Aufgabe 1A

In einem Betrieb wird im Produktionsprozess ein Gas verbraucht. Dazu wird das benötigte Gas durch eine Leitung aus dem Gastank in die Produktionsstätte geleitet. Das hierbei pro Zeit durch die Leitung strömende Gas wird als Gasstrom bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Stunde $\left(\frac{\text{L}}{\text{h}}\right)$ gemessen, die Zeit in Stunden $(\text{h})$ .

Der Arbeitstag in dem Betrieb dauert $14$ Stunden, am Ende des Arbeitstages wird das Ventil des Gastanks geschlossen.

Es wird eine Langzeitmessung durchgeführt, die folgende Werte ergibt:

Zeit in $\boldsymbol{\text{h}}$ nach Beginn des Arbeitstages	$0$	$4$	$6$	$10$
Gasstrom in $\boldsymbol{\frac{\text{L}}{\text{h}}}$	$2.000$	$3.140$	$1.500$	$1.440$

$2$ Stunden und $12,2$ Stunden nach Arbeitsbeginn treten Spitzenwerte im Gasstrom auf.

Für das aus diesen Werten entwickelte Modell wird die Funktion $f$ mit

$f(t)=-3\cdot t^4+88\cdot t^3-816\cdot t^2+2.304\cdot t+2.000$ , $0\leq t\leq 14$ , verwendet.

Dabei wird $t$ in $\text{h}$ und $f(t)$ in $\frac{\text{L}}{\text{h}}$ angegeben.

Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht dem Beginn des Arbeitstages.

Der Betriebsleiter stimmt der Nutzung des Modells unter folgenden Bedingungen zu:

Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5\,\%$ von den Tabellenwerten ab.
Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.

Weise nach, dass mit der Funktion $f$ die Bedingungen des Betriebsleiters erfüllt werden und $f$ somit für die folgenden Berechnungen genutzt werden kann.

Bestimme den Zeitpunkt zwischen den Zeitpunkten der Spitzenwerte im Gasstrom, an dem der Gasstrom am stärksten abnimmt.

Berechne die Gesamtzeit im Laufe eines Arbeitstages, in welcher der Gasstrom mindestens $2.500$ $\frac{\text{L}}{\text{h}}$ beträgt.

(13P)

Das Gas wird für den Verbrauch in einem Tank gespeichert. Dem Tank können $15.600$ $\text{L}$ Gas entnommen werden. Über eine Anzeige wird das noch entnehmbare Gasvolumen in Prozent angezeigt.

Zu Beginn eines Arbeitstages ist der Tank vollständig gefüllt, die Anzeige zeigt $100\,\%$ an.

Begründe, dass das für die Produktion zu einem Zeitpunkt $x$ nach Arbeitsbeginn noch entnehmbare Gasvolumen durch die Funktion $g$ mit

$g(x)=15.600-\int\limits_{0}^{x}f(t)\;\text{d}t$ , $x$ in $\text{h}$ , $g(x)$ in $\text{L}$ , beschrieben werden kann.

Der Tank muss aufgefüllt werden, sobald die Anzeige $20\,\%$ anzeigt.

Bestimme den Zeitpunkt des Beginns dieses Auftankvorgangs.

(8P)

Zu Beginn eines Arbeitstages ist der Tank vollständig gefüllt. Gleichzeitig mit dem Verbrauch des Gases wird der Tank mit einem konstanten Gasstrom von $2.000\;\frac{\text{L}}{\text{h}}$ befüllt.

Bestimme die Zeiträume, in denen das dem Tank entnehmbare Gasvolumen ab- bzw. zunimmt.

Zeige, dass es keinen über den ganzen Arbeitstag konstanten Gasstrom gibt, bei dem der Gastank am Ende des Arbeitstages wieder vollständig gefüllt ist.

Zu Beginn eines anderen Arbeitstages sind im Tank nur noch $3.120\;\text{L}$ enthalten. Die Betankung erfolgt wieder gleichzeitig mit dem Verbrauch des Gases.

Bestimme den konstanten Gasstrom, mit dem die Betankung erfolgt, wenn der Tank nach $30$ Minuten gefüllt ist.

(10P)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=0,25\cdot x^4-0,5\cdot (k+1)\cdot x^3+1,5\cdot k\cdot x^2$ , $x\in\mathbb{R}$ , $k\in\mathbb{R}$ , gegeben.

Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass gilt: $f_k‘‘(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x-k)$ .

In der Abbildung sind zwei Graphen für $k=0$ und $k=1$ dargestellt.

Entscheide, welcher der beiden Graphen zu dem Parameterwert $k=0$ gehört.

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Abb. 1: Graph von $f_k$ für $k=0$ oder $k=1$

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsen und Raster.

Abb. 2: Graph von $f_k$ für $k=0$ oder $k=1$

Entscheide, ob es einen Wert für $k$ gibt, sodass der Graph von $f_k$ symmetrisch zur $y$ -Achse ist.

Die Graphen von $f_k$ besitzen Wendepunkte.

Bestimme die Gleichungen derjenigen Kurven, auf denen diese Wendepunkte liegen können.

Für eine ganzrationale Funktion $h$ soll gleichzeitig gelten:

An der Stelle $x=2$ hat die zweite Ableitungsfunktion $h‘‘$ eine Nullstelle.
Die Stelle $x=2$ ist weder eine Wendestelle noch eine Extremstelle von h.

Leite ausgehend von einem Term für $h‘‘$ eine Gleichung der Ableitungsfunktion $h‘$ her.

(15P)

Bildnachweise [nach oben]

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[2]

Aufgabe 1A

$\blacktriangleright$ Funktion auf Bedingungen überprüfen

Du kannst der Aufgabenstellung die Tabelle mit den Daten und die folgende Funktion für $0 \le t \le 14$ entnehmen:

$f(t)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Du sollst überprüfen, ob der Betriebsleiter dem Modell zustimmen kann. Dafür musst du die folgenden Punkte überprüfen:

Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5 \%$ von den Tabellenwerten ab.
Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.

Punkt 1

Um das zu überprüfen kannst du die Tabelle aus der Aufgabenstellung erweitern. Erstelle eine neue Zeile, welche die Funktionswerte an den Stellen $0, 4, 6$ und $10$ enthält. Die Werte kannst du mit deinem Taschenrechners bestimmen.

Tabelle mit X- und Y-Werten in einer grafischen Benutzeroberfläche.

Abb. 1: Tabellenwerte mit dem Taschenrechner bestimmen

Zeit in $h$ nach Beginn des Arbeitstages	Gas- strom in $\dfrac{L}{h}$	Funktions- werte
$0$	$2000$	$2000$
$4$	$3140$	$3024$
$6$	$1500$	$1568$
$10$	$1440$	$1440$

Du siehst, dass der erste und der letzte Wert mit dem jeweiligen Funktionswert übereinstimmen. Deswegen musst du nur überprüfen, um wieviel die mittleren beiden Funktionswerte von den Tabellenwerten abweichen. Die Abweichung bestimmst du, indem du den Funktionswert durch den Tabellenwert teilst. Der Wert den du dadurch erhältst, ist der prozentuale Anteil des Funktionswertes vom Tabellenwert:

Für $h=4$ :

$\begin{array}[t]{rll} 3024 : 3140&=& 0,963 \end{array}$

und für $h=6$ :

$\begin{array}[t]{rll} 1568:1500 &=& 1,045 \end{array}$

Für $h=4$ entspricht der Funktionswert $96,3 \%$ des Tabellenwertes. Die Abweichung beträgt $3,7\%$ . Für $h=6$ entspricht der Funktionswert $104,5 \%$ des Tabellenwertes. Die Abweichung beträgt $4,5\%$ .

Die Abweichung ist für jeden der Werte kleiner als $5\%$ .

Punkt 2

Die Spitzenwerte der Messung treten $2$ und $12,2$ Stunden nach Arbeitsbeginn auf. Um die Spitzenwerte des Modells zu bestimmen, musst du die Hochpunkte der Funktion bestimmen und die $x$ -Werte ablesen. Nutze dafür deinen Taschenrechner und gehe wie folgt vor:

$\blacktriangleright$ Extrempunkt bestimmen mit GTR

Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Hochpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Hochpunkten findest du unter:

2ND $\to$ TRACE (CALC) $\to$ 4: maximum

Du erhältst folgende Koordinaten:

$H_1(2 \mid 4000)$ , $\; H_2(12 \mid 2000)$

Graph einer mathematischen Funktion mit Maximum bei X=2, Y=4000.

Abb. 2: Hochpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen

Der Hochpunkt bei $x=2$ weicht zeitlich nicht von dem ersten Spitzenwert der Messung ab. Der zweite Hochpunkt bei $x=12$ weicht um $0,2$ vom Zeitpunkt des zweiten Spitzenwertes ab, welcher nach $12,2$ Stunden erreicht wird.

Da $0,2$ Stunden $12$ Minuten entsprechen, ist die Abweichung kleiner als $15$ Minuten und damit noch im Toleranzbereich des Betriebsleiters.

Da beide Bedingungen des Betriebsleiters erfüllt sind, kann das Modell für folgenden Berechnungen genutzt werden.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der stärksten Abnahme bestimmen

Der Zeitpunkt, zu welchem der Gasstrom am stäksten abnimmt entspricht dem $x$ -Wert des Tiefpunktes der Ableitung. Bestimme zuerst die Ableitung und den Tiefpunkt

Die Ableitung ist:

$f‘(t)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Extrempunkt bestimmen mit GTR

Du hast die Funktion $f‘$ gegeben und sollst deren Graph auf Tiefpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Tiefpunkt findest du unter:

2ND $\to$ TRACE (CALC) $\to$ 4: minimum

Du erhältst folgende Koordinaten:

$T(4,43\mid -788)$

Graph einer mathematischen Funktion mit Minimum, dargestellt auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. 3: Tiefpunkt mit dem Taschenrechner bestimmen

Der Zeitpunkt, zu dem der Gasstrom am stärksten abnimmt, ist $4,43\text{h}$ nach Beginn des Arbeitstages.

$\blacktriangleright$ Gesamtzeit, in welcher der Gasstrom mindestens $\boldsymbol{2500 \frac{L}{h}}$ beträgt, berechnen

Um diese Zeitspanne zu bestimmen, lässt du dir von deinem Taschenrechner die Funktion $f(t)$ zusammen mit der Geraden $y=2500$ zeichnen und bestimmt die Schnittpunkte der beiden Graphen. Die Schnittpunkte bestimmst du wie folgt:

2ND $\to$ TRACE(CLAC) $\to$ 5:intersect

Damit erhälst du das folgende Ergebnis:

Diagramm einer mathematischen Funktion mit einer blauen Kurve und einer horizontalen Linie.

Abb. 4: Schnittpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen

Die Schnittpunkte sind bei $x=0,24$ und $x=4,67$ . Im Bereich dazwischen sind die Werte von $f(t)$ größer als $2500$ . Die Gesamtzeit beträgt somit $4,43 \text{h}$ .

$4,67\text{h} - 0,24 \text{h}= 4,43 \text{h}$

$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ für noch entnehmbares Gasvolumen begründen

Die Funktion $f(t)$ gibt den momentanen Gasstrom an. Es handelt sich bei $f(t)$ also um eine momentane Änderungsrate. Da das Integral über eine momentane Änderungsrate der Gesamtänderung in einem Zeitintervall entspricht, beschreibt das folgende Integral die Gasmenge, die insgesamt bis zum Zeitpunkt $x$ geflossen ist:

$\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt$

Zieht man diese, bereits verbrauchte Gasmenge von der Anfangsmenge $15600\text{L}$ ab, so erhält man das Gasvolumen, welches zum Zeitpunkt $x$ noch entnommen werden kann.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt zu dem der Auftankvorgang beginnt bestimmen

Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $15600\text{L}$ $100\%$ entsprechen. Berechne zuerst, wieviel Liter noch im Tank sind, wenn die Anzeige $20\%$ anzeigt, also $20\%$ von $15600\text{L}$ :

$15600\text{L} \cdot 0,2=3120\text{L}$

Im nächsten Schritt musst du berechnen, zu welchem Zeitpunkt noch $3120\text{L}$ im Tank sind. Dafür bestimmst du den Wert $x$ für den folgende Gleichung erfüllt ist:

$g(x)= 3120$

Vollständige Lösung anzeigen

Benutze deinen Taschenrechner, um diese Gleichung zu lösen. Gebe dafür sowohl die linke, als auch die rechte Seite der Gleichung als Funktionen ein und bestimme den Schnittpunkt. Den Schnittpunkt bestimmst du, wie im letzten Aufgabenteil:

Grafik eines mathematischen Diagramms mit einer Funktion und ihrem Schnittpunkt.

Abb. 5: Schnittpunkt bestimmen

Der Auftankvorgang beginnt also nach $3,5\text{h}$ .

$\blacktriangleright$ Zeiträume, in denen das Gasvolumen ab- bzw. zuminnt bestimmen

Die Abschnitte, in denen das Gasvolumen ab- bzw. zunimmt werden durch Extrempunkte unterteilt. Stelle zuerst eine Funktionsgleichung auf, die dir angibt, wieviel Gas zu einem beliebigen Zeitpunkt $x$ im Gastank vorhanden sind. Die Funktion setzt sich zusammen aus dem Anfangswert $15600$ , dem Verbrauch, der durch das Integral $\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt$ beschrieben wird und dem Zufluss von $2000\frac{L}{h}$ . Nenne die Funktion $i(x)$ :

$i(x)=15600-\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt+2000\cdot x$ .

Untersuche diese Funktion mit deinem Taschenrechner auf Extrempunkte mit Vorzeichenwechsel:

Graph einer mathematischen Funktion mit Minimumspunkt und Achsenbeschriftungen.

Abb. 6: Zeiträume zwischen Extrempunkten

Du findest so die Extremstellen $x_1=0$ und $x_2=5,3$ . Zwischen diesen Extremstellen nimmt das Gasvolumen ab und dann bis zum Ende des Tages wieder zu. An der Stelle $x_3=12$ liegt ein Wendepunkt vor. An dieser Stelle ändert sich das Gasvolumen nicht, steigt danach aber wieder weiter an.

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass es keinen konstanten Gasstrom gibt, sodass der Tank am Ende des Arbeitstags wieder voll gefüllt ist

Um das zu zeigen, musst du zuerst berechnen, wie groß dieser Gasstrom sein müsste. Dafür berechnest du, wieviel Gas im laufe eines Arbeitstages insgesamt entnommen wird und teilst diesen Wert durch die $14$ Arbeitsstunden:

$\displaystyle\int_{0}^{14}\;f(t)\mathrm dt=29881,6$ und

$29881,6:14=2134,4$

Ein konstanter Gasstrom müsste also $2134,4\frac{L}{h}$ betragen. Der Tank ist zu Beginn eines Arbeitstages voll gefüllt. Dem Tank kann zu Beginn des Arbeitstages maximal so viel Gas zugeführt werden, wie ihm entnommen wird, da er ansonsten überlaufen würde. Berechne die Entnahme zu Beginn des Arbeitstages:

$f(0)=2000$

Die Entnahme aus dem vollen Gastank ist zu Beginn des Arbeitstages geringer, als $2134,4\frac{L}{h}$ . Darum ist eine Betankung mit einem konstanten Gasstrom, sodass der Tank am Ende des Tages wieder voll gefüllt ist nicht möglich.

$\blacktriangleright$ Konstanten Gasstrom bestimmen

Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Gastank zu Beginn des Arbeitstages $3120\text{L}$ enthält. Die entnommene Gasmenge in den ersten $30$ Minuten kannst du mit folgendem Integral berechnen:

$\displaystyle\int_{0}^{0,5}\;f(t)\mathrm dt=1255,4 \text{L}$

Du sollst den konstanten Zustrom $a$ (in $\frac{L}{h}$ ) bestimmen, mit dem der Tank betankt werden muss, damit er nach $30$ Minuten voll gefüllt ist. Dafür muss die die folgende Gleichung erfüllt sein. Der Wert $a$ muss mit $0,5$ multipliziert werden, weil du einen Zeitraum von einer halben Stunde betrachtest.

$a=27470,8$

Vollständige Lösung anzeigen

Der konstante Gasstrom beträgt also $27470,8\frac{\text{L}}{h}$ .

$\blacktriangleright$ Graphen den Werte $\boldsymbol{k=0}$ und $\boldsymbol{k=1}$ zuordnen

Der Aufgabenstellung kannst du folgende Funktionenschar entnehmen:

$f_k(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Du sollst entscheiden, welches der beiden Schaubilder zu $k=0$ und welches zu $k=1$ gehört. Setzte dafür zuerst die beiden Werte für $k$ ein.

$f_{0}(x)=0,25\cdot x^4-0,5\cdot x^3$

$f_{1}(x)=0,25\cdot x^4-1\cdot x^3+1,5 \cdot x^2$

Betrachtest du die Funktionswerte der beiden Graphen an der Stelle $x=1$ , siehst du, dass der Funktionswert in Abbildung 1 größer als $0$ und in Abbildung $2$ kleiner als $0$ ist. Setzte den Wert $x=1$ in die Funktionsgleichungen $f_{0}$ und $f{1}$ ein und untersuche die Funktionswerte:

$f_{0}(1)=0,25-0,5=-0,25$

$f_{1}(1)=0,25-1+1,5=0,75$

Wegen $f_{0}(1)\lt 0$ und $f_{1}(1)\gt 1$ gehört der erste Funktionsgraph zu $k=1$ und der zweite Funktionsgraph zu $k=0$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_k}$ Auf Werte $\boldsymbol{k}$ , für die Symmetrie vorliegt untersuchen

Ein Graph ist genau dann symmetrisch zur $y$ -Achse, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

$f_k(x)=f_k(-x)$

Du musst also $f_k(-x)$ berechnen und dann überprüfen, ob es ein $k$ gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist.

$f_k(-x)= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Setze jetzt $f_k(-x)$ mit $f_k(x)$ gleich. Da die Terme $0,25\cdot x^4$ und $1,5 \cdot k\cdot x^2$ in beiden Gleichungen vorkommen, kannst du diese direkt weglassen:

$f_k(-x)=f_k(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Weil die Gleichung für jedes $x$ erfüllt sein soll, muss $k=-1$ gelten. Für den Wert $k=-1$ ist der Graph $f_{-1}$ somit symmetrisch zur $y$ -Achse.

$\blacktriangleright$ Kurven, auf denen die Wendepunkte liegen können bestimmen

Um die Kurven zu bestimmen, auf denen die Wendepunkte liegen, gehst du wie folgt vor:

Bestimme die Wedepunkte allgemein in Abhängigkeit von $k$ .
Löse die $x$ -Koordinate des allgemeinen Wendepunktes nach $k$ auf.
Setze das $k$ aus Schritt 2 in die $y$ -Koordinate des Wendepunktes ein.

Schritt 1

Um einen Wendepunkt zu bestimmen, musst du die zweite Ableitung mit Null gleichsetzen. Der Aufgabenstellung kannst du die zweite Ableitung entnehmen:

$f_k‘‘(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x-k)$

Die zweite Ableitung hat die Nullstellen $x=1$ und $x=k$ , (Satz vom Nullprodukt).

Du musst jetzt noch die $y$ -Koordinaten der Wendepunkte bestimmen, indem du die $x$ -Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt:

Für $x=1$ :

$f_k(1)=k-0,25$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $x=k$ :

$f_k(k)==-0,25\cdot k^4+k^3$

Vollständige Lösung anzeigen

Schritt 2

In Schritt 1 hast du die Nullstellen der zweiten Ableitung gefunden. Diese sind bereits nach $x$ aufgelöst. Du kannst direkt mit Schritt 3 weiter machen.

Schritt 3

Der Wendepunkt an der Stelle $x=1$ hängt nicht von $k$ ab. Die Wendepunkte unterschieden sich nur durch ihre $y$ - Koordinate $f_k(1)=k-0,25$ und liegen darum alle auf der Geraden $x=1$ .

Für $x=k$ hängt die $x$ - Koordinate von $k$ ab. Setzte also $k=x$ in die $y$ - Koordinate des Wendepunktes ein:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&f_k(k) &\quad \scriptsize\\[5pt] &=&-0,25\cdot k^4+k^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{k=x}\\[5pt] &=& -0,25\cdot x^4+x^3 \end{array}$

Die gesuchte Gerade ist für $x=k$ :

$y= -0,25\cdot x^4+x^3$

$\blacktriangleright$ Term für $\boldsymbol{h‘}$ herleiten

Da die zweite Ableitung von $h$ eine Nullstelle besitzt aber $h$ dort keine Wendestelle haben soll, muss es sich bei der Nullstelle der zweiten Ableitung um eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel handeln. Also

$h‘‘(x)=(x-2)^2$

Außerdem darf die Ableitungsfunktion an der Stelle $2$ keine Nullstelle aufweisen Ein möglicher Funktionsterm für $h‘$ wäre:

$h‘(x)=\dfrac{(x-2)^3}{3}+c$

Den Summand $+c$ brauchst du, da es an der Stelle $2$ keine Nullstelle geben darf. Dabei ist $c$ eine Zahl ungleich Null.

Bildnachweise [nach oben]

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[4]

[5]

[6]

Aufgabe 1A

$\blacktriangleright$ Funktion auf Bedingungen überprüfen

Du kannst der Aufgabenstellung die Tabelle mit den Daten und die folgende Funktion für $0 \le t \le 14$ entnehmen:

$f(t)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Du sollst überprüfen, ob der Betriebsleiter dem Modell zustimmen kann. Dafür musst du die folgenden Punkte überprüfen:

Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5 \%$ von den Tabellenwerten ab.
Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.

Punkt 1

Graph einer mathematischen Funktion mit sichtbaren Koordinaten und einem Höchstpunkt.

Abb. 1: Tabellenwerte mit dem Taschenrechner bestimmen

Zeit in $h$ nach Beginn des Arbeitstages	Gas- strom in $\dfrac{L}{h}$	Funktions- werte
$0$	$2000$	$2000$
$4$	$3140$	$3024$
$6$	$1500$	$1568$
$10$	$1440$	$1440$

Für $h=4$ :

$\begin{array}[t]{rll} 3024 : 3140&=& 0,963 \end{array}$

und für $h=6$ :

$\begin{array}[t]{rll} 1568:1500 &=& 1,045 \end{array}$

Die Abweichung ist für jeden der Werte kleiner als $5\%$ .

Punkt 2

$\blacktriangleright$ Extrempunkt bestimmen mit GTR

Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Hochpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Hochpunkten findest du unter:

SHIFT $\to$ F5 $\to$ F2

Du erhältst folgende Koordinaten:

$H_1(2 \mid 4000)$ , $\; H_2(12 \mid 2000)$

Graf eines mathematischen Funktionsverlaufs mit Koordinaten und Maximalwert.

Abb. 2: Hochpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen

Da $0,2$ Stunden $12$ Minuten entsprechen, ist die Abweichung kleiner als $15$ Minuten und damit noch im Toleranzbereich des Betriebsleiters.

Da beide Bedingungen des Betriebsleiters erfüllt sind, kann das Modell für folgenden Berechnungen genutzt werden.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der stärksten Abnahme bestimmen

Der Zeitpunkt, zu welchem der Gasstrom am stäksten abnimmt entspricht dem $x$ -Wert des Tiefpunktes der Ableitung. Bestimme zuerst die Ableitung und den Tiefpunkt

Die Ableitung ist:

$f‘(t)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Extrempunkt bestimmen mit GTR

Du hast die Funktion $f‘$ gegeben und sollst deren Graph auf Tiefpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.

Lass dir dazu den Graphen anzeigen. Den Befehl für die Bestimmung von Tiefpunkt findest du unter:

SHIFT $\to$ F5 $\to$ F3

Du erhältst folgende Koordinaten:

$T(4,43\mid -788)$

Graph einer Funktion mit Koordinaten und Minimum, dargestellt in blauer Farbe.

Abb. 3: Tiefpunkt mit dem Taschenrechner bestimmen

Der Zeitpunkt, zu dem der Gasstrom am stärksten abnimmt, ist $4,43\text{h}$ nach Beginn des Arbeitstages.

$\blacktriangleright$ Gesamtzeit, in welcher der Gasstrom mindestens $\boldsymbol{2500 \frac{L}{h}}$ beträgt, berechnen

SHIFT $\to$ F5 $\to$ F5

Damit erhälst du das folgende Ergebnis:

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und Intersektion, dargestellt auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Abb. 4: Schnittpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen

Die Schnittpunkte sind bei $x=0,24$ und $x=4,67$ . Im Bereich dazwischen sind die Werte von $f(t)$ größer als $2500$ . Die Gesamtzeit beträgt somit $4,43 \text{h}$ .

$4,67\text{h} - 0,24 \text{h}= 4,43 \text{h}$

$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ für noch entnehmbares Gasvolumen begründen

$\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt$

Zieht man diese, bereits verbrauchte Gasmenge von der Anfangsmenge $15600\text{L}$ ab, so erhält man das Gasvolumen, welches zum Zeitpunkt $x$ noch entnommen werden kann.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt zu dem der Auftankvorgang beginnt bestimmen

$15600\text{L} \cdot 0,2=3120\text{L}$

Im nächsten Schritt musst du berechnen, zu welchem Zeitpunkt noch $3120\text{L}$ im Tank sind. Dafür bestimmst du den Wert $x$ für den folgende Gleichung erfüllt ist:

$g(x)= 3120$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Grafik mit Koordinaten und einer pinken Linie, die einen Schnittpunkt zeigt.

Abb. 5: Schnittpunkt bestimmen

Der Auftankvorgang beginnt also nach $3,5\text{h}$ .

$\blacktriangleright$ Zeiträume, in denen das Gasvolumen ab- bzw. zuminnt bestimmen

$i(x)=15600-\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt+2000\cdot x$ .

Untersuche diese Funktion mit deinem Taschenrechner auf Extrempunkte mit Vorzeichenwechsel:

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und minimalem Punkt angezeigt.

Abb. 6: Zeiträume zwischen Extrempunkten

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass es keinen konstanten Gasstrom gibt, sodass der Tank am Ende des Arbeitstags wieder voll gefüllt ist

$\displaystyle\int_{0}^{14}\;f(t)\mathrm dt=29881,6$ und

$29881,6:14=2134,4$

$f(0)=2000$

$\blacktriangleright$ Konstanten Gasstrom bestimmen

$\displaystyle\int_{0}^{0,5}\;f(t)\mathrm dt=1255,4 \text{L}$

$a= 27470,8$

Vollständige Lösung anzeigen

Der konstante Gasstrom beträgt also $27470,8\frac{\text{L}}{h}$ .

$\blacktriangleright$ Graphen den Werte $\boldsymbol{k=0}$ und $\boldsymbol{k=1}$ zuordnen

Der Aufgabenstellung kannst du folgende Funktionenschar entnehmen:

$f_k(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Du sollst entscheiden, welches der beiden Schaubilder zu $k=0$ und welches zu $k=1$ gehört. Setzte dafür zuerst die beiden Werte für $k$ ein.

$f_{0}(x)=0,25\cdot x^4-0,5\cdot x^3$

$f_{1}(x)=0,25\cdot x^4-1\cdot x^3+1,5 \cdot x^2$

$f_{0}(1)=0,25-0,5=-0,25$

$f_{1}(1)=0,25-1+1,5=0,75$

Wegen $f_{0}(1)\lt 0$ und $f_{1}(1)\gt 1$ gehört der erste Funktionsgraph zu $k=1$ und der zweite Funktionsgraph zu $k=0$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_k}$ Auf Werte $\boldsymbol{k}$ , für die Symmetrie vorliegt untersuchen

Ein Graph ist genau dann symmetrisch zur $y$ -Achse, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

$f_k(x)=f_k(-x)$

Du musst also $f_k(-x)$ berechnen und dann überprüfen, ob es ein $k$ gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist.

$f_k(-x)= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Setze jetzt $f_k(-x)$ mit $f_k(x)$ gleich. Da die Terme $0,25\cdot x^4$ und $1,5 \cdot k\cdot x^2$ in beiden Gleichungen vorkommen, kannst du diese direkt weglassen:

$f_k(-x)=f_k(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Weil die Gleichung für jedes $x$ erfüllt sein soll, muss $k=-1$ gelten. Für den Wert $k=-1$ ist der Graph $f_{-1}$ somit symmetrisch zur $y$ -Achse.

$\blacktriangleright$ Kurven, auf denen die Wendepunkte liegen können bestimmen

Um die Kurven zu bestimmen, auf denen die Wendepunkte liegen, gehst du wie folgt vor:

Bestimme die Wedepunkte allgemein in Abhängigkeit von $k$ .
Löse die $x$ -Koordinate des allgemeinen Wendepunktes nach $k$ auf.
Setze das $k$ aus Schritt 2 in die $y$ -Koordinate des Wendepunktes ein.

Schritt 1

Um einen Wendepunkt zu bestimmen, musst du die zweite Ableitung mit Null gleichsetzen. Der Aufgabenstellung kannst du die zweite Ableitung entnehmen:

$f_k‘‘(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x-k)$

Die zweite Ableitung hat die Nullstellen $x=1$ und $x=k$ , (Satz vom Nullprodukt).

Du musst jetzt noch die $y$ -Koordinaten der Wendepunkte bestimmen, indem du die $x$ -Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt:

Für $x=1$ :

$f_k(1)=k-0,25$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $x=k$ :

$f_k(k)=-0,25\cdot k^4+k^3$

Vollständige Lösung anzeigen

Schritt 2

In Schritt 1 hast du die Nullstellen der zweiten Ableitung gefunden. Diese sind bereits nach $x$ aufgelöst. Du kannst direkt mit Schritt 3 weiter machen.

Schritt 3

Der Wendepunkt an der Stelle $x=1$ hängt nicht von $k$ ab. Die Wendepunkte unterschieden sich nur durch ihre $y$ - Koordinate $f_k(1)=k-0,25$ und liegen darum alle auf der Geraden $x=1$ .

Für $x=k$ hängt die $x$ - Koordinate von $k$ ab. Setzte also $k=x$ in die $y$ - Koordinate des Wendepunktes ein:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&f_k(k) &\quad \scriptsize\\[5pt] &=&-0,25\cdot k^4+k^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{k=x}\\[5pt] &=& -0,25\cdot x^4+x^3 \end{array}$

Die gesuchte Gerade ist für $x=k$ :

$y= -0,25\cdot x^4+x^3$

$\blacktriangleright$ Term für $\boldsymbol{h‘}$ herleiten

$h‘‘(x)=(x-2)^2$

Außerdem darf die Ableitungsfunktion an der Stelle $2$ keine Nullstelle aufweisen Ein möglicher Funktionsterm für $h‘$ wäre:

$h‘(x)=\dfrac{(x-2)^3}{3}+c$

Den Summand $+c$ brauchst du, da es an der Stelle $2$ keine Nullstelle geben darf. Dabei ist $c$ eine Zahl ungleich Null.

Bildnachweise [nach oben]

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