Wahlaufgaben

5 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f,$ dessen einzige Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0)$ sind, sowie den Punkt $P.$

5.1

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3)$ an.

(2 BE)

5.2

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P.$

Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(3 BE)

6 Analytische Geometrie

Betrachtet wird ein Dreieck $A B C$ mit $A(0 \mid 0 \mid 0)$ und $B(3 \mid 5 \mid -4).$ Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
$\overline{AB}$ ist eine Kathete des Dreiecks.
Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der $xz$ -Ebene.

Ermittle die Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt.

(5 BE)

7 Stochastik

Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen $1,$ $2,$ $3$ und $4$ durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen.

7.1

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$ berechnet werden kann, und begründe deine Angabe.

(2 BE)

7.2

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

(3 BE)

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5 Analysis

5.1

Der Graph von $g$ enspricht dem an der $x$ -Achse gespiegelten und um $3$ Längeneinheiten in $x$ -Richtung verschobenen Graphen von $f.$
Durch die Spiegelung an der $x$ -Achse verändert sich der Hochpunkt des Graphen von $f$ zu einem Tiefpunkt mit der $y$ -Koordinate $-1.$
Durch die anschließende Verschiebung ändert sich die $x$ -Koordinate des Tiefpunkts zu $-1+3=2.$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten $(2 \mid -1).$

5.2

6 Analytische Geometrie

Damit die Strecke $\overline{AB}$ eine Kathete des Dreiecks ist und die zweite Kathete in der $xz$ -Ebene liegt, muss sich der rechte Winkel des Dreiecks im Punkt $A$ befinden.

$C$ liegt also auf einer Geraden durch $A,$ die orthogonal zu $\overline{AB}$ verläuft und in der $xz$ -Ebene liegt.

1. Schritt: Richtungsvektor bestimmen

$\pmatrix{3 \\ 5 \\-4} \circ \pmatrix{x \\y \\ z} = 0$

Damit die Gerade in der $xz$ -Ebene liegt muss $y=0$ sein.

Es ergibt sich folgende Gleichung:

$3x -4z =0$

Nun kann beispielsweise $x=4$ festgelegt werden. Aus der Gleichung folgt dann wiederum $z=3.$

Also kann $\pmatrix{4 \\0 \\ 3}$ als Richtungsvektor gewählt werden.

2. Schritt: Länge des Richtungsvektors anpassen

Da das Dreieck gleichschenklig sein soll, muss $C$ genauso weit von $A$ entfernt sein, wie $B.$ Dazu wird der Richtungsvektor normiert und mit der Länge von $\overline{AB}$ multipliziert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC} &=&\dfrac{\mid\overrightarrow{AB}\mid}{\left|\pmatrix{4 \\ 0\\ 3}\right|} \cdot \pmatrix{4 \\ 0\\ 3} \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{3^2+5^2+(-4)^2}}{\sqrt{4^2+3^2}} \cdot \pmatrix{4 \\ 0\\ 3} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{50}{25}} \cdot \pmatrix{4 \\ 0\\ 3} \\[5pt] &=& \sqrt{2} \cdot \pmatrix{4 \\ 0\\ 3} \end{array}$

Für den Punkt $C$ kommen die Koordinaten $\left(4\sqrt{2} \mid 0 \mid 3 \sqrt{2}\right)$ infrage.

Anmerkung:

Eine weitere Lösung für die Koordinaten des Punktes $C$ wären $\left(4\cdot\left (-\sqrt{2}\right) \mid 0 \mid 3 \cdot \left(-\sqrt{2}\right)\right).$

7 Stochastik

7.1.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl nicht gewürfelt wird beträgt $\frac{3}{4}$ . Ein mögliches Ereignis mit Wahrscheinlichkeit $\left(\frac{3}{4}\right)^5$ ist somit: "Es wird keine $1$ gewürfelt".

7.2

Genau eine Zahl muss doppelt auftreten. Für die Zahl, die doppelt auftritt, ist die Wahrscheinlichkeit $\left(\frac{1}{4}\right)^2.$
Für die Anordnung dieser doppelt auftretenden Zahl gibt es $\left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right)$ Möglichkeiten, dann noch 3 von vier Möglichkeiten für die 2. Zahl, 2 von vier Möglichkeiten für die 3. Zahl und 1 von vier Möglichkeiten für die 4 . Zahl. Da es vier verschiedene Zahlen sind, gibt es für diese Anordnungen 4 Möglichkeiten.

$\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 \cdot \dbinom{5}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 4$ $= \dbinom{5}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{1}{4}$

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