Aufgabe 3B

Gegeben ist ein Würfel $ABCDEFGH$ mit $D(0 \mid 0\mid 0) ,$ $B(4\mid 4\mid 0)$ und $H(0 \mid 0\mid 4).$ In dem Würfel wird die dreiseitige Pyramide $ACFH$ betrachtet. Die Ebene $K$ mit $x + y - z = 4$ wird durch die Punkte $A,$ $C$ und $F$ festgelegt.

Abb. 1

Gib die Koordinaten aller Eckpunkte der dreiseitigen Pyramide an.
Berechne die Länge der Kante $HF.$
Begründe, dass alle Kanten der Pyramide die gleiche Länge haben.
Bestimme eine Gleichung in Koordinatenform einer zu $K$ parallelen Ebene, die den Punkt $B$ enthält.
Bestimme den Winkel, den die Seitenfläche $ACH$ der Pyramide und die Ebene $K$ miteinander einschließen.

(12 BE)

Der Würfel begrenzt mit der Pyramide $ACFH$ vier dreiseitige Pyramiden.
Begründe die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Das Volumen der Pyramide $ACFH$ ist doppelt so groß wie das Volumen jeder der vier anderen eingeschlossenen dreiseitigen Pyramiden.

Die Gerade $g$ ist durch die Punkte $B$ und $H$ festgelegt. $P$ ist ein beliebiger Punkt auf $g.$
Berechne die Koordinaten eines Punktes $P$ in Abhängigkeit von $k$ für $k \gt 0$ so, dass die Pyramide $ACFP$ das $k$ -fache Volumen der Pyramide $ACFH$ hat.

(12 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Eckpunkte angeben

Verwendet werden die Würfeleigenschaften von $ABCDEFGH$ und die gegebenen Koordinaten von $D,$ $B$ und $H.$

$A(4\mid 0\mid 0),$ $C(0\mid 4\mid 0),$ $F(4\mid 4\mid 4)$ und $H(0\mid 0\mid 4).$

$\blacktriangleright$ Kantenlänge berechnen

$\left|\overrightarrow{HF} \right| \approx 5,66$

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Die Kante $HF$ ist ca. $5,66$ Längeneinheiten lang.

$\blacktriangleright$ Gleiche Länge begründen

Alle Kanten der Pyramide sind Diagonalen der quadratischen Seitenflächen des Würfels und müssen daher gleich lang sein.

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung bestimmen

Aus der angegebenen Gleichung von $K$ kann der Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\1\\-1}$ abgelesen werden. Da die gesuchte Ebene parallel zu $K$ verlaufen soll, kann dieser Normalenvektor verwendet werden. Mithilfe einer Punktprobe mit $B$ ergibt sich dann:

$d = 8$

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Eine Gleichung der Ebene, die parallel zu $K$ ist und in der $B$ liegt, lautet:

$x+y-z =8$

$\blacktriangleright$ Winkel bestimmen

Ein möglicher Normalenvektor der Ebene, in der $ACH$ liegt, lässt sich mithilfe des Kreuzprodukts berechnen:

$\overrightarrow{n}_2 = 16\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}$

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Du kannst den gekürzten Vektor verwenden. Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt dann:

$\alpha\approx 70,5^{\circ}$

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Die Seitenfläche $ACH$ und die Ebene $K$ schließen einen Winkel von ca. $70,5^{\circ}$ ein.

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

Die Kantenlänge des Würfels beträgt $4.$ Der Würfel hat also ein Volumen von $V = 4^3= 64.$

Die vier dreiseitigen Pyramiden werden jeweils durch eine Seitenfläche der Pyramide $ACFH$ und drei Würfelkanten begrenzt. Sie haben daher alle identisches Volumen.
Das Volumen der Pyramide $ABCF$ kann beispielsweise wie folgt berechnet werden:
Betrachtet man die Seite $ABC$ als Grundfläche, so handelt es sich dabei um ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 = 8.$
Die Höhe dieser Pyramide beträgt entsprechend der Kantenlänge des Würfels $4.$ Das Volumen beträgt also:

$\begin{array}[t]{rll} V_{ABCF}&=& \frac{1}{3}\cdot 8\cdot 4 \\[5pt] &=& \frac{32}{3} \end{array}$

Die vier dreiseitigen Pyramiden nehmen also gemeinsam ein Volumen von $4\cdot \frac{32}{3} = \frac{128}{3}$ ein.

Das Volumen der Pyramide $ACFH$ ergibt sich als Differenz des Würfelvolumens und des Gesamtvolumens der dreiseitigen Pyramiden:

$V_{ACFH} = 64-\frac{128}{3} = \frac{64}{3}$

Dies entspricht dem Doppelten von $V_{ABCF}=\frac{32}{3}.$
Das Volumen von $ACFH$ ist also doppelt so groß wie das Volumen jeder der vier anderen eingeschlossenen dreiseitigen Pyramiden.

$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen

$g$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$g:\quad \overrightarrow{x} = ...$

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Ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor von $K$ sind linear abhängig. Die Gerade verläuft also orthogonal zu $K.$

Die Höhe der Pyramide $ACFP$ zur Grundfläche $ACF$ entspricht also dem Abstand von $P$ zu dem Punkt $Q,$ in dem $g$ die Ebene $K$ durchstößt.
Setzt du die Koordinaten von $g$ in die Ebenengleichung von $K$ ein, so erhältst du:

$t= \frac{2}{3}$

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Einsetzen in die Geradengleichung liefert damit den Ortsvektor des Durchstoßpunkts $Q:$

$\overrightarrow{OQ} = \pmatrix{\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\\\frac{4}{3}}$

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Da alle Pyramiden $ACFP$ und $ACFH$ die Grundfläche $ACF$ gemeinsam haben, ist das Volumen von $ACFP$ genau dann das $k$ -fache des Volumens von $ACFH,$ wenn die Höhe $k$ -mal so lang ist wie die Höhe von $ACFH.$

Es muss also gelten $\left|\overrightarrow{QP}\right| = k\cdot \left|\overrightarrow{QH}\right|.$ Dies ist der Fall für $\overrightarrow{QP} = k\cdot \overrightarrow{QH} = k\cdot \pmatrix{-\frac{8}{3}\\-\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}}.$

Den Ortsvektor von $P$ kannst du dann wie folgt bestimmen:

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{\frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \\ \frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \\ \frac{4}{3}+\frac{8}{3}k}$

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Ein möglicher Punkt $P$ ist also $P\left(\frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \mid \frac{8}{3}-\frac{8}{3}k \mid \frac{4}{3}+\frac{8}{3}k\right).$