Wahlteil B1

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit der Gleichung

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& (a-x)\cdot \sqrt{x}\\[5pt] &=&a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \end{array}$

mit $x\in D_{f_a},$ $a\in \mathbb{R},$ $a\gt 0.$ Die Kurvenschar von $f_a$ ist $K_a.$

1.1

Gib den größtmöglichen Definitionsbereich von $f_a$ an. Ermittle die Schnittpunkte von $K_a$ mit den Koordinatenachsen.

(3 BE)

1.2

Berechne due Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von $a.$
Bestimme die Art der Extrema.
Prüfe, ob $K_a$ Wendepunkte besitzt.

(8 BE)

1.3

Skizziere $K_a$ für $a=9$ in einem geeigneten Koordinatensystem mindestens im Intervall $0\leq x\leq 10.$

(3 BE)

1.4

Für jeden Wert von $a$ begrenzen der Graph $K_a$ und die $x$ -Achse eine Fläche vollständig.

1.4.1

Bestimme den Wert von $a,$ für den der Flächeninhalt den Wert $\dfrac{80}{3}\sqrt{10}$ annimmt.

(5 BE)

1.4.2

Berechne das Volumen des Körpers in Abhängigkeit von $a,$ der bei der Rotation dieser Fläche um die $x$ -Achse entsteht.

(4 BE)

1.5

Betrachtet werden Dreiecke mit den Eckpunkten $(0\mid 0),$ $(u\mid 0)$ und $(u\mid f_a(u))$ mit $0 \lt u\lt a.$
Ermittle den Wert von $u$ in Abhängigkeit von $a$ für das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.
Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.
Gib den maximalen Flächeninhalt für $a=9$ an.

(7 BE)

1.1

$\blacktriangleright$ Größtmöglichen Definitionsbereich angeben

Da der Radikand unter der Wurzel nicht negativ sein darf und dies die einzige Einschränkung für $x$ ist, ist der größtmögliche Definitionsbereich:

$D_{f_a} = \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0 \}$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln

Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& (a-0)\cdot \sqrt{0} \\[5pt] &=&0 \\[5pt] \end{array}$

Für die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& a \\[10pt] x_2&=& 0 \end{array}$

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$K_a$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S(0\mid 0).$ Die $x$ -Achse schneidet $K_a$ ebenfalls im Punkt $S$ und zusätzlich im Punkt $S_x(a\mid 0).$

1.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

Für die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \\[10pt] f_a‘(x)&=& \frac{1}{2}\sqrt{x}\cdot \left( \frac{a}{x}-3\right)\\[10pt] f_a‘‘(x)&=& \frac{1}{4\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{-a}{x}-3 \right) \\[5pt] \end{array}$

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Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[10pt] x_2&=& \dfrac{a}{3} \end{array}$

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Da $x$ den Nenner eines Bruchs bildet, liegt $x=0$ nicht mehr im Definitionsbereich von $f_a‘$ und $f_a‘‘.$ $x_1$ fällt also aus der Betrachtung heraus. $K_a$ besitzt also einen möglichen Extrempunkt an der Stelle $x_2 = \frac{a}{3}.$

Für das hinreichende Kriterium folgt:

$f_a‘‘\left(\frac{a}{3}\right)=-\dfrac{6}{4\sqrt{\frac{a}{3}}} \lt 0$

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An der Stelle $x = \frac{a}{3}$ besitzt $K_a$ also einen Hochpunkt.

$f_a\left(\frac{a}{3} \right) = \sqrt{\frac{4a^3}{27}}$

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Der Graph $K_a$ besitzt genau einen Extrempunkt. Dieser ist ein Hochpunkt mit den Koordinaten $H\left(\frac{a}{3}\mid\sqrt{\frac{4a^3}{27}} \right).$

$\blacktriangleright$ Auf Wendepunkte prüfen

Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen folgt:

$\frac{-a}{3}=x$

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Damit diese Gleichung erfüllt ist, müsste entweder $a$ oder $x$ negativ sein, da aber $a\gt 0$ vorgegeben ist, und der Definitionsbereich von $f_a$ negative $x$ -Werte ausschließt, kann diese Gleichung nicht erfüllt werden. $K_a$ besitzt also keinen Wendepunkt.

1.3

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Der Graph $K_a$ verläuft für alle $a$ durch den Ursprung. Für $a =9$ schneidet $K_a$ die $x$ -Achse zusätzlich im Punkt $(9\mid 0).$ Der Hochpunkt von $K_9$ hat die Koordinaten $\left(\frac{9}{3}\mid \sqrt{\frac{4\cdot 9^3}{27}} \right)\approx \left(3\mid 10,39 \right).$
Für den Funktionswert an der Stelle $x=10$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} f_9(10)&=& (9-10)\cdot \sqrt{10} \\[5pt] &\approx& -3,16 \end{array}$

Damit ergibt sich in etwa folgende Abbildung:

Graph einer Funktion mit einem Gitter im Hintergrund, zeigt eine Kurve zwischen den Achsen x und y.

Abb. 1: $K_9$ im Bereich $0\leq x \leq 10$

1.4.1

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen

Der Inhalt der Fläche, die von $K_a$ mit der $x$ -Achse vollständig begrenzt wird, kann über ein Integral über $f_a$ mit den Nullstellen von $f_a$ als Grenzen berechnet werden.

$A= \frac{4}{15}\cdot a^{\frac{5}{2}}$

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Dieser Flächeninhalt soll $\frac{80}{3}\sqrt{10}$ betragen:

$a=10$

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Für $a=10$ beträgt der beschriebene Flächeninhalt $\frac{80}{3}\sqrt{10}.$

1.4.2

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Mit der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation eines Funktionsgraphen um die $x$ -Achse entsteht, folgt:

$V = \dfrac{\pi\cdot a^4}{12}$

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Das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche um die $x$ -Achse entsteht, kann in Abhängigkeit von $a$ durch $V= \dfrac{\pi\cdot a^4}{12}$ beschrieben werden.

1.5

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{u}$ ermitteln

Der Skizze kann man entnehmen, dass das angegebene Dreieck die Seitenlängen $u$ und $f_a(u)$ besitzt. Diese Seiten stehen im rechten Winkel zueinander.
Der Flächeninhalt ergibt sich daher in Abhängigkeit von $u:$

$A_a(u)= \frac{1}{2} a\cdot u^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{5}{2}}$

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Gesucht ist nun das Maximum von $A_a(u)$ für $0\lt u\lt a.$

Diagramm mit einer Kurve und einem rechtwinkligen Dreieck in einem Koordinatensystem.

Abb. 2: Skizze

Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:

$\frac{3}{5}a=u$

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Laut Aufgabenstellung muss das Maximum nicht nachgewiesen werden, das hinreichende Kriterium für Extremstellen muss also nicht überprüft werden. Für $u = \frac{3}{5}a$ hat das Dreieck also den maximalen Flächeninhalt.

$\blacktriangleright$ Maximalen Flächeninhalt berechnen

In Abhängigkeit von $a$ wird der maximale Flächeninhalt für $u = \frac{3}{5}a$ angenommen. Einsetzen in $A_a(u)$ gemeinsam mit $a=9$ liefert den maximalen Flächeninhalt für $a=9:$

$A_9\left(\frac{3}{5}\cdot 9\right) \approx 22,59$

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Der maximale Flächeninhalt für $a=9$ beträgt in etwa $22,59.$

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