Analysis
Aufgabe 1A
Gegeben ist die Schar der in
a)
Skizziere den Graphen von 
in Abbildung 1.
Gib die Extrempunkte von an.
Abbildung 1
(5 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte der Graphen von 
und 
Die Graphen von und 
haben die beiden gemeinsamen Punkte 
und 
mit 
und 
Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt.
(5 BE)
c)
Die Gleichung 
hat in Abhängigkeit von 
die Lösungen 
und 
sowie 
Gib die Anzahl der Nullstellen von 
in Abhängigkeit von an und begründe deine Angabe anhand der obigen Terme.
(6 BE)
d)
Der Graph jeder Funktion 
hat genau einen Wendepunkt 
Bestimme den Wert von 
zu dem Wendepunkt mit der größten 
-Koordinate.
Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen
(5 BE)
e)
Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von 
und interpretiere die Werte im Sachkontext.
(4 BE)
f)
Mit 
wird die erste Ableitungsfunktion von bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt 
die folgende Aussage: 
und 
Interpretiere dies in Bezug auf die Bewegung von 
in diesem Zeitraum.
(3 BE)
g)
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von zur Wasseroberfläche des Sees 10 Meter.
Ermittle den Abstand von zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.
(6 BE)
h)
Abbildung 2
(6 BE)
Aufgabe 1B
Die zeitliche Entwicklung der Blutalkoholkonzentration (BAK) kann für eine bestimmte Person nach dem Verzehr von zwei Gläsern Wein durch die auf
a)
Gib die Nullstellen von 
an.
Begründe, dass das Intervall ![\( [0;7,2] \)](https://mathjax.schullv.de/69f96880a5c66d43a98aeff781f3d0dbe167f42729ce6cd960acc58efdb0f4dd?color=5a5a5a)
eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion für den Sachzusammenhang ist.
(3 BE)
b)
Berechne die maximale BAK der betrachteten Person.
Bei einer BAK von 
oder mehr darf die Person in Deutschland kein Auto mehr fahren.
Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf.
Mit Hilfe einer linearen Funktion können Näherungswerte für die BAK berechnet werden.
Für jede Person ergibt sich je nach individuellen Eigenschaften und konsumierter Alkoholmenge eine andere lineare Funktion. Der
(6 BE)
c)
Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person 
beträgt.
Zur Bestimmung der linearen Funktion für eine zweite Person werden zwei Messungen durchgeführt: 4 Stunden nach dem Verzehr beträgt die BAK 
und weitere 30 Minuten später 
Berechne damit die theoretische maximale BAK der zweiten Person.
(5 BE)
d)
Begründe mit Hilfe des Terms von 
dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK.
Im Folgenden wird wieder die zeitliche Entwicklung der BAK anhand der Funktion
(3 BE)
e)
Zeige, dass eine Lösung der Differenzialgleichung mit 
und 
ist.
(6 BE)
f)
Die zeitliche Entwicklung der BAK setzt sich aus verschiedenen Wachstumsprozessen zusammen.
Begründe anhand der Differenzialgleichung, dass die zeitliche Entwicklung der BAK auf lange Sicht näherungsweise einen linearen Abnahmeprozess darstellt.
Unabhängig vom Sachkontext wird für
(5 BE)
g)
Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle 
hat.
Begründe, dass die 
-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von kleiner werden.
(7 BE)
h)
Der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von 
und 
auf dem Intervall ![\( [0;1] \)](https://mathjax.schullv.de/47a544fdbaee293ff46b3f6b6052db907545142d65b904f742f3006f1edcd7e5?color=5a5a5a)
soll an der Stelle 
durch eine Parallele zur 
-Achse halbiert werden.
Bestimme 
(5 BE)
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a)
Graph skizzieren
Extrempunkte angeben
Die Extrempunkte können aus dem Graphen abgelesen werden und besitzen die Koordinaten 
sowie etwa 
Abbildung 1
b)
Koordinaten ermitteln
Aus 
folgen mit dem GTR die Lösungen 
und 
-Koordinaten bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_1(0)&=& 0^3- 0^2+0 & \\[5pt]
&=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2f0f96edbbb47c0379b8c1277dc6eebee41973fb38a1bff1da940535e6eb7190?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_1(0,76)&=& 0,76^3- 0,76^2+0,76 & \\[5pt]
&\approx& 0,62
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9b900b84c3d863a987d574ad621eb14f57884badf85d4bc80629d4ff1407c609?color=5a5a5a)
Die gemeinsamen Punkte von und 
besitzen somit die Koordinaten 
und 
Gemeinsamen Punkt nachweisen
Da 
unabhängig von gilt, liegt der Punkt 
auf allen Graphen der Schar.
Vergleichen der gemeinsamen Punkte von und bzw. liefert allerdings 
Da diese jeweils neben dem Ursprung die einzigen gemeinsamen Punkte sind, liegt nur der Ursprung und somit genau ein Punkt auf allen Graphen der Schar.
c)
Die Anzahl der Nullstellen hängt von dem Radikanden, also dem Term unter der Wurzel, ab:
besitzen somit für 
eine Nullstelle, für 
zwei Nullstellen und für 
drei Nullstellen.
eine Nullstelle
zwei Nullstellen
drei Nullstellen
d)
1. Schritt: Funktion aufstellen
Für die -Werte an der Stelle 
gilt:
2. Schritt: Ableitung bestimmen
Ableiten nach ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a](https://mathjax.schullv.de/d9589a6b1cb1671b602a5c2f9427dc12e9a2f78a95e3cc71cb07d7adfd0bb837?color=5a5a5a)
3. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a](https://mathjax.schullv.de/10e6b3d7db3a9741b8db11edf237b9b206e8413272765a7e0804e99733c0b727?color=5a5a5a)
Mit dem GTR folgt 
und 
Da 
ist 
die einzige mögliche Extremstelle.
Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass eine größte -Koordinate und somit genau ein Maximum existiert. Dieses muss sich also bei befinden.
Der Wendepunkt hat somit für die größte -Koordinate.
e)
Koordinaten bestimmen
Dem Graphen kann der Tiefpunkt mit den Koordinaten 
entnommen werden.
Werte interpretieren
Die Unterwasserdrohne 
hat etwa 14 Minuten nach Beobachtungsbeginn die größte Sinkgeschwindigkeit von etwa 
f)
Wegen 
sinkt 
Wegen 
ist die momentane Änderungsrate ihrer Geschwindigkeit positiv.
Die Unterwasserdrohne sinkt in diesem Zeitraum somit immer langsamer.
g)
1. Schritt: Nullstellen berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
v(t)&=& 0 & \\[5pt]
-\dfrac{6}{25} t \cdot(4 t-25) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{-\frac{1}{5} t} \\[5pt]
-\dfrac{6}{25} t \cdot(4 t-25) &=& 0 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9cc15307d5def9aba64dfe20eff6b3acb3f74bdcd8e0060523dd79fd6183bcc0?color=5a5a5a)
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt 
sowie:
![\(\begin{array}[t]{rll}
4 t-25 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +25 \\[5pt]
4 t &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt]
t_2 &=& 6,25
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/62b9cc110a6659a8564dd477ea83c8676f09999f7d0a7b98c204241de4801578?color=5a5a5a)
2. Schritt: Abstand bestimmen
Aus dem Graphen von 
ergibt sich, dass 
für 
und 
für 
gilt.
hat somit 6,25 Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand von 10 Metern zur Wasseroberfläche.
Für die Strecke, die seit Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt 
zurückgelegt hat, folgt mit dem GTR:
Der Abstand von zur Wasseroberfläche beträgt zu Beobachtungsbeginn somit ca. 
Meter.
h)
Bei der 
-Koordinate 
des einzigen Schnittpunkts der Graphen von und 
innerhalb der ersten Minuten wechselt 
zu 
.
Somit nimmt der vertikale Abstand von und 
bis zum Zeitpunkt zu und danach wieder ab.
Folglich ist 
Ein Term zur Berechnung von 
ist somit:
Lösung 1B
a)
Nullstellen angeben
Die Nullstellen können aus dem Graphen der Funktion 
abgelesen werden. Es ergeben sich:
und 
Intervall begründen
Da die Blutalkoholkonzentration nur positive Werte annehmen kann, sollte der Definitionsbereich auf das Intervall zwischen den Nullstellen eingeschränkt werden, in welchem der Graph oberhalb der 
-Achse verläuft.
Dies ist genau das Intervall ![\([0; 7,2].\)](https://mathjax.schullv.de/afe5f1a86a6dfea02ad85a5f0dc62185bf2b223f2a3da507f96a55c6f410c333?color=5a5a5a)
b)
Maximale BAK berechnen
Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=& 0 & \\[5pt]
1,081 \cdot\left(1-\mathrm{e}^{-t}\right)-0,15 \cdot t&=& 0 &\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fbc6518d898e3e7f94fc05132af99f66482a24f5ab632342e36d2242844ea393?color=5a5a5a)
Mit dem solve-Befehl des GTRs ergibt sich 
Funktionswert berechnen:
Die maximale BAK beträgt somit etwa 
Zeitraum bestimmen
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t) &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt]
t_1&=& 0,88 &\\[5pt]
t_2 &=& 3,69
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7fc12782e51bc1e7730f77288229800318934787eb5bb7074ed91cd6baabd2d4?color=5a5a5a)
Im Zeitraum von etwa 0,88 Stunden bis 3,69 Stunden nach dem Trinken darf die Person somit kein Auto fahren.
c)
Maximale BAK nachweisen
Laut der Aufgabenstellung entspricht die maximale BAK dem -Achsenabschnitt des Graphen von 
Für diesen gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h(0) &=& 1,081-0,15 \cdot 0& \\[5pt]
&=& 1,081 \; \left[\dfrac{\text{g}}{\text{kg}}\right]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/70946844f3fee9426159f1a3fc67869e624dd87d3b0f3cb0af6120b97f85ab79?color=5a5a5a)
Theoretische maximale BAK berechnen
Die Steigung des Graphen der entsprechenden linearen Funktion beträgt 
Der -Achsenabschnitt ergibt sich damit zu:
Die theoretische maximale BAK ist somit 
d)
Für 
gilt 
Damit folgt 
Somit sind die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt 
kleiner als die theoretisch maximale BAK von 
e)
Ableitung von bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/69a52d33e47275822f4af2cd1e8df4c7a980f92b7d00b0ab3916b287ad324aee?color=5a5a5a)
Einsetzen der gegebenen Parameter in die Differenzialgleichung liefert:
Da die Terme somit übereinstimmen, ist eine Lösung der Differenzialgleichung mit den gegebenen Werten für 
und 
f)
Der Teil 
der Differenzialgleichung reduziert sich nach Einsetzen des Terms von zu 
Für 
gilt 
sodass die Differenzialgleichung für große Werte von näherungsweise durch 
beschrieben werden kann.
Auf lange Sicht stellt die zeitliche Entwicklung somit einen nahezu linearen Abnahmeprozess dar.
g)
Maximum nachweisen
Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_a](https://mathjax.schullv.de/5a81d6a7cb9d32f3cf6ac0a35926a86cecab669a65125c20a082a77b45c38d22?color=5a5a5a)
Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden:
Für die zweite Ableitung gilt: 
Somit gilt auch insbesondere 
An der Stelle 
besitzt somit jede Funktion ein lokales Maximum.
Begründung
Für wachsende Werte von wächst auch der Term 
Da die Logarithmusfunktion monoton steigt, folgt ebenso, dass 
mit zunehmendem Wert von wächst, sodass 
immer kleiner wird.
h)
Darstellen der Graphen mit dem GTR liefert, dass für alle 
gilt:
Es soll nun also gelten:
Der GTR liefert:
