Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Eckpunkte $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(4\mid 0\mid 0),$ $C(4\mid 3\mid 0),$ $D(0\mid 3\mid 0),$ $E(0\mid 0\mid 2),$ $F(4\mid 0\mid 2),$ $G(4\mid 3\mid 3)$ und $H(0\mid 3\mid 3)$ gegeben.

Betrachtet wird das Modell eines Gewächshauses $ABCDEFGH,$ dabei stellen $EFGH$ die Dachfläche und $ABCD$ die Bodenfläche dar. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $xy$ -Ebene den horizontalen Untergrund. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Gewächshaus

3.1

Begründe, dass die Fläche $EFGH$ ein Rechteck ist.

(3 BE)

3.2

Neben dem Gewächshaus steht senkrecht ein $5\,\text{m}$ hoher Mast. Sein Fußpunkt wird im Modell mit dem Punkt $T(5\mid 6\mid 0)$ beschrieben. Die Dicke des Mastes wird vernachlässigt.

3.2.1

Sonnenlicht fällt mit der Richtung $\pmatrix{-0,4\\-2\\-2}$ auf den Mast. Der Punkt $\(P$ ist der Schattenpunkt der Mastspitze $P$ auf dem Boden.
Zeige, dass $\(P$ die Koordinaten $(4\mid 1\mid 0)$ hat.
Beurteile, ob der Schattenpunkt $\(P$ auf der Kante $BC$ liegt.

(5 BE)

3.2.2

Der Mast knickt durch einen Sturm in einer Höhe von $k$ Metern über dem Erdboden ab. Dabei reißt er nicht vollständig ab, sodass nur die Spitze auf dem Boden aufliegt. Der abgeknickte Teil schließt mit dem noch stehenden Teil des Mastes einen Winkel von 60° ein.
Ermittle den Wert von $k.$

(2 BE)

Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte $A,$ $B(8\mid 0\mid 0),$ $C(8\mid 8\mid 0),$ $D,$ $E(4\mid 0\mid 6),$ $F(8\mid 4\mid 6),$ $G(4\mid 8\mid 6),$ $H$ und $S(4\mid 4\mid 12)$ dargestellt. Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität. Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Kirchturm

4.1

Die Ebene $L$ enthält die Punkte $C,$ $G$ und $F.$ Gib eine Gleichung von $L$ in Parameterform an und zeige, dass auch $S$ in $L$ liegt.

(3 BE)

4.2

Weise nach, dass das Viereck $CGSF$ eine Raute ist.

(2 BE)

4.3

Gegeben sind drei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

$M_1:x=8\quad$ $M_2:x-y=0\quad$ $M_3:z=6$

Eine dieser Ebenen stellt eine Symmetrieebene des Kirchendachs dar. Gib diese Ebene an und beschreibe ihre Lage.

(2 BE)

4.4

Berechne die Größe des Innenwinkels des Vierecks $CGSF$ im Punkt $S$ sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen.

(6 BE)

4.5

Die Gerade $q_1$ verläuft durch $S$ und $F,$ die Gerade $q_2$ durch $S$ und $G.$ Die beiden Geraden schneiden die $xy$ -Ebene in den Punkten $Q_1$ bzw. $Q_2.$
Gib das Verhältnis des Abstands von $Q_1$ und $Q_2$ zum Abstand von $F$ und $G$ an.
Begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von $Q_1$ und $Q_2$ zu berechnen.

(3 BE)

4.6

Zur Stabilisierung wird zwischen den durch $E$ und $G$ dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch $\overline{SF}$ dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit $R$ bezeichnet; $R$ stimmt weder mit $F$ noch mit $S$ überein.
Beschreibe, wie man die Koordinaten von $R$ ermitteln könnte.

(4 BE)

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