Wahlteil A1

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)= x^3-4x^2+3x$ mit $x\in \mathbb{R}.$ Der Graph von $f$ ist $G.$

1.1

Berechne von $G$ die Koordinaten

der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
der Extrempunkte,
des Wendepunktes.

Weise die Art der Extrema und die Existenz des Wendepunktes nach. Gib das Verhalten von $G$ im Unendlichen an.

(10 BE)

1.2

Zeichne $G$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

(2 BE)

1.3

Die Gerade $h$ verläuft durch den Punkt $P(1\mid0)$ und hat den Anstieg $m=-1,25.$
$G$ und $h$ schneiden sich in den Punkten $R(0,5\mid f(0,5))$ und $P.$
Zeige rechnerisch, dass $G$ und $h$ sich auch im Punkt $S(2,5\mid f(2,5))$ schneiden.
Zeichne $h$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1.2 ein.
Die Gerade $h$ schließt mit $G$ zwei Flächenstücke vollständig ein. Kennzeichne die Flächenstücke im Koordinatensystem.
Berechne deren Flächeninhalte.

(9 BE)

1.4

Für jeden Wert von $u$ mit $u\in \mathbb{R},$ $0\lt u\lt 1$ sind die Punkte $A(0\mid 0),$ $B(u\mid f(u))$ und $C(0\mid f(u))$ Eckpunkt eines Dreiecks.
Berechne den maximalen Flächeninhalt eines solchen Dreiecks.

(5 BE)

1.5

Die Gerade $k$ verläuft durch den Koordinatenursprung und ist Tangente an $G$ im Punkt $Q(a\mid f(a)),$ $a\neq 0.$
Berechne den Wert von $a.$

(3 BE)

1.6

Eine Firma stellt Dioden her. Es ist bekannt, dass der Anteil der defekten Dioden $\frac{1}{10}$ beträgt. Der laufenden Produktion werden zufällig nacheinander Dioden entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:

$A:$

Von vier entnommenen Dioden ist keine defekt.

$B:$

Von zehn entnommenen Dioden sind genau drei defekt.

$C:$

Von fünf entnommenen Dioden sind die erste und die fünfte defekt und die übrigen funktionieren.

(6 BE)

1.1

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0^3-4\cdot 0^2 +3\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$G$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid 0).$

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] x^3 -4x^2 +3x &=& 0 \\[5pt] x\cdot (x^2-4x+3)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1=0 \\[5pt] x^2 -4x +3 &=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{2/3} &=& -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2 -3 } \\[5pt] &=& 2 \pm 1 \\[5pt] x_2 &=& 2-1 \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] x_3 &=& 2+1 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

$G$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $S_y(0\mid 0),$ $N_1(1\mid 0)$ und $N_2(3\mid 0).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3 -4x^2 +3x \\[5pt] f‘(x) &=& 3x^2 -8x +3 \\[5pt] f‘‘(x) &=& 6x -8 \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x) &=& 0 \\[5pt] 3x^2 -8x +3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x^2 -\frac{8}{3}x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-\frac{8}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{8}{3}}{2} \right)^2 - 1} \\[5pt] &=& \frac{4}{3} \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \\[10pt] x_1 &=& \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \\[5pt] &\approx& 0,45 \\[10pt] x_2 &\approx& \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \\[5pt] &\approx& 2,22 \\[10pt] \end{array}$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(0,45) &=& 6 \cdot 0,45 - 8 \\[5pt] &=& -5,3 \lt 0 \\[10pt] f‘‘(2,22) &=& 6 \cdot 2,22 - 8 \\[5pt] &=& 5,32 \gt 0 \\[10pt] \end{array}$

An der Stelle $x_1\approx 0,45$ besitzt $G$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2\approx 2,2$ einen Tiefpunkt.

4. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0,45) &=& 0,45^3-4\cdot 0,45^2 +3\cdot 0,45 \\[5pt] &\approx& 0,63 \\[10pt] f(2,22) &=& 2,22^3-4\cdot 2,22^2 +3\cdot 2,22 \\[5pt] &\approx& -2,11 \\[10pt] \end{array}$

$G$ besitzt zwei Extrempunkte: den Hochpunkt $H(0,45\mid 0,63)$ und den Tiefpunkt $T(2,22\mid -2,11).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Wendepunktes berechnen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x) &=& 0 \\[5pt] 6x -8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +8 \\[5pt] 6x &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] x &=& \frac{4}{3} \end{array}$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x) &=& 6x -8 \\[10pt] f‘‘‘(x) &=& 6 \\[10pt] f‘‘‘\left( \frac{4}{3}\right)&=& 6 \neq 0 \end{array}$

Da das hinreichende Kriterium an der Stelle $x=\frac{4}{3}$ also ebenfalls erfüllt ist, besitzt $G$ an dieser Stelle einen Wendepunkt.

3. Schritt: $y$ -Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{4}{3} \right)&=& \left( \frac{4}{3}\right)^3 -4\cdot \left( \frac{4}{3}\right)^2 +3 \cdot \frac{4}{3} \\[5pt] &=& -\frac{20}{27} \\[5pt] \end{array}$

$G$ besitzt also einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W\left(\frac{4}{3}\mid -\frac{20}{27} \right).$

$\blacktriangleright$ Verhalten im Unendlichen angeben

Für $x\to -\infty$ gilt:

$f(x)= \underbrace{x^3}_{\to-\infty} -\underbrace{4\cdot x^2}_{\to \infty} + \underbrace{3\cdot x}_{\to -\infty} \to -\infty$

Für $x\to \infty$ gilt:

$f(x)= \underbrace{x^3}_{\to\infty} -\underbrace{4\cdot x^2}_{\to \infty} + \underbrace{3\cdot x}_{\to \infty} \to \infty$

1.2

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

Abb. 1: Graph $G$

1.3

$\blacktriangleright$ Dritten Schnittpunkt zeigen

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

$h: \, y= -1,25\cdot x +b$

$\begin{array}[t]{rll} y &=& -1,25\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; P(1\mid 0)\\[5pt] 0 &=& -1,25\cdot 1 +b &\quad \scriptsize \mid\; +1,25 \\[5pt] 1,25 &=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Gerade $h$ ist $y= -1,25x +1,25.$

2. Schritt: Gleichsetzen

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& h(x) \\[5pt] x^3 -4x^2+3x &=& -1,25x +1,25 &\quad \scriptsize \mid\;+1,25x;-1,25 \\[5pt] x^3 -4x^2+4,25x-1,25 &=& 0 \end{array}$

Da sich die Graphen von $f$ und $h$ laut Aufgabenstellung an den Stellen $x_1 = 1$ und $x_2 = 0,5$ schneiden, sind dies bereits zwei Lösungen der Gleichung. Diese kannst du mit der Polynomdivision herausteilen, damit du die Gleichung lösen kannst:

	$x^3$	$-$	$4x^2$	$+$	$4,25t$	$-$	$1,25$	$:$	$(x-1)$	$=$	$x^2-3x+1,25$
$-$	$(x^3$	$-$	$x^2)$
		$-$	$3x^2$	$+$	$4,25x$
		$-$	$(-3x^2$	$+$	$3x)$
					$1,25x$	$-$	$1,25$
				$-$	$(1,25x$	$-$	$1,25)$
							$0$

Es ist also $(x-1)\cdot (x^2-3x+1,25) = x^3 -4x^2+4,25x-1,25.$ Wegen des Satzes vom Nullprodukt sind also die Nullstellen von $x^3 -4x^2+4,25x-1,25$ $x=1$ und die Nullstellen von $x^2-3x+1,25.$ Letztere kannst du nun mit der $pq$ -Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} x^2-3x+1,25 &=& 0 \\[5pt] x_{2/3} &=& -\frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2} \right)^2 -1,25} \\[5pt] &=& 1,5\pm 1 \\[10pt] x_2 &=& 1,5-1 \\[5pt] &=& 0,5 \\[10pt] x_3 &=& 1,5 +1 \\[5pt] &=& 2,5 \end{array}$

$G$ und $h$ schneiden sich also in den Punkten $P,$ $R(0,5\mid f(0,5))$ und $S(2,5\mid f(2,5)).$

$\blacktriangleright$ Gerade einzeichnen

Abb. 2: Gerade $h$

$\blacktriangleright$ Flächenstücke im Koordinatensystem kennzeichnen

Abb. 3: Flächenstücke

$\blacktriangleright$ Flächeninhalte berechnen

Du kannst die Flächeninhalte jeweils mit einem Integral berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{0,5}^{1}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(x^3 -4x^2+4,25x-1,25\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\frac{1}{4}x^4 -\frac{4}{3}x^3+\frac{17}{8}x^2-1,25x \right]_{0,5}^1 \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot 1^4 -\frac{4}{3}\cdot 1^3+\frac{17}{8}\cdot 1^2-1,25\cdot 1 - \left(\frac{1}{4}\cdot 0,5^4 -\frac{4}{3}\cdot 0,5^3+\frac{17}{8}\cdot 0,5^2-1,25\cdot 0,5 \right) \\[5pt] &=& -\frac{5}{24}- \left(-\frac{47}{192} \right)\\[5pt] &=& \frac{7}{192} \\[10pt] A_2 &=& \displaystyle\int_{1}^{2,5}(h(x)-f(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{1}^{2,5}\left(-x^3 +4x^2-4,25x+1,25\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{1}{4}x^4 +\frac{4}{3}x^3-\frac{17}{8}x^2+1,25x \right]_{1}^{2,5} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}\cdot 2,5^4 +\frac{4}{3}\cdot 2,5^3-\frac{17}{8}\cdot 2,5^2+1,25\cdot 2,5 - \left(-\frac{1}{4}\cdot 1^4 +\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{17}{8}\cdot 1^2+1,25\cdot 1 \right) \\[5pt] &=& \frac{175}{192}- \frac{5}{24} \\[5pt] &=& \frac{45}{64} \\[10pt] \end{array}$

Die Flächeninhalte betragen $A_1= \frac{7}{192}\,\text{FE}$ und $A_2= \frac{45}{64}\,\text{FE}.$

1.4

$\blacktriangleright$ Maximalen Flächeninhalt berechnen

1. Schritt: Zielfunktion aufstellen

Bei dem Dreieck $ABC$ handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $C.$ Die beiden Katheten sind $\overline{AC} = f(u)$ und $\overline{BC} = u.$ Für den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $u$ folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A(u) &=&\frac{1}{2}\cdot u\cdot f(u) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot u \cdot \left(u^3-4\cdot u^2 +3\cdot u\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot u^4 -2u^3 +\frac{3}{2}u^2 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} A(u) &=& \frac{1}{2}\cdot u^4 -2u^3 +\frac{3}{2}u^2 \\[5pt] A‘(u) &=& 2\cdot u^3 -6u^2 +3u \\[5pt] A‘‘(u)&=& 6u^2 -12u +3 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden

$\begin{array}[t]{rll} A‘(u) &=& 0 \\[5pt] 2\cdot u^3 -6u^2 +3u &=& 0 \\[5pt] u\cdot \left( 2u^2 -6u+3 \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; u_1=0\\[5pt] 2u^2 -6u+3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] u^2 -3u+\frac{3}{2}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] u_{2/3} &=& -\frac{-3}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2} \right)^2 -\frac{3}{2}} \\[5pt] &=& \frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] u_2&=& \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] u_3&=& \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] \end{array}$

Da $0\lt u \lt 1$ sein soll, fallen sowohl $u_1$ als auch $u_2$ als Möglichkeit weg.

4. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extrema überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} A‘‘(u_2)&=& A‘‘\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\[5pt] &=& 6\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 -12\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) +3 \\[5pt] &\approx& -2,2 \lt 0 \\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $u_2 = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ besitzt die Funktion $A$ also ein lokales Maximum. Da $A$ stetig ist und kein weiteres lokales Extremum im betrachteten Bereich $0\lt u \lt 1$ besitzt, ist dies auch das absolute Maximum im betrachteten Bereich.

5. Schritt: Maximalen Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 -2\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 +\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\[5pt] &\approx& 0,17 \\[5pt] \end{array}$

Der maximale Flächeninhalt eines solchen Dreiecks beträgt also $0,17$ Flächeneinheiten.

1.5

$\blacktriangleright$ Parameterwert berechnen

Die Gerade $k$ mit $y = m\cdot x +b$ verläuft durch den Koordinatenursprung. Es ist also $b=0.$ Da sie Tangente an $G$ im Punkt $Q(a\mid f(a))$ ist, gelten folgende Gleichunen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& m &=& f‘(a) \\[5pt] & &=& 3a^2-8a+3 \\[10pt] \text{II}\quad&k(a)&=& f(a) \\[5pt] &m\cdot a &=& a^3-4a^2+3a \\[5pt] \end{array}$

Die erste kannst du in die zweite einsetzen und erhältst:

$\begin{array}[t]{rll} m\cdot a &=& a^3-4a^2+3a &\quad \scriptsize \mid\;m=3a^2-8a+3 \\[5pt] (3a^2-8a+3 )\cdot a &=& a^3-4a^2+3a \\[5pt] 3a^3 -8a^2 +3a &=& a^3 -4a^2 +3a &\quad \scriptsize \mid\;-a^3 ; +4a^2; -3a \\[5pt] 2a^3 -4a^2 &=& 0 \\[5pt] a^2\cdot (2a-4)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;a_{1/2} = 0 \\[5pt] 2a-4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 2a &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] a &=& 2 \end{array}$

Für $a=2$ ist $k$ also eine Tangente an den Graphen $G$ im Punkt $Q(a\mid f(a)).$

1.6

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Verwende für $A$ die Pfadmultiplikationsregel:

$P(A) = \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 0,6561 = 65,61\,\%$

Betrachte für Ereignis $B$ die Zufallsgröße $X,$ die in einer Stichprobe von zehn Dioden die Anzahl der defekten Dioden beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=10$ und $p=\frac{1}{10}$ betrachtet werden. Es folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& P(X=3) \\[5pt] &=& \binom{10}{3} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3 \cdot \left(\frac{9}{10} \right)^7 \\[5pt] &\approx& 0,0574 \\[5pt] &=& 5,74\,\% \\[5pt] \end{array}$

Für Ereignis $C$ kannst du wieder die Pfadmultiplikationsregel verwenden:

$P(C)= \frac{1}{10}\cdot \frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{10} \approx 0,0073=0,73\,\%$

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