Wahlteil A1

A 1 Analysis

1.1

Gegeben ist eine Funktion $f$ durch die Gleichung $f(x)=4 x^{3}-12 x^{2}+9 x$ mit $x\in \mathbb{R}.$ Der Graph von $f$ ist $G$ .

1.1.1

Berechne von $G$

die Koordinaten der gemeinsamen Punkte mit den Koordinatenachsen,
die Koordinaten der Extrempunkte und des Wendepunktes.

Weise die Art der Extrema und die Existenz des Wendepunktes nach.
Gib das Verhalten im Unendlichen an. Begründe.

10 BE

1.1.2

Zeichne $G$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

2 BE

1.1.3

Bestimme je eine GIeichung der Tangente $t$ und der Normalen $n$ im Punkt $P(1|f(1))$ an $G.$
Berechne die Stellen, an denen die Tangenten an $G$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$ verlaufen.

8 BE

1.1.4

Der Graph und die $x$ -Achse schließen eine Fläche ein.
Berechne den lnhalt dieser Fläche.
Die Gerade $h$ durch die Punkte $(\frac{1}{2}\mid0)$ und $(1|f(1))$ teilt diese Fläche in zwei Teilflächen. Zeichne $h$ in das Koordinatensystem von Aufgabe 1.1.2.
Bestimme das Verhältnis der Teilflächeninhalte.

8 BE

1.2

Aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seítenlänge $a$ soll eine oben offene Schachtel mit quadratischer Grundfläche gefaltet werden. Dazu werden an den Ecken jeweils quadratische Flächenstücke mit der Seitenlänge $x$ abgeschnitten.
Berechne den Wert $x$ in Abhängigkeit von $a$ so, dass das Volumen der Schachtel maximal wird.
Gib das maximale Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von $a$ an.

7 BE

1.1.1

Gemeinsame Punkte mit der $x$ -Achse:

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 0\\[5pt] x_2&=& \frac{3}{2} \end{array}$

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$G$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $S_{x_1}(0\mid 0)$ und $S_{x_2}\left(\frac{3}{2}\mid 0\right).$

Gemeinsame Punkte mit der $y$ -Achse:

$f(0)= 4\cdot 0^3 -12\cdot 0^2 +9\cdot 0 = 0$

$G$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid 0).$

Extrempunkte:

1. Schritt: Ableitungen angeben

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 4x^3 -12x^2 +9x \\[5pt] f‘(x) &=& 12x^2 -24x +9 \\[5pt] f‘‘(x) &=& 24x -24 \\[5pt] f‘‘‘(x) &=& 24 \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{3}{2} \end{array}$

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘\left(\frac{1}{2}\right)&=& 24\cdot \frac{1}{2} -24 \\[5pt] &=& -12 \lt 0 \\[10pt] f‘‘\left(\frac{3}{2}\right)&=& 24\cdot \frac{3}{2} -24 \\[5pt] &=& 12 \gt 0 \\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $x=\frac{1}{2}$ besitzt $G$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x= \frac{3}{2}$ einen Tiefpunkt.

4. Schritt: Koordinaten vervollständigen

$\begin{array}[t]{rll} f\left( \frac{1}{2}\right)&=& 2 \\[10pt] f\left( \frac{3}{2}\right) &=& 0 \end{array}$

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$G$ besitzt genau zwei Extrempunkte: einen Hochpunkt $H\left(\frac{1}{2}\mid 2 \right)$ und einen Tiefpunkt $T\left(\frac{3}{2}\mid 0 \right).$

Wendepunkt

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x) &=& 0 \\[5pt] 24x -24 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +24 \\[5pt] 24x &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\;:24 \\[5pt] x &=& 1 \end{array}$

An der Stelle $x=1$ ist also das notwendige Kriterium für einen Wendepunkte von $G$ erfüllt. Wegen $f‘‘‘(x)=24 \neq 0$ ist auch das hinreichende Kriterium erfüllt. An der Stelle $x=1$ besitzt $G$ also einen Wendepunkt.

$f(1) = 4\cdot 1^3 -12\cdot 1^2 +9\cdot 1 = 1$

Die Koordinaten des einzigen Wendepunkts von $G$ lauten $W(1\mid 1).$

Verhalten im Unendlichen

Da es sich bei $f$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades (ungerader Grad) handelt, ergibt sich zusammen mit der Lage der Extrempunkte Folgendes:

Für $x\to -\infty$ gilt $f(x) \to -\infty.$
Für $x\to \infty$ gilt $f(x) \to \infty.$

1.1.2

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, zeigt Kurvenverlauf und G-Werte.

Abb. 1

1.1.3

Tangentengleichung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} m_t &=& f‘(1) \\[5pt] &=& 12\cdot 1^2 -24\cdot 1 +9 \\[5pt] &=& -3 \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen:

$b_t=4$

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Eine Gleichung der Tangente an $G$ im Punkt $P(1\mid f(1))$ lautet:

$t:\, y= -3x +4$

Normalengleichung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} m_n &=& -\frac{1}{m_t} \\[5pt] &=& -\frac{1}{-3} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \end{array}$

Einsetzen:

$b_n=\frac{2}{3}$

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Eine Gleichung der Normale an $G$ im Punkt $P(1\mid f(1))$ lautet:

$n:\, y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Stellen berechnen

Die Tangenten an $G$ verlaufen genau dann parallel zur gegebenen Gerade, wenn die Steigung der Tangente der Steigung der Geraden und somit $m_g=\dfrac{1}{3}$ entspricht.

Es muss also gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} m_t&=& \dfrac{1}{3}& \\[5pt] f$

Mit der abc-Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot \dfrac{13}{18} }}{2\cdot 1} \\[5pt] x_{1;2}&=& \dfrac{2\pm\sqrt{\dfrac{10}{9}}}{2}& \\[5pt] x_1&\approx& 1,53& \\[5pt] x_2&\approx& 0,47& \\[5pt] \end{array}$

Die Stellen, an denen die Tangenten an $G$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$ verlaufen, ergeben sich somit zu $x_1\approx 1,53$ und $x_2 \approx 0,47.$

1.1.4

Flächeninhalt berechnen

$A=1,6875\,[\text{FE}]$

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Der Inhalt der Fläche, die der Graph $G$ mit der $x$ -Achse einschließt, beträgt $1,6875\,\text{FE}.$

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

Abb. 2

Verhältnis der Teilflächeninhalte

1. Schritt: Flächeninhalt der kleineren Teilfläche berechnen

$A_1=0,4375\,[\text{FE}]$

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Die Größere der beiden Teilflächen hat also den Flächeninhalt:

$A_2= 1,6875\,[\text{FE}] - 0,4375\,[\text{FE}] = 1,25\,[\text{FE}]$

2. Schritt: Verhältnis berechnen

$\dfrac{1,25}{0,4375} = \dfrac{20}{7}$

1.2

1. Schritt: Funktion aufstellen

Die Höhe der Schachtel beträgt $x.$ Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt folglich $a-2x.$ Es gilt also:

$V(x) = (a-2x)^2\cdot x$

Da das Volumen positiv sein muss, muss gelten: $0 \lt x\lt \dfrac{a}{2}$

2. Schritt: Ableitungen bilden

$\(\begin{array}[t]{rll} V$

3. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Für $0 \lt x\lt \dfrac{a}{2}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V‘(x)&=& 0 \\[5pt] -4x(a-2x)+(a-2x)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid +4x(a-2x) \\[5pt] (a-2x)^2 &=& 4x(a-2x) &\quad \scriptsize \mid\; :(a-2x) \\[5pt] a- 2x &=& 4x &\quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt] a &=& 6x &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \dfrac{a}{6} &=& x \end{array}$

4. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden

Setze $x=\dfrac{a}{6}$ in die zweite Ableitung ein:

$\(\begin{array}[t]{rll} V$

Da $\(V$ gilt, liegt an der Stelle $x=\dfrac{a}{6}$ ein Maximum vor.

5. Schritt: Maximales Volumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V\left( \dfrac{a}{6}\right)&=& \left(a-2\cdot \dfrac{a}{6}\right)^2\cdot \dfrac{a}{6}& \\[5pt] &=&\dfrac{4a^2}{9}\cdot \dfrac{a}{6} & \\[5pt] &=& \dfrac{4a^3}{54}& \\[5pt] &=& \dfrac{a^3}{13,5} \end{array}$

Das maximale Volumen der Schachtel beträgt somit $\dfrac{a^3}{13,5} \,\text{VE}.$