gespiegelte Graph und der Graph von $f_a$ schneiden sich nur im Ursprung. Damit sich die Graphen im Ursprung senkrecht schneiden, muss $\(f$ gelten.

Rechenweg anzeigen

$-a^2+8a-15 = 0$

Mit der $pq$ -Formel ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} a_{1/2}&=& -\dfrac{-8}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-8}{2} \right)^2-15} \\[5pt] &=& 4\pm 1 \end{array}$

Es ergibt sich $a_1=3$ und $a_2=5.$ Für diese Werte von $a$ schneiden sich der gespiegelte Graph und der Graph von $f_a$ unter einem rechten Winkel im Ursprung.

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