Aufgabe 1A

Unter der Körpertemperatur eines Menschen versteht man die Temperatur des Körperinneren.
Die Körpertemperatur eines gesunden Menschen (Normaltemperatur) wird mit $37,0^{\circ}\text C$ angenommen.
Bei Temperaturen ab $37,9 ^{\circ} \text {C}$ spricht man von Fieber.

Der zeitliche Verlauf der Körpertemperatur einer erkrankten Person lässt sich bei bestimmten Erkrankungen modellhaft mithilfe der Funktion $f$ mit $f(t)=37+3t\cdot e^{-\frac{1}{7}t^2}$ , $t\geq 0$ , beschreiben.
Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen nach dem Ausbruch der Krankheit und $f(t)$ die Körpertemperatur in $^{\circ} \text C$ .

Die Ableitungsfunktion $f‘$ ist gegeben durch $f‘(t)=\left(3- \frac{6}{7}t^2\right)\cdot e^{-\frac{1}{7}t^2}$ .

Die zu ermittelnden Zeiten sollen in Tagen, auf eine Nachkommastelle gerundet, angegeben werden.

Berechne

die Abweichung der Körpertemperatur der erkrankten Person am Ende des ersten Tages von der Normaltemperatur,
die Länge des Zeitraumes, in dem die Person Fieber hat.

Berechne $f‘(2)$ und deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
Nenne zwei Aspekte, die verdeutlichen, dass es sich bei diesem Modell um eine Vereinfachung der Realität handelt.

(11 BE)

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur der Person am stärksten ansteigt, und den Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.
Die Temperatur der Person sinkt zu einem Zeitpunkt unter $37,5 ^{\circ} \text C$ .
Begründe mithilfe des Terms der 1. Ableitung von $f$ , dass es ab diesem Zeitpunkt die Temperatur dauerhaft $37,5 ^{\circ} \text C$ bleibt.

(11 BE)

Eine andere Person mit gleichem Krankheitsverlauf nimmt $3$ Tage nach Ausbruch der Krankheit ein fiebersenkendes Medikament ein. Man geht davon aus, dass ab diesem Zeitpunkt die Temperatur exponentiell abnimmt und sich der Normaltemperatur nähert.
Sechs Stunden nach der Einnahme des Medikaments beträgt die Temperatur $37,6 ^{\circ} \text C$ .
Bestimme den Zeitpunkt nach der Medikamenteneinnahme, zu dem die Person fieberfrei wird.

(9 BE)

Die Funktionen $f_k$ mit $f_k(t)=37+3t\cdot e^{-k\cdot t^2}$ , $t\geq 0$ , $k \gt 0$ , können ebenfalls modellhaft den Temperaturverlauf bei bestimmten Erkrankungen beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen nach dem Ausbruch der Krankheit und $f_k(t)$ die Körpertemperatur in $^{\circ} \text C$ . Der Parameter $k$ hängt von der maximalen Körpertemperatur während der Erkrankung ab.
Für jeden Wert von $k$ sind die Ableitungsfunktion $f_k‘$ durch $f_k‘(t)=(3-6k\cdot t^2)\cdot e^{-k\cdot t^2}$ und eine Stammfunktion $F_k$ durch $F_k(t)=37t-\dfrac{3}{2k}\cdot e^{-k\cdot t^2}$ gegeben. Für jeden Wert von $k$ hat der Graph von $f_k$ genau einen Hochpunkt.
In der Abbildung 1 sind die Graphen der Funktionen $f_{0,1}$ und $f_{0,2}$ dargestellt.

Abb. 1

Entscheide, welcher Graph zu welcher Funktion gehört.
Für jeden Wert von $k$ wird der Inhalt $A(k)$ der Fläche zwischen dem Graphen von $f_k$ und der Geraden zu $y=37$ als ein Maß für die Belastung einer erkrankten Person angenommen.
Zeige, dass $A(k)=\dfrac{3}{2k}$ gilt.

Bestimme alle Werte von $k$ , für die die Graphen von $f_k$ einen Temperaturverlauf ohne Fieber beschreiben.

(15 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Abweichung am Ende des Tages berechnen

$f(1)\approx 39,6^{\circ}\,C$

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Die Normaltemperatur beträgt $37,0^{\circ}\,C.$ Am Ende des ersten Tages weicht die Körpertemperatur also um ca. $2,6^{\circ}\,C$ von der Normaltemperatur ab.

$\blacktriangleright$ Länge des Fieberzeitraums berechnen

Löse folgende Gleichung mit deinem GTR:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y = 37,9.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme die $x$ -Werte zum $y$ -Wert $37,9$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

$\begin{array}[t]{rll} t_1 &\approx& 0,3 \\[5pt] t_2 &\approx& 4,3 \end{array}$

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Am Graphen kann man erkennen, dass $f(t)\geq 37,9$ gilt für $t_1 \leq t\leq t_2.$ Die Person hat in diesem Zeitraum also Fieber. Die Person hat ca. $4$ Tage lang Fieber.

$\blacktriangleright$ Wert berechnen und im Sachzusammenhang deuten

$f‘(2)\approx -0,24$

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Am Ende des zweiten Tages nimmt die Körpertemperatur der Person mit einer momentanen Änderungsrate von ca. $0,24^{\circ}\,C$ pro Tag ab.

$\blacktriangleright$ Zwei Aspekte der Vereinfachung nennen

Eine Krankheit und damit auch der einhergehende Verlauf der Körpertemperatur verläuft bei jeder Person unterschiedlich. Mithilfe des Modells wird ein "Standardfall" abgebildet. Bei den wenigsten Patienten wird der Verlauf genau so eintreten.
Die Körpertemperatur eines Menschen schwankt auch im gesunden Zustand regelmäßig, man kann also nicht davon ausgehen, dass die Personen zu Beginn der Erkrankung genau die Körpertemperatur $37^{\circ}\,C$ haben und diese auch zum Ende der Erkrankung wieder annehmen und dann stetig beibehalten. Genauso kann auch die Körpertemperatur während der Erkrankung schwanken, also innerhalb eines Tages beispielsweise steigen und wieder sinken. Das wird im Modell nicht berücksichtigt.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg und der stärksten Abnahme ermitteln

Die Zunahme und Abnahme der Körpertemperatur wird durch die erste Ableitungsfunktion $f‘$ beschrieben.
Lass dir den Graphen von $f‘$ in deinem GTR anzeigen und bestimme die Hoch- und Tiefpunkte:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Du erhältst:

$T_1(-3,2\mid -1,34),$ $H(0\mid 3),$ $T_2(3,2\mid -1,34)$

Die Körpertemperatur der Person nimmt direkt zum Zeitpunkt des Krankheitsausbruchs am stärksten zu und ca. $3,2$ Tage nach dem Ausbruch am stärksten ab.

$\blacktriangleright$ Dauerhafte Temperatur begründen

Es ist $f‘(t) = \left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2}.$

Ist $f‘(t) \gt 0,$ so steigt die Körpertemperatur zu diesem Zeitpunkt, ist $f‘(t) \lt 0,$ so sinkt die Körpertemperatur.
Der Faktor $\mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2}$ ist $\gt 0$ für alle $t\in \mathbb{R}.$ Bei dem zweiten Faktor $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)$ handelt es sich um den Funktionsterm einer nach unten geöffneten Parabel.
Die zugehörige Parabel ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Ihr Scheitelpunkt liegt daher auf der $y$ -Achse, sodass der Graph danach streng monoton fällt. Die Parabel schneidet also an einer Stelle $t_N \gt 0$ die $t$ -Achse. Ab diesem Wert verläuft die Parabel unterhalb der $t$ -Achse. Es gilt also $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right) \lt 0$ für alle $t \gt t_N.$

Gleiches gilt auch für den gesamten Funktionsterm von $f‘:$

Es ist $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2} \gt 0$ für alle $0\leq t \lt t_N$ und $\left(3 - \frac{6}{7}t^2 \right)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{7}\cdot t^2} \lt 0$ für alle $t\gt t_N.$
Sinkt die Körpertemperatur also einmal nach Ausbruch der Krankheit, so steigt sie nicht wieder. Sinkt sie also einmal unter $37,5^{\circ}\,C,$ so bleibt sie auch dauerhaft darunter.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Gesucht ist eine Funktion, die exponentiell abnimmt und sich der Normaltemperatur nähert, also eine Funktion mit nach unten beschränktem Wachstum. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet: $B(t) = S+ (B(0) -S) e^{-kt}.$

Dabei gilt folgendes für die Parameter:

$B(t):$ Bestandsgröße nach t Stunden
$S:$ untere Schranke
$B(0):$ Anfangsbestand
$k:$ Wachstumskonstante

Vor der Einnahme hat die Person bereits 3 Tage lang Fieber gehabt, d.h es gilt:

$B(0)= f(3)= 37 +3\cdot 3 \cdot e^{-\frac{1}{7} \cdot 3^2} \approx 39,49 \; ^{\circ}\text{C}$

Die Schranke $S$ stellt die Normaltemperatur von $37 \; ^{\circ}\text{C}$ dar und somit ist $S= 37 \; ^{\circ}\text{C}.$

Sechs Stunden nach der Einnahme des Medikaments beträgt die Temperatur $37,6\; ^{\circ}\text{C}$ , folglich gilt $B(6)= 37,6.$

Setze nun in die Funktionsgleichung für beschränktes Wachstum ein und löse mit deinem GTR nach $k$ auf:

$\begin{array}[t]{rll} 37,6&=& B(6)&\quad \scriptsize \mid\;einsetzen \\[5pt] &=& 37+(39,49-37) \cdot e^{-k\cdot 6}&\quad \scriptsize \\[5pt] 37,6 &=& 37+ 2,49 \cdot e^{-6k}&\quad \scriptsize \mid\;GTR \\[5pt] 0,245&\approx& k&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Folglich lautet die Funktionsgleichung: $B(t)=37+2,49 \cdot e^{-0,245 \cdot t}.$

2. Schritt: Zeitpunkt bestimmen

Gesucht ist nun $t$ mit $B(t) = 37,9.$ Diese Gleichung kannst du mit deinem GTR lösen und erhältst:

$t \approx 4,15$

Ca. $4,15$ Stunden nach Einnahme des Medikaments wird die Person fieberfrei.

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Je höher der Parameterwert $k$ ist, desto schneller fällt der zugehörige Graph von $f_k.$
Graph $\text{I}$ gehört also zu $f_{0,1}$ und Graph $\text{II}$ gehört zu $f_{0,2}.$

$\blacktriangleright$ Maß berechnen

Den gesuchten Flächeninhalt kannst du mit einem Integral berechnen.

1. Schritt: Integrationsgrenzen bestimmen

Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen der beiden Funktionen $f_k$ und $y = 37.$

$t=0$

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Es gibt nur eine Schnittstelle. Es ist also der Wert eines unbestimmten Integrals zu berechnen.

2. Schritt: Integral berechnen

$A(k)= \lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{b}(f_k(t) -37)\;\mathrm dt$

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Es gilt nun $-k\cdot b^2 \to -\infty$ für $b\to \infty.$ Für $x \to -\infty$ gilt wiederum $\mathrm e^{x} \to 0.$
Insgesamt gilt daher $- \frac{3}{2k}\cdot \mathrm e^{-k\cdot b^2} \to 0$ und daher:

$A(k)=\frac{3}{2k}$

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$\blacktriangleright$ Fieberfreien Verlauf bestimmen

Eine Funktion $f_k$ beschreibt dann einen fieberfreien Verlauf, wenn ihr Hochpunkt unterhalb der Fiebergrenze von $y=37,9$ liegt.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘(t) &=& 0 \\[5pt] t_1 &=& \sqrt{\frac{1}{2k}} \\[5pt] t_2 &=& -\sqrt{\frac{1}{2k}} \end{array}$

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Da $t_2 \lt 0$ ist und dies im Sachzusammenhang nicht sinnvoll ist, bleibt nur $t_1 = \sqrt{\frac{1}{2k}}$ für die Maximalstelle. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass die Graphen von $f_k$ ihren Hochpunkt im ersten Quadranten besitzen.

2. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

$y_K= 37 + 3\cdot \sqrt{\frac{1}{2k}}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}}$

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3. Schritt: Parameterwert bestimmen

$\frac{1}{0,18\mathrm e} \lt k$

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Für alle $k\gt \frac{1}{0,18\mathrm e}$ beschreiben die zugehörigen Graphen von $f_k$ einen fieberfreien Temperaturverlauf.