Pflichtaufgabe B0

Der abgebildete Graph $G_f$ stellt eine Funktion $f$ dar.

Graf einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine sinusartige Kurve.

Abb. 1

$\,$

1.1

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f$ . Gib diesen Graphen an und begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsen und Achsenbeschriftungen.

Abb. 2: $\text{I}$

Grafik eines Koordinatensystems mit einer parabelförmigen Kurve.

Abb. 3: $\text{II}$

Graph einer Parabel mit x- und y-Achse, gekennzeichnet mit Zahlen.

Abb. 4: $\text{III}$

(3 BE)

$\,$

1.2

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$ .
Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an.
Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Funktion $f(x)=1-\frac{1}{x^2},$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch zur $y$ -Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.

2.1

Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.

(1 BE)

2.2

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ einschließen.

(4 BE)

Im Folgenden wird die gegenseitige Lage von Punkten mit drei gleichen Koordinaten und Ebenen betrachtet.

3.1

Die Ebene $E:\, 3x +2y +2z = 6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimme diese Koordinaten.

(2 BE)

3.2

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

(3 BE)

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ ; die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.

4.1

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.

(2 BE)

4.2

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.

(3 BE)

1.1

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.

Graph $\text{I}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$ -Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $\( f$ von $f$ gehören.
Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$ -Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.

Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

1.2

$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten angeben

Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$ -Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$

2.1

$\blacktriangleright$ Schnittstelle zeigen

Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$

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Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}.$

2.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt rechnerisch bestimmen

Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$ -Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.

Abb. 1: Skizze

Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:

$A_1 = 0,5$

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Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:

$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:

$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$

Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$ -Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.

3.1

$\blacktriangleright$ Koordinaten bestimmen

Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form $(t\mid t\mid t).$ Setzt du dies in die Ebenengleichung ein, so erhältst du:

$t = \frac{6}{7}$

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Die Koordinaten des gesuchten Punkts der Ebene $E$ mit drei übereinstimmenden Koordinaten lauten $\left(\frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\right).$

3.2

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{1\\1\\1}.$

Alle Ebenen, die zu dieser Geraden parallel verlaufen, diese aber nicht enthalten, haben keine gemeinsamen Punkte mit ihr und daher keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Ebenen, die zu dieser parallel verlaufen und diese nicht enthalten. Auch zu $g$ gibt es daher unendlich viele parallele Ebenen, die $g$ nicht enthalten, die also keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.

4.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$p=\frac{2}{625}$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.

4.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:

$p=\frac{8}{25}$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$