Aufgabe 3A

Diagramm mit den Schichten: Oberflächenschicht, Sprungschicht und Tiefenschicht.

Stehende Gewässer weisen eine Schichtung des Wassers auf. Modellhaft werden drei Schichten unterschieden: die kalte Tiefenschicht, die warme Oberflächenschicht und die dazwischenliegende Sprungschicht, in der die Temperatur mit der Tiefe sinkt.

			von
		O	S	T
	O	0,9	0,1	0
nach	S	0,1	0,85	0,1
	T	0	0,05	0,9

Durch unterschiedliche Vorgänge kommt es zu einem gewissen Austausch zwischen den Schichten, sodass sich die Schichtdicken verändern. Die nebenstehende Tabelle beschreibt die Übergänge zwischen den Schichten pro Zeiteinheit. Für diese Modellierung wird vorausgesetzt, dass sich diese Entwicklung in der beschriebenen Weise fortsetzen wird.

a) Stellen Sie die Daten aus der Übergangstabelle in einem Übergangsgraphen dar.
Erläutern Sie die Werte der mittleren Zeile der Tabelle im Sachzusammenhang.
Bestimmen Sie die Schichtdicken nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau, wenn zu Beginn jede der Schichten 3 m dick ist.

(10P)

b) Nach diesem Modell werden die Oberflächen- und die Sprungschicht mit der Zeit gleich dick.
Erstellen Sie begründet eine veränderte Übergangsmatrix so, dass die Sprungschicht auf lange Sicht dicker ist als die Oberflächenschicht.

(6P)

c) Für eine andere Modellierung eines 9 m tiefen Gewässers wird die Übergangsmatrix

$N=\begin{pmatrix}a&b&0\\1-a&1-2\cdot b&c\\0&b&1-c\end{pmatrix}$ angegeben.

Geben Sie an, welche Werte $b$ annehmen darf.
Bestimmen Sie eine Matrix $N$ so, dass sich eine stabile Verteilung mit einer 1 m dicken Oberflächen-, einer 3 m dicken Sprung- und einer 5 m dicken Tiefenschicht ergibt.

(8P)

(24P)

a) $\blacktriangleright$ Übergangsgraph

Den Übergangsgraphen erhältst du, indem du jeder Schicht einen Knoten zuordnest. Durch Pfeile zwischen den entsprechenden Knoten, kannst du die Übergange zwischen den Schichten darstellen. Beschrifte die Pfeile jeweils mit der zugehörigen Übergangswahrscheinlichkeit aus der Tabelle.
Dein Übergangsgraph sollte dann wie folgt aussehen:

Diagramm eines Zustandsraums mit Wahrscheinlichkeiten zwischen Zuständen O, S und T.

$\blacktriangleright$ Mittlere Zeile im Sachzusammenhang erklären

Du sollst die Werte der mittleren Zeile im Sachzusammenhang erklären. Die Werte der Zeile geben an, dass pro Zeiteinheit $10\%\ (0,1)$ von der Dicke der Oberflächenschicht zur Dicke der Sprungschicht hinzukommen, $85\%\ (0,85)$ von der Dicke der Sprungschicht erhalten bleiben und $10\%\ (0,1)$ von der Dicke der Tiefenschicht zur Dicke der Sprungschicht hinzukommen.

$\blacktriangleright$ Schichtdicke bestimmen

Zu Beginn ist jede der Schichten 3 m dick, du sollst die Schichtdicken nach fünf Zeiteinheiten berechnen. Die Übergangsmatrix

$M = \begin{pmatrix}0,9&0,1&0\\0,1&0,85&0,1\\0&0,05&0,9\end{pmatrix}$

gibt die Übergänge pro Zeiteinheit an, das bedeutet, dass du die Matrix 5 mal mit sich selbst multiplizieren musst, um die Verteilung pro 5 Zeiteinheiten zu erhalten. Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 3 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren. Du erhältst dann für die Verteilung nach 5 Zeiteinheiten:

$\begin{array}{rcll} M^5\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0,9&0,1&0\\0,1&0,85&0,1\\0&0,05&0,9\end{pmatrix}^5 \cdot \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}0,66& 0,31&0,07 \\ 0,31 & 0,54&0,31\\0,03&0,15&0,63\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}3,104\\ 3,458\\2,438\end{pmatrix}& \end{array}$

Nach fünf Zeiteinheiten beträgt die Dicke der Oberflächenschicht $\boldsymbol{3,10\;\textbf{m}}$ , die der Sprungschicht $\boldsymbol{3,46\;\textbf{m}}$ und die der Tiefenschicht $\boldsymbol{2,44\;\textbf{m}}$ .

b) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix erstellen

Erstelle eine veränderte Übergangsmatrix so, dass die Sprungschicht auf lange Sicht dicker ist als die Oberflächenschicht. Eine mögliche Übergangsmatrix ist gegeben durch

$M_1 = \begin{pmatrix}0,7&0,1&0\\0,3&0,85&0,1\\0&0,05&0,9\end{pmatrix}$

Damit die Sprungschicht auf lange Sicht dicker ist als die Oberflächenschicht muss ein erhöhten Zufluss in die Sprungschicht oder eine Verringerung des Abflusses aus der Sprungschicht vorliegen.

c) $\blacktriangleright$ Werte für $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Du hast folgende Übergangsmatrix gegeben:

$N=\begin{pmatrix}a&b&0\\1-a&1-2\cdot b&c\\0&b&1-c\end{pmatrix}$

Du sollst den möglichen Bereich für $b$ bestimmen. Diesen liest du am Besten aus dem Eintrag $1-2\cdot b$ ab, da dieser zwischen 0 und 1 liegen muss. Das bedeutet, dass:

$1-2\cdot b \leq 1$ und $1-2\cdot b \geq 0$

Stelle diese beiden Gleichungen um. Du erhältst für $b$ den folgenden Bereich: $\boldsymbol{0 \leq b \leq 0,5}$ .

$\blacktriangleright$ Matrix für stabile Verteilung

Bestimme eine Matrix $N$ so, dass sich eine stabile Verteilung mit einer 1 m dicken Oberflächenschicht, einer 3 m dicken Sprungschicht und einer 5 m dicken Tiefenschicht ergibt. Der passende Ansatz ist gegeben durch:

$\begin{pmatrix}a&b&0\\1-a&1-2\cdot b&c\\0&b&1-c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$

Multipliziere die Matrix mit dem Vektor und du erhältst:

$\begin{pmatrix}a+3b\\1-a+3-6b+5c\\3b+5-5c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$

Das ergibt folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrccccc} (1)&1&=&a&+&3b&&\\ (2)&-1&=&-a&-&6b&+&5c\\ (3)&0&=&&&3b&-&5c& \end{array}$

Stelle Gleichung (1) nach $a$ um:

$\begin{array}{rcll} 1&=&a+3b&\\ a&=&1-3b& \end{array}$

Stelle Gleichung (3) nach $b$ um:

$\begin{array}{rcll} 0&=&3b-5c&\\ 5c&=&3b&\\ b&=&\frac{5c}{3}& \end{array}$

Dann ergibt sich für $a=1-3\cdot (\frac{5c}{3}) = 1-5c$ .

Wähle $c$ geeignet, z.B. $c=0,06$ . Dann gilt $a=0,7$ und $b=0,1$ . Die Übergangsmatrix hat dann folgende Form:

$N=\begin{pmatrix}0,7&0,1&0\\0,3&0,8&0,06\\0&0,1&0,94\end{pmatrix}$