Pflichtaufgaben

Analysis - Pflichtaufgabe

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-k\cdot x^2$ , wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ .

Graf einer Funktion mit x- und y-Achse, die eine geschwungene Kurve darstellt.

1.1

Zeige, dass $\(f$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist.

(1 BE)

1.2

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils eine $y$ -Koordinate $-1$ .
Ermittle den Wert von $k$ .

(4 BE)

Analysis - Pflichtaufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=sin(x)$ .
Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ sowie die Tangenten an $G_f$ in den dargestellten Schnittpunkten mit der $x$ -Achse.

Graph einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine sinusartige Welle und wichtige Punkte wie 0 und π.

2.1

Zeige, dass diejenige der beiden Tangenten, die durch den Koordinatenursprung verläuft, die Steigung $1$ hat.

(1 BE)

2.2

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von $G_f$ und den beiden Tagenten eingeschlossen wird.

(4 BE)

Analytische Geometrie - Pflichtaufgabe

Gegeben sind die Punkte $A\left(2\mid-3\mid1\right)$ und $B\left(2\mid3\mid1\right)$ .

3.1

Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $y$ -Achse verläuft.

(1 BE)

3.2

Der Punkt $C$ liegt auf der $y$ -Achse. Die Gerade duch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Gerade durch $B$ und $C$ .
Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts $C$ haben.

(4 BE)

Stochastik - Pflichtaufgabe

Bei einem Gewinnspiel beträgt der Einsatz für die Teilnahme $3 \; \text{Euro}$ . Die Auszahlung in $\text{Euro}$ wird durch die Zufallsgröße $A$ beschrieben. Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $A$ .

Balkendiagramm zur Darstellung der Wahrscheinlichkeiten P(A=k) in Abhängigkeit von k mit Achsen und Maßstab.

4.1

Zeige, dass $p$ den Wert $\frac{1}{6}$ hat.

(1 BE)

4.2

Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen.
Berechne den Wert von $b$ .

(2 BE)

4.3

Beschreibe, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugeln durchgeführt werden könnte.

(2 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1

$\( f$

1.2

1. Schritt: Mit der notwendigen Bedingung die $x$ -Koordinaten der Tiefpunkte berechnen.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz des Nullproduktes folgt $x_1 = 0$ und

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2 - k&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt] 2x^2&=&k & \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x^2& = &\dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_{2;3} &= &\pm \sqrt{\dfrac{k}{2}}& \end{array}$

Aus der Abbildung wird klar, dass die Tiefpunkte an den Stellen $x_2=\sqrt{\frac{k}{2}}$ und $x_3=-\sqrt{\frac{k}{2}}$ liegen.

2. Schritt: $k$ bestimmen
Die Funktion $f$ muss an der Stelle $x_2 = \sqrt{\frac{k}{2}}$ den Funktionswert $-1$ annehmen. Damit folgt:

$k_{1,2}=\pm2$

Vollständige Lösung anzeigen

Wegen $k \gt 0$ folgt $k = 2.$

2.1

Der Graph von $f$ schneidet die $x$ -Achse unter anderem bei $x=0$ . Es gilt also die Steigung von $f$ an der Stelle $x=0$ zu berechnen. Mit $\(f$ folgt:

$\(f$

Damit hat die Tangente die Steigung $1.$

2.2

Um den Inhalt des Flächenstücks zu berechnen wird die Symmetrie der Fläche bezüglich der zur $y$ -Achse parallelen Gerade $x = \frac{\pi}{2}$ ausgenutzt. Damit folgt

$2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\; \left(x-\sin(x)\right) \; \mathrm{dx} = \dfrac{\pi^2}{4}-2$

Vollständige Lösung anzeigen

3.1

Die Gerade durch $A$ und $B$ verläuft parallel zur y-Achse, weil $A\left(2\mid-3\mid1\right)$ und $B\left(2\mid3\mid1\right)$ die gleichen x- und z-Koordinaten haben.

3.2

Da der Punkt $C$ auf der $y$ -Achse liegt, lässt er sich durch $C (0 \mid c \mid 0)$ mit $c \in \mathbb{R}$ darstellen. Damit die Vektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt der beiden $0$ ergeben.

$c_{1,2} = \pm 2$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit ergeben sich die Punkte $C_1 \left(0\mid-2\mid0\right)$ und $C_2\left(0\mid2\mid0\right)$ .

4.1

$\begin{array}[t]{rlll} p+3p+2p&=& 1 & \quad \scriptsize \\[5pt] 6p&=& 1 & \quad \scriptsize \mid :6\\[5pt] p&=& \dfrac{1}{6} & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Wert von $p$ beträgt $\frac{1}{6}.$

4.2

Mit Hilfe der Abbildung und Aufgabe $4.1$ lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Gewinne bestimmen. Damit sich Einsätze und Auszahlungen ausgleichen, müssen im Schnitt $§\; €$ ausgezahlt werden. Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{6} \cdot 0 + \dfrac{3}{6} \cdot b + \dfrac{2}{6} \cdot 6 &=& 3 & \quad \scriptsize \\[5pt] 0 + \dfrac{1}{2} \cdot b + \dfrac{1}{3} \cdot 6 &=& 3 & \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot b + 2 &=& 3 & \quad \scriptsize \mid -2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot b &=& 1 & \quad \scriptsize \mid \cdot 2 \\[5pt] b &=& 2 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Wert von $b$ beträgt $2 \; €.$

4.3

Im Behälter werden eine rote, drei grüne und zwei blaue Kugeln gelegt. Der Spieler entnimmt dem Behälter zufällig eine Kugel. Ist die entnommene Kugel rot, erfolgt keine Auszahlung, ist sie grün, werden zwei Euro ausgezahlt und ist sie blau werden $6$ Euro ausgezahlt.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?