Aufgabe 1B

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=\mathrm e^x \cdot(x-a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}.$ Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

Abbildung 1

Der Graph von $f_1$ hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.

Bestimme diesen Wendepunkt und diese Steigung.

(6 BE)

Jeder Graph von $f_a$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.

Gib die Koordinaten dieser Punkte an.

Begründe, dass der gemeinsame Punkt mit der $x$ -Achse der Tiefpunkt des Graphen von $f_a$ ist.

(4 BE)

Für jeden Wert von $a$ mit $a \neq 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_a$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Die Koordinaten der Hochpunkte sind: $\left(a-2 \mid 4 \mathrm e^{a-2}\right)$

Berechne denjenigen Wert von $a,$ für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(6 BE)

Für jeden Wert von $a$ gilt: $f_a(a)=0$ und $f_a^{\prime}(a)=0$ und $f_a^{\prime \prime}(a) \neq 0$

Gib die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu $f_a$ an.

(3 BE)

Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen von $\(f_a$ und $\(f_a$

Entscheide, welcher der beiden Graphen $\text{I}$ und $\text{II}$ zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründe deine Entscheidung.

Abbildung 2

(3 BE)

Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen $h$ und $k$ beschrieben:

$h(x)=20 \cdot \sin (x)$ für $0 \leq x \leq 2$

$k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)$ für $2 \leq x \leq 4$

Weckton Schalldruckpegel Niedersachsen Mathe Abi 2023

Abbildung 3

Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden.

$h(x)$ und $k(x)$ geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an. Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von $h$ und $k.$

Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.

(6 BE)

Dem Graphen von $h$ ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.

Berechne den größten dieser Abstände.

(6 BE)

Berechne unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von $k:$

Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ im Intervall $[a ; b]$ stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Das Rechteck hat die Breite $b-a.$

Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $a \leq x \leq b$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$ -Achse liegt.

(6 BE)