Pflichtaufgabe B0

Aufgabe 1 - Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ .

Graph einer Funktion mit einem grünen Verlauf auf einem karierten Hintergrund.

Abb. 1

1.1

Bestimme mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\;\mathrm dx$ .

(2 BE)

Die Funktion $F$ ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Stammfunktion von $f$ mit $F(3)=0$ .

1.2

Gib mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von $F$ an der Stelle 2 an.

(1 BE)

1.3

Zeige, dass $F(b)=\displaystyle\int_{3}^{b} f(x) \;\mathrm dx$ mit $b\in \mathbb{R}$ gilt.

(2 BE)

Aufgabe 2 - Analysis

Für jeden Wert von $a$ $(a\in\mathbb{R}$ , $a\gt 0)$ ist die Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=a\cdot \mathrm{e}^{a+x}$ ( $x\in\mathbb{R}$ ).

Die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(-1\mid f_a(-1))$ wird mit $t_a$ bezeichnet.

2.1

Weise nach, dass für jeden Wert von $a$ die Tangente $t_a$ durch die Gleichung $y=a\cdot \mathrm{e}^{a-1}\cdot x+2\cdot a\cdot \mathrm{e}^{a-1}$ beschrieben werden kann.

(3 BE)

2.2

Für jeden Wert von $a$ schließen die Tangente $t_a$ und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Ermittle den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von $a$ .

(2 BE)

Aufgabe 3 - Analytische Geometrie

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$ . Die Eckpunkte $D$ , $E$ , $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: $D\;(0\mid 0\mid -2)$ , $E\;(2\mid 0 \mid 0)$ , $F\;(2\mid 2\mid 0)$ und $H\;(0\mid 0\mid 0)$ .

3D-Diagramm eines Würfels mit beschrifteten Ecken.

Abb. 2: Würfel $ABCDEFGH$

3.1

Zeichne in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese.

Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.

(2 BE)

3.2

Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $FB$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$ .

Berechne die Koordinaten des Punktes $P$ .

(3 BE)

Aufgabe 4 - Stochastik

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl ( $Z$ ) oder zum zweiten Mal Wappen ( $W$ ) oben liegt.

Als Ergebnismenge wird festgelegt: { $ZZ;WW;ZWZ;ZWW;WZZ;WZW$ } .

4.1

Begründe, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

(2 BE)

4.2

Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu.

Berechne den Erwartungswert von $X$ .

(3 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

Aufgabe 1 - Analysis

1.1

$\blacktriangleright$ Näherungswert für das Integral bestimmen

Du sollst in diesem Aufgabenteil das Integral mit der unteren Integralgrenze $3$ und der oberen Integralgrenze $5$ näherungsweise mithilfe der Abbildung bestimmen. Das Integral beschreibt gerade den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$ -Achse zwischen $3$ und $5$ eingeschlossen wird.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Kästchen zählen

Zähle also die Kästchen, die sich in diesem Bereich befinden. Dabei entspricht ein Kästchen $0,25$ Flächeneinheiten.

Im Bereich zwischen $3$ und $5$ befinden sich ungefähr $9$ Kästchen. Um nun den Wert des Integrals zu bestimmen, musst du $9$ mit $0,25$ multiplizieren.

$9 \cdot 0,25 = 2,25.$

Somit hat das Integral $\displaystyle\int_3^5 f(x) \;\mathrm dx$ ungefähr den Wert $2,25.$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Integral durch Trapez annähern

Anstatt die Kästchen im Bereich zwischen $3$ und $5$ zu zählen, kannst du die Fläche auch vereinfacht als Trapez betrachten. Der Flächeninhalt $A_{Trapez}$ ist durch folgende Formel gegeben:

$A_{Trapez} = \dfrac{a+c}{2} \cdot h$

$a$ und $c$ bezeichnen die Längen der parallelen Seiten und $h$ die Höhe des Trapezes.

Folglich gilt für das gesuchte Integral $I$ :

$\begin{array}[t]{rll} I &\approx& \dfrac{f(3)+f(5)}{2} \cdot 2 \\[5pt] &\approx& \dfrac{0,7 + 1,7}{2} \cdot 2 \\[5pt] &=& 2,4 \end{array}$

Somit hat das Integral $\displaystyle\int_3^5 f(x) \;\mathrm dx$ mit der Näherung durch ein Trapez ungefähr den Wert $2,4.$

1.2

$\blacktriangleright$ Ableitung von $\boldsymbol{F}$ an der Stelle $\boldsymbol{2}$ angeben

$F$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f$ , d.h. der Wert von $f$ an der Stelle $x$ gibt gerade die Ableitung von $F$ an der Stelle $x$ an. Du musst also den Wert $f(2)$ in der Abbildung ablesen.

$f(2) \approx 0,5$

Demnach ist die Ableitung der Funktion $F$ an der Stelle $2$ ungefähr $0,5$ .

1.3

$\blacktriangleright$ Wert des Integrals berechnen

Wenn du ein Integral $\displaystyle\int_a^b f(x) \;\mathrm dx$ gegeben hast, gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

$\displaystyle\int_a^b f(x) \;\mathrm dx = F(b) - F(a)$

$F$ bezeichnet dabei eine Stammfunktion von $f$ .

Nach Voraussetzung ist $F(3) = 0$ , sodass für das Integral $\displaystyle\int_3^b f(x) \;\mathrm dx$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_3^b f(x) \;\mathrm dx &=& F(b) - F(3) \\[5pt] &=& F(b) - 0 \\[5pt] &=& F(b) \end{array}$

Demnach ist der Wert des Integrals $\displaystyle\int_3^b f(x) \;\mathrm dx$ für beliebige $b \gt 3$ gleich $F(b)$ .

Aufgabe 2 - Analysis

2.1

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Gleichung zur Beschreibung von $\boldsymbol{t_a}$ für jeden Wert von $\boldsymbol{a}$ nachweisen

Eine Tangente ist eine Gerade und kann immer durch eine Steigung des Graphen $f$ und einen $y$ -Achsenabschnitt beschrieben werden. Um zu zeigen, dass die in der Aufgabenstellung gegebene Tangente der Tangente an der Stelle $(-1 \mid f_a(-1))$ entspricht, musst du nachweisen, dass die Steigung der gegebenen Tangente der Steigung an der Stelle $x=-1$ entspricht und, dass eine Gerade durch den Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ mit dieser Steigung den $y$ -Achsenabschnitt $2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ hat.

1.Schritt: Steigung bestimmen

Um die Steigung an der Stelle $x=-1$ zu bestimmen, leitest du die Funktion zunächst ab. Danach setzt du $x=-1$ ein.

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& a \cdot e^{a+x} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_a$

Die Steigung entspricht der Steigung der gegebenen Tangente.

2. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Achsenabschnitt überprüfen

Um zu überprüfen, ob der in der Aufgabenstellung gegebene $y$ -Achsenabschnitt richtig ist, setzt du die Koordinaten des Punkts $(-1 \mid f_a(-1))$ in die gegebene Tangentengleichung ein. Entspricht dies einer wahren Aussage, ist der $y$ -Achsenabschnitt korrekt gewählt.

$2=2$

Vollständige Rechnung anzeigen

Der in der Aufgabenstellung gegebene $y$ -Achsenabschnitt ist richtig. Damit wird die Tangente am Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ durch die Gleichung $y = a \cdot e^{a-1} \cdot x + 2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ beschrieben.

2.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ berechnen

Grafik eines rechtwinkligen Dreiecks im Koordinatensystem mit Beschriftungen.

Abb. 1: Dreieck mit $a=1$

Um den Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks zu berechnen, benötigst du die Länge $(g)$ der Grundseite und die Höhe $(h)$ des Dreiecks. Die Länge der Grundseite entspricht dem Abstand der Nullstelle zum Ursprung.
Die Höhe entspricht dem in der Tangentengleichung gegebenen $y$ -Achsenabschnitt $(2 \cdot a \cdot e^{a-1})$ . Zur Bestimmung der Länge $g$ der Grundseite bestimmst du zunächst die Nullstelle der Tangente:

$x = -2$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstelle der Tangente ist unabhänig von $a$ immer bei $x=-2$ . Damit ist die Länge der Grundseite des Dreiecks gleich 2.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist somit:

$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{g \cdot h}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& \dfrac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot e^{a-1}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& 2 \cdot a \cdot e^{a-1} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ .

Aufgabe 3 - Analytische Geometrie

3.1

$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen

Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$ , d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$ . Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$ -Achse die Gerade $EH$ . Die Richtung der $x$ -Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$ . Das Vorgehen bei der $y$ -Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $y$ -Achse die Gerade $GH$ . Die Richtung der $y$ -Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$ . Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich Null), das bedeutet, dass die $z$ -Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$ .

Somit ergibt sich folgendes Koordinatensystem:

3D-Darstellung eines Würfels mit Achsenbeschriftungen x, y und z.

Abb. 2: Würfel im Koordinatensystem

Der Punkt $A$ hat demnach die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid -2).$

3.2

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen

Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als

$\boldsymbol{d =}$ $\boldsymbol{ \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}$

Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$ . Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.

$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$

Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf

$\lambda = \pm \dfrac{1}{2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da für $\lambda = -\dfrac{1}{2}$ der Punkt $P$ nicht auf der Kante $\overline{FB}$ liegen würde, muss $\lambda = \dfrac{1}{2}$ sein. Für $\overrightarrow{OP}$ gilt somit

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ -1}.$

Somit sind die Koordinaten von $P(2 \mid 2 \mid -1).$

Aufgabe 4 - Stochastik

4.1

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt

Du sollst begründen, dass es sich bei dem beschriebenen Münzwurf nicht um ein Laplace-Experiment handelt. Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Es gibt nur endlich viele Ergebnisse.
Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Da die Ergebnismenge angegeben ist, weißt du, dass die erste Bedingung erfüllt ist. Es kann also nur an der zweiten liegen. Betrachtest du die Ergebnismenge genauer, siehst du, dass es Ergebnisse gibt, bei denen die Münze nur zweimal geworfen werden muss, und Ergebnisse, bei denen die Münze dreimal geworfen wird. Für erstere ist die Wahrscheinlichkeit jeweils $0,5^2$ , während sie für letztere jeweils $0,5^3$ beträgt. Also kann es sich nicht um ein Laplace-Experiment handeln.

4.2

$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen

Den Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsvariable $X$ mit den möglichen Ergebnissen $x_1$ bis $x_n$ berechnest du mit folgender Formel:

$E(X)= \sum\limits_{i= 1}^n x_i\cdot P\left(X=x_i\right)$

Da $X$ die Anzahl der Münzwürfe beschreibt, gibt es nur die beiden Möglichkeiten $X=2$ und $X=3$ , welche jeweils die Wahrscheinlichkeit $2\cdot 0,5^2$ bzw. $4\cdot 0,5^3$ haben. Also ergibt sich folgender Erwartungswert:

$E(X)= 2,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Erwartungswert von $X$ beträgt $E(X)=2,5$ .