Pflichtaufgaben

1 Analysis

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=a x^3+a x^2$ und $a \in \mathbb{R}^{+}.$

1.1

Gib den Wert von $a$ an, so dass der Punkt $(1 \mid 6)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

(1 BE)

1.2

Berechne in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_a$ mit der $x$ -Achse einschließt.

(4 BE)

2 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=2 \cdot \sin \left(\dfrac{1}{2} x\right).$

Mecklenburg Vorpommern Abitur 2024, Sinus

2.1

Beurteile mit Hilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-2}^{8}f(x)\;\mathrm dx$ negativ ist.

(2 BE)

2.2

Weise rechnerisch nach, dass die folgende Aussage zutrifft:

Die Tangente an $G_f$ im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte $(-1 \mid-1)$ und $(1 \mid 1).$

(3 BE)

3 Analytische Geometrie

Drei Seitenflächen eines Quaders liegen in den Koordinatenebenen eines Koordinatensystems. Eine seiner Raumdiagonalen liegt auf der Gerade $g$ mit $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\5}+t\cdot \pmatrix{3\\4\\-5}, t \in \mathbb{R}.$

3.1

Gib die Koordinaten derjenigen Punkte des Quaders an, durch die $g$ verläuft.

(2 BE)

3.2

Zeichne den Quader in die Abbildung ein.

Koordinatensystem MV Quader Mathe Abi 2024

(3 BE)

4 Stochastik

Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ , wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.

4.1

Begründe, dass $X$ und $Y$ die gleiche Standardabweichung haben.

(2 BE)

4.2

Der Erwartungswert von $X$ ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X.$

Erwartungswert Gluecksrad Baden Wuerttemberg Mathe Abi 2024

Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads.

(3 BE)

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1 Analysis

1.1

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(1)&=& 6 & \\[5pt] a \cdot 1^3+a \cdot 1^2&=& 6& \\[5pt] 2a&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] a&=& 3 \end{array}$

Für den Wert von $a=3$ liegt der Punkt $(1 \mid 6)$ folglich auf dem Graphen von $f_a.$

1.2

1. Schritt: Nullstellen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 0 & \\[5pt] a x^3+a x^2&=& 0 &\\[5pt] a x^2(x+1)&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgen die Nullstellen direkt mit $x_1=0$ sowie:

$\begin{array}[t]{rll} x_2+1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x_2&=& -1 \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\displaystyle\int_{-1}^{0}f_a(x)\;\mathrm dx=\dfrac{1}{12} a \; [\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

Der Graph von $f_a$ schließt mit der $x$ -Achse folglich eine Fläche mit einem Inhalt von $\dfrac{1}{12} a$ Flächeneinheiten ein.

2 Analysis

2.1

Der Graph $G_f,$ die $x$ -Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen $x=-2$ und $x=8$ schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der $x$ -Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb.

Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.

2.2

Ableitungsfunktion bilden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für die Steigung der Tangente an $G_f$ im Koordinatenursprung gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen der Koordinaten des Koordinatenursprungs sowie der Steigung $m$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x+c &\\[5pt] 0&=& 1\cdot 0+c& \\[5pt] 0&=& c \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente ergibt sich also zu:

$t:y=1\cdot x+0=x$

Die Gerade mit der Gleichung $y=x$ verläuft also durch alle Punkte, deren $x$ -Koordinate mit ihrer $y$ -Koordinate übereinstimmt, und somit auch durch die Punkte $(-1 \mid -1)$ und $(1 \mid 1).$

Somit trifft die Aussage zu.

3 Analytische Geometrie

3.1

Der Punkt $(0\mid 0 \mid 5)$ ist der Stützpunkt der Gerade und der Punkt des Quaders, der auf der $z$ -Achse liegt. Dieser stellt somit einen Eckpunkt auf der oberen Quaderfläche dar.

Ein weiterer Punkt, der auf der Raumdiagonalen liegt, muss also ein Eckpunkt der Unterseite des Quaders sein.

Da drei Seitenflächen des Quaders in den Koordinatenebenen liegen, liegt die Unterseite des Quaders folglich in der $xy$ -Ebene und es muss gelten:

$\pmatrix{x\\y\\0}=\pmatrix{0\\0\\5}+t\cdot \pmatrix{3\\4\\-5}$

Aus der letzten Zeile folgt direkt $t=1.$

Somit ergibt sich der Schnittpunkt $S$ von $g$ mit der $xy$ -Ebene zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{0\\0\\5}+1\cdot \pmatrix{3\\4\\-5} &\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\4\\0} \end{array}$

Die Koordinaten derjenigen Punkte des Quaders, durch die $g$ verläuft, sind somit gegeben durch $(0\mid 0 \mid 5)$ und $(3\mid 4 \mid 0).$

3.2

4 Stochastik

4.1

Für die Standardabweichung gilt:

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Der Parameter $n$ ist bei beiden Verteilung gleich und entspricht den 100 Drehungen.

Da außerdem jeweils die Wahrscheinlichkeit $p$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $(1-p)$ multipliziert werden, wird bei beiden Standardabweichungen die Wahrscheinlichkeit für „Blau“ und für „Gelb“ multipliziert.

Damit haben $X$ und $Y$ folglich die gleiche Standardabweichung.

4.2

Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ kann der Erwartungswert $\mu=75$ abgelesen werden.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p& \\[5pt] 75&=& 100\cdot \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; :100 \\[5pt] 0,75&=& \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 20 \\[5pt] 15&=& x \end{array}$

Das Glücksrad besitzt somit 15 blaue Sektoren.

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