Pflichtaufgabe A0

Analysis

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g$ mit $g(x)=x^2-3$ und $h$ mit $h(x)=-x^2+2x+1.$

$\,$

1.1

Zeige, dass sich die Graphen von $g$ und $h$ nur für $x=-1$ und $x=2$ schneiden.

(2 BE)

$\,$

1.2

Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $g$ und $h$ einschließen.

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= \sin (x) -2$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{R}.$

$\,$

2.1

Skizziere den Graphen von $f$ für $- \pi \leq x\leq 4 \pi$ im abgebildeten Koordinatensystem.

Graf mit Koordinatenachsen und Gitternetz, zeigt eine mathematische Funktion.

Abb. 1

(1 BE)

$\,$

2.2

Jede Tangente an den Graphen von $f$ in einem der Punkte $(2k \pi \mid f(2k \pi))$ mit $k \in\mathbb{N}$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Begründe, dass jedes dieser Dreiecke gleichschenklig ist.

(4 BE)

Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem wird das gerade Prisma $ABCDEF$ betrachtet.
$A \, (0\mid -4 \mid 0)$ , $B \, (\sqrt{20}\mid 0 \mid 0)$ und $C \, (0 \mid 4\mid 0)$ sind die Eckpunkte der Grundfläche.

$\,$

3.1

Zeige, dass das Dreieck $ABC$ im Punkt $B$ nicht rechtwinklig ist.

(2 BE)

$\,$

3.2

Der Inhalt der Mantelfläche des Prismas ist $60$ . Bestimme die Höhe des Prismas.

(3 BE)

Stochastik

In einer Urne befinden sich drei rote und sieben weiße Kugeln.

$\,$

4.1

Zweimal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eine der entnommenen Kugeln weiß ist.

(2 BE)

$\,$

4.2

Zehnmal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der entnommenen weißen Kugeln.
Begründe ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass keine der folgenden Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt.

Abb. 2

Abb. 3

(3 BE)

1.1

$g(x)=h(x) ...$

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Die Graphen von $g$ und $h$ schneiden sich also nur an den Stellen $x=-1$ und $x=2.$

1.2

$A=9$

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Die Graphen von $g$ und $h$ schließen eine Fläche mit dem Flächeninhalt $9\,\text{FE}$ ein.

2.1

Graph von $f$

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Gitterlinien.

2.2

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x) &=& \cos(x) \\[10pt] f‘(2k\pi) &=& \cos(2k\pi) \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Jede Tangente an den Graphen von $f$ in einem der Punkte $(2k\pi \mid f(2k\pi))$ besitzt also die Steigung $1.$
Da sie also eine parallele zur ersten Winkelhalbierenden ist, schneidet sie die $x$ -Achse und die $y$ -Achse in einem Winkel der Größe $45^{\circ}.$ Das entstehende Dreieck besitzt daher zwei Innenwinkel der gleichen Größe und ist somit gleichschenklig.

3.1

$\overrightarrow{BA}\circ\overrightarrow{BC} = -4\neq 0$

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Die Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ bilden keinen rechten Winkel. Das Dreieck $ABC$ besitzt im Punkt $B$ also keinen rechten Winkel.

3.2

$U=20$

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Der Umfang der Grundfläche beträgt also $20.$ Einsetzen liefert:

$h=3$

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Die Höhe des Primas beträgt $3.$

4.1

$... = 51\,\%$

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4.2

$X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,7.$ Für den Erwartungswert gilt also:

$\mu(X) = 10\cdot 0,7 = 7$

Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße ist der Erwartungswert der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit.
In Abbildung 1 ist aber $3$ der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit. Diese Abbildung kann also nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit dem Erwartungswert $7$ darstellen.

Abbildung 2 kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen, da die Summe aller dargestellten Wahrscheinlichkeiten hier größer als $1$ ist. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beträgt aber immer $1.$