Wahlteil A3

A 3 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=(-2 x+1)\cdot \mathrm e^{x}$ mit $x\in \mathbb{R}.$ Der Graph von $f$ ist $G$ .

3.1

Berechne die Nullstelle von $f$ . Die Ableitung von $f$ ist $f‘(x)=(-2 x-1)\cdot \mathrm e^{x}$
Bestimme durch Berechnung die Koordinaten des lokalen Extrempunktes von $G$ .
Weise die Art des Extremums nach.
Beschreibe das Monotonieverhalten von $G$ .
Zeichne $G$ mindestens im Intervall $-6\leq x\leq 1$

11 BE

3.2

Im Punkt $P(-4\mid f(-4))$ wird die Tangente $t$ an $C$ gelegt.
Bestimme eine Gleichung für $t$ .
Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Tangente $t$ die $x$ -Achse schneidet.

5 BE

3.3

Gegeben ist eine Funktion $F$ mit der Gleichung $F(x)=(-2 x+3) \cdot \mathrm e^{x}$ mit $x\in \mathrm R.$

3.3.1

Weise nach, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Der Graph $G$ , die Koordinatenachsen und die Gerade $x=-4$ begrenzen eine Fläche.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

4 BE

3.3.2

Zeige: Der Graph der Stammfunktion $F$ und der Graph $G$ besitzen keine gemeinsamen Punkte.

3 BE

3.4

Betrachtet wird nun eine Funktionenschar $f_{a}$ mit der Gleichung $f_{a}(x)=(a\cdot x-1)\cdot \mathrm e^{x}$ mit $x, a\in \mathrm R, a\gt 0.$ Die Graphen sind $G_{a}$ .

3.4.1

Weise nach, dass die Funktion $f_{a}‘(x)=(a\cdot x+a-1)\cdot \mathrm e^{x}$ die Ableitung von $f_{a}$ ist.

2 BE

3.4.2

Zeige: Alle an der Stelle $x=-1$ an $G_{a}$ gelegten Tangenten verlaufen parallel zueinander.

2 BE

3.4.3

Jeder Graph $G_{a}$ besitzt genau einen lokalen Tiefpunkt.
Berechne die Koordinaten dieses Tiefpunktes in Abhängigkeit von $a.$

3 BE

3.4.4

Begründe, dass die Tiefpunkte von $G_{a}$ stets rechts der Geraden $x=-1$ liegen.

2 BE

3.4.5

Berechne den Wert von $a$ , für den die $y$ -Koordinate des Tiefpunktes von $G_{a}$ gleich $-a$ ist.

2 BE

3.1

Nullstelle

$x=0,5$

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Die Nullstelle von $f$ ist $x=0,5.$

Extrempunkt

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden

$x=-0,5$

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2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Mit der Produktregel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x) &=& (-2x-3)\cdot \mathrm e^x \\[10pt] f‘‘(-0,5) &=& -2\cdot \mathrm e^{-0,5} \lt 0\\[5pt] \end{array}$

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Es handelt sich also um ein lokales Maximum.

3. Schritt: y-Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(-0,5)&=& (-2\cdot (-0,5)+1)\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-0,5} \end{array}$

$G$ besitzt einen lokalen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(-0,5\mid 2\mathrm e^{-0,5}).$

Monotonie

Auf dem Intervall $]-\infty; -0,5]$ ist $G$ monoton steigend. Auf dem Intervall $[-0,5;\infty[$ ist $G$ monoton fallend.

Grafik mit einem Verlauf, der eine Funktion in einem Koordinatensystem darstellt. Achsen sind beschriftet.

Abb. 1: $G$ für $-6\leq x \leq 1$

3.2

Tangentengleichung

$\begin{array}[t]{rll} m_t &=& f‘(-4) \\[5pt] &=& (-2\cdot (-4) -1)\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] &=& 7\mathrm e^{-4}\\[10pt] f(-4) &=& (-2\cdot (-4) +1)\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] &=& 9\mathrm e^{-4}\\[5pt] \end{array}$

Einsetzen:

$b_t =37\mathrm e^{-4}$

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Eine Gleichung der Tangente an $G$ im Punkt $P(-4\mid f(-4))$ lautet:

$t:\, y= 7\mathrm e^{-4} x + 37\mathrm e^{-4}$

Winkel

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& m_t \\[5pt] \tan \alpha &=& 7\mathrm e^{-4} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 7,3^{\circ} \end{array}$

Der Winkel, unter dem die Tangente die $x$ -Achse schneidet, ist ca. $7,3^{\circ}$ groß.

3.3.1

Stammfunktion

Mit der Produkteregel folgt:

$F‘(x)=f(x)$

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Da $F‘(x)=f(x)$ gilt, ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$

Flächeninhalt

$A=3 - 11\cdot \mathrm e^{-4}$

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Der Inhalt der beschriebenen Fläche beträgt $3 - 11\cdot \mathrm e^{-4} \,\text{FE}\approx 2,80\,\text{FE}.$

3.3.2

$3 =1$

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Die Gleichung $F(x)=f(x)$ besitzt also keine Lösung. Die beiden Graphen von $F$ und $f$ haben demnach keine gemeinsamen Punkte.

3.4.1

Mit der Produktregel folgt:

$f_a‘(x) = ...$

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3.4.2

$\begin{array}[t]{rll} m_{t_a} &=& f_a‘(-1) \\[5pt] &=&(a\cdot (-1)+a -1)\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& -\mathrm e^{-1} \end{array}$

Die Steigung der Tangente an den Graphen $G_a$ an der Stelle $x=-1$ ist unabhängig von $a$ und damit für jeden Graphen $G_a$ gleich. Alle Tangenten an $G_a$ an der Stelle $x=-1$ verlaufen daher parallel.

3.4.3

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für lokale Extrema anwenden

$x=\frac{1-a}{a}$

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Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph $G_a$ genau einen lokalen Tiefpunkt besitzt, entfällt die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums.

2. Schritt: y-Koordinate berechnen

$f_a\left( \frac{1-a}{a}\right) = -a\cdot \mathrm e^{\frac{1-a}{a}}$

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Die Koordinaten des lokalen Tiefpunkts von $G_a$ lauten $T_a\left(\frac{1-a}{a} \mid -a\cdot \mathrm e^{\frac{1-a}{a}} \right).$

3.4.4

$... 1\gt 0$

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Dies ist eine wahre Aussage. Die $x$ -Koordinate des des lokalen Tiefpunkts von $G_a$ ist also immer größer als $-1$ und damit liegt der Tiefpunkt immer rechts der Geraden $x=-1.$

3.4.5

$a=1$

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Für $a=1$ ist die $y$ -Koordinate des Tiefpunkts von $G_a$ gleich $-a.$