1 Analysis – Pflichtaufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f(x)=\dfrac{1}{24} \cdot x^3-\dfrac{5}{8} \cdot x^2+2 \cdot x.$

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $K$ von $f.$

Abbildung 1

1.1

$K$ besitzt genau einen Wendepunkt $W.$

Berechne die Koordinaten von $W$ und bestimme die Gleichung der Tangente $t$ an $K$ in diesem Punkt.

$\left[ \text{zur Kontrolle}: \; y=-\dfrac{9}{8} x+\dfrac{125}{24}\right]$

(5 BE)

1.2

Die Tangente $t$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Dieses Dreieck rotiert um die $x$ -Achse.

Ermittle das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

(4 BE)

1.3

Betrachtet wird die Funktion $F$ mit der Gleichung $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dx.$

Bestimme ohne Rechnung die Anzahl der Lösungen der Gleichung $F(x)=0.$

(5 BE)

1.4

Die Funktion $f$ gehört zur Funktionenschar $f_a$ mit der Gleichung $f_a(x)=\dfrac{1}{24} \cdot x^3-a x^2+2 x$ und $a \in \mathbb{R}, a \neq 0.$

Die Graphen von $f_a$ heißen $K_a.$

1.4.1

Alle Graphen $K_a$ schneiden die $x$ -Achse im Koordinatenursprung.

Zeige, dass dort die Schnittwinkel aller Graphen mit der $x$ -Achse gleich groß sind.

(2 BE)

1.4.2

Es gibt Werte von $a,$ für die $f_a$ die beiden Extremstellen $x_1$ und $x_2$ hat.

Ermittle die Werte von $a,$ für die der Abstand zwischen $x_1$ und $x_2$ genau 8 beträgt.

(5 BE)

In einem Freizeitpark wird zu jedem Zeitpunkt an den Ein- und Ausgängen erfasst, wie viele Besucher in den Park gehen oder den Park verlassen.

Die Funktion $f$ beschreibt für $0 \leq x \leq 8$ modellhaft die momentane Änderungsrate der Besucherzahl dieses Freizeitparks an einem bestimmten Tag. Dabei entspricht $f(x)$ der momentanen Änderungsrate der Besucherzahl (in 1000 Personen pro Stunde) zum Zeitpunkt $x$ (in Stunden nach 10:00 Uhr) während der Öffnungszeiten von 10:00 Uhr bis 18:00 Uhr.

1.5

Übersteigt die momentane Änderungsrate der Besucherzahl den Wert von 1500 Personen pro Stunde, wird zusätzliches Personal für die Abfertigung an den Kassen bereitgestellt.

Gib mit Hilfe der Abbildung 1 diesen Zeitraum an.

(2 BE)

1.6

Gib mit Hilfe der Abbildung 1 den Zeitpunkt an, zu dem die Anzahl der Besucher am größten ist. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

1.7

Berechne den Wert des Terms $1000 \cdot \displaystyle\int_{0}^{8}f(x)\;\mathrm dx$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 BE)

1.8

Für den Freizeitpark soll ein Teilstück einer Achterbahn neu konstruiert werden. Beginn und Ende dieses Streckenverlaufs sind horizontal.

Im Modell kann die Profillinie dieses Teilstücks zwischen den Punkten $P$ und $Q$ durch den Graphen der Funktion $h(x)=25 \cdot \cos (b x)+25$ mit $b \in \mathbb{R}, b\gt0$ beschrieben werden (siehe Abbildung 2).

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$ in der Realität.

Abbildung 2

1.8.1

Gib die Koordinaten von $P$ an.

(1 BE)

1.8.2

Der Unterbau der Achterbahn soll mit Lichternetzen behängt werden. Dazu wird der Inhalt der gefärbten Querschnittsfläche (siehe Abbildung 2) berechnet.

Begründe, dass dieser Flächeninhalt mit Hilfe des Terms $\dfrac{1}{2} \cdot|\overline{OP}| \cdot|\overline{OQ}|$ berechnet werden kann.

(4 BE)

1.8.3

Aus Sicherheitsgründen darf der Betrag des Neigungswinkels der Bahnkurve gegenüber der Horizontalen an keiner Stelle größer als $60^{\circ}$ sein.

Berechne den Wert von $b$ so, dass unter Einhaltung dieser Bedingung die Länge der Strecke $\overline{O Q}$ minimal wird.

(6 BE)

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1.1

Koordinaten berechnen

Ableitungen bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da vorausgesetzt ist, dass es genau einen Wendepunkt $W$ gibt, kann auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

$y$ -Koordinate bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& \dfrac{1}{24} \cdot 5^3-\dfrac{5}{8} \cdot 5^2+2 \cdot 5 &\\[5pt] &=& -\dfrac{5}{12} \end{array}$

Der Wendepunkt hat die Koordinaten $W\left(5\mid -\dfrac{5}{12}\right).$

Tangentengleichung bestimmen

Für die Steigung am Wendepunkt gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Einsetzen der Koordinaten von $W$ sowie der Steigung $\(m=f$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad \quad y&=&m\cdot x+c & \\[5pt] -\dfrac{5}{12}&=& -\dfrac{9}{8} \cdot 5+c &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{45}{8} \\[5pt] \dfrac{125}{24}&=& c \end{array}$

Die Gleichung der Tangente $t$ ist somit gegeben durch:

$t: \quad y=-\dfrac{9}{8} \cdot x+\dfrac{125}{24}$

1.2

1. Schritt: Nullstelle berechnen

Der Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der $y$ -Achse ergibt sich mit dem $y$ -Achsenabschnitt direkt zu $S_y\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{125}{24} \right).$

Für die Schnittstelle mit der $x$ -Achse gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -\dfrac{9}{8} \cdot x+\dfrac{125}{24} &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; +\dfrac{9}{8} \cdot x \\[5pt] \dfrac{9}{8} \cdot x&=& \dfrac{125}{24} &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; \cdot \dfrac{8}{9} \\[5pt] x&=& \dfrac{125}{27} \end{array}$

2. Schritt: Volumen ermitteln

Rotiert ein Dreieck um eine Achse, so entsteht ein Kegel.

Mit dem Radius $r=\dfrac{125}{24} \; \text{LE}$ und der Höhe $h=\dfrac{125}{27} \; \text{LE}$ des Kegels ergibt sich das Volumen des Rotationskörpers somit zu:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kegel}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{125}{24}\right)^2 \cdot \dfrac{125}{27} & \\[5pt] &\approx& 131,5 \; \text{VE} \end{array}$

1.3

Die Funktion $F$ beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt.

Aus der Abbildung in der Aufgabenstellung kann abgelesen werden, dass die Stammfunktion $F$ von $f$ die $x$ -Achse im Koordinatenursprung schneidet und dort einen Tiefpunkt besitzt.

Da der Inhalt des oberhalb der $x$ -Achse liegenden Flächenstücks kleiner als der Inhalt des unterhalb der $x$ -Achse liegenden Flächenstücks ist, muss der Graph von $F$ einen weiteren Tiefpunkt, der unterhalb der $x$ -Achse liegt, besitzen.

Folglich hat $F$ neben $x=0$ zwei weitere Nullstellen.

Die Gleichung $F(x)=0$ hat also 3 Lösungen.

1.4.1

Die Schnittwinkel aller Graphen mit der $x$ -Achse im Koordinatenursprung sind genau dann gleich groß, wenn die Graphen in diesem Punkt die gleiche Steigung haben.

Ableitung bestimmen:

$\(f_a$

Im Ursprung gilt also:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Die Steigung der Graphen im Koordinatenursprung ist somit unabhängig von $a.$ Damit sind auch die Schnittwinkel alle gleich groß.

1.4.2

1. Schritt: Extremstellen bestimmen

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-16a)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-16a)}{2}\right)^2-16} \\[5pt] &=& 8a\pm\sqrt{64a^2-16} & \\[5pt] \end{array}$

Da vorausgesetzt ist, dass es Werte von $a$ gibt, für die $f_a$ genau zwei Extremstellen besitzt, kann auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

2. Schritt: Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen

Die Extremstellen $x_1=8a+\sqrt{64a^2-16}$ und $x_2=8a-\sqrt{64a^2-16}$ haben genau den Abstand $2\cdot \sqrt{64a^2-16}$ zueinander.

Es soll nun gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \sqrt{64a^2-16}&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \sqrt{64a^2-16}&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;(\,)^2 \\[5pt] 64a^2-16&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; +16 \\[5pt] 64a^2&=& 32 &\quad \scriptsize \mid\; :64 \\[5pt] a^2&=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] a&=& \pm\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{array}$

Für die Werte $a=\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$ beträgt der Abstand zwischen $x_1$ und $x_2$ somit genau 8.

1.5

Mehr als 1500 Besucher entspricht Funktionswerten mit $f(x)\gt1,5.$

Damit ergibt sich graphisch der Zeitraum von ca. 11:10 Uhr bis 13:00 Uhr

1.6

Die Nullstelle von $f,$ die das oberhalb der $x$ -Achse liegende Flächenstück rechts begrenzt, ist etwa an der Stelle $x=4,6.$ Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Besucheranzahl wieder ab. Die Anzahl der Besucher ist somit gegen 14:40 Uhr am größten.

Alternative Begründung:

Die Nullstellen von $f$ sind Extremstellen der Stammfunktion $F,$ welche die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit modelliert. Da an der Nullstelle bei $x=4,6$ von $f$ ein Vorzeichenwechsel von $„+“$ nach $„-“$ vorliegt, liegt an dieser Stelle ein lokales Maximum vor. Damit ist die Besucherzahl gegen 14:40 Uhr am größten.

1.7

Wert berechnen

$1000\cdot \displaystyle\int_{0}^{8}f(x)\;\mathrm dx=0$

Rechenweg anzeigen

Ergebnis deuten

Um 18 Uhr befinden sich keine Besucher mehr im Park.

1.8.1

Da der Punkt $P$ auf der $y$ -Achse liegt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} h(0)&=& 25 \cdot \cos (b \cdot 0)+25 &\\[5pt] &=& 25\cdot 1+25 &\\[5pt] &=& 50 \end{array}$

Die Koordinaten von $P$ sind somit gegeben durch $P(0\mid 50).$

1.8.2

Der Graph von $h$ ist punktsymmetrisch bezüglich des in der Abbildung liegenden Wendepunktes. Damit entspricht der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$ -Achse dem Inhalt der Dreiecksfläche mit den Katheten $\overline{OP}$ und $\overline{OQ}.$