Pflichtaufgaben

1 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=3 x^3-9 x$ und $x \in \mathbb{R}.$

1.1

Bestimme beide Extremstellen von $f$ und die Art der Extrempunkte, die an diesen Stellen vorliegen.

(3 BE)

1.2

Begründe, dass die Gleichung $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm d x=0$ für jede reelle Zahl $a$ erfüllt wird.

(2 BE)

2 Analysis

Betrachtet wird eine Funktion $f$ , deren Graph symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist. Die Tangente $t_1$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(1 \mid f(1))$ hat die Gleichung $y=\frac{4}{3} x+4.$

2.1

Gib eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1 \mid f(-1))$ an und begründe deine Angabe.

(2 BE)

2.2

Die Tangenten $t_1$ und $t_2$ schließen mit der $x$ -Achse ein Dreieck ein.
Bestimme den Umfang des Dreiecks.

(3 BE)

3 Analytische Geommetrie

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A(4 \mid 0 \mid 0)$ und $B(5 \mid 1 \mid b)$ mit einer reellen Zahl $b.$

3.1

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt.

(1 BE)

3.2

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt.
Ermittle den Wert von $b.$

(4 BE)

4 Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem wird ein gerades Prisma betrachtet. Die Punkte $A(2 \mid 2 \mid 0), B(6 \mid 5 \mid 0), C(6 \mid 9 \mid 0)$ und $D(2 \mid 6 \mid 0)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms. Die Fläche $ABCD$ ist die Grundfläche des Prismas.

4.1

Zeige, dass die Grundfläche des Prismas kein Rechteck ist.

(2 BE)

4.2

Der Inhalt der Mantelfläche des Prismas hat einen Wert von $90.$
Berechne die Höhe des Prismas.

(3 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1 Analysis

1.1

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$f(x)= 3x^3 -9x$

$\(f$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An der Stelle $x=-1$ besitzt der Graph von $f$ einen Hochpunkt, an der Stelle $x=1$ einen Tiefpunkt.

1.2

$f$ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und besitzt nur ungerade Exponenten von $x$ im Funktionsterm. Folglich verläuft der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Im symmetrischen Intervall $[-a;a]$ um $x=0$ liegen beidseitig zur $y$ -Achse flächengleiche Stücke zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse: über- und unterhalb der $x$ -Achse. Die zugehörigen Werte der bestimmten Integrale haben demzufolge entgegengesetzte Vorzeichen und heben sich somit auf:

$\displaystyle\int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm d x= -\displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm d x$

2 Analysis

2.1

Da der Graph von $f$ symmetrisch zur $y$ -Achse ist, entsteht die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1\mid f(-1))$ durch Spiegelung der Tangente $t_1$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(1\mid f(1))$ an der $y$ -Achse.

$t_2(x) = t_1 (-x)= \frac{4}{3}\cdot (-x) +4 = -\frac{4}{3}x+4$

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1\mid f(-1))$ lautet demnach:

$t_2: y= -\frac{4}{3}x+4$

Alternativ

$\(m_{t_2}=f$

Da die Anstiege betragsmäßig gleich sind und die Berührstellen symmetrisch zum Koordinatenursprung liegen, schneiden sich beide Tangenten in ihrem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 \mid 4).$ Für die gesuchte Tangentengleichung erhält man somit:

$t_2: y=-\dfrac{4}{3} \cdot x+4$

2.2

1. Schritt: Schnittstelle von $\boldsymbol{t_1}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{3} \cdot x+4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] \dfrac{4}{3} \cdot x &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{3}{4}\\[5pt] x &=& -3 \end{array}$

2. Schritt: Eckpunkte des Dreiecks bestimmen

Aufgrund der Symmetrie schneidet die Tangente $t_2$ die $x$ -Achse an der Stelle $x=3.$
Beide Tangenten schneiden die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 4).$
Die Eckpunkte des Dreiecks sind also $S_1(-3\mid 0),$ $S_2(3\mid 0)$ und $S_y(0\mid 4).$

3. Schritt: Umfang des Dreiecks berechnen

$\overline{S_1S_2} = 6\,\text{[LE]}$

$\overline{S_1S_y} = \overline{S_2S_y}$ $= \sqrt{(4-0)^2 + (0-(-3))^2 }$ $= \sqrt{25}=5\,\text{[LE]}$

$U= 6 \,\text{LE} + 2\cdot 5\,\text{LE} = 16\,\text{LE}$

3 Analytische Geometrie

3.1

Punkt $A$ hat die $y$ -Koordinate $0.$ Da die Gerade $g$ im Richtungsvektor die $y$ -Koordinate $0$ und im Stützvektor die $y$ -Koordinate $3$ hat, haben auch alle Punkte auf dieser Geraden die $y$ -Koordinate $3.$

Daher liegt $A$ nicht auf der Geraden $g.$

3.2

$h: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+t \cdot \overrightarrow{AB}$ $=\pmatrix{4\\0\\0}+t \cdot\pmatrix{1 \\ 1 \\ b}$

Gleichsetzen von $g$ und $h:$

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{-2\\3\\-7} = t \cdot\pmatrix{1 \\ 1 \\ b} -s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -2 &=& t -s \\ \text{II}\quad& 3 &=& t \\ \text{III}\quad& -7 &=& t\cdot b -5s \\ \end{array}$

$\text{II}$ in $\text{I}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -2 &=& 3 -s &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] -5 &=& -s &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] 5 &=& s\\[5pt] s &=& 5 \end{array}$

Einsetzen in $\text{III}:$

$\begin{array}[t]{rll} -7 &=& 3 \cdot b -5\cdot 5 \\[5pt] -7 &=& 3b -25 &\quad \scriptsize \mid\; +25 \\[5pt] 18 &=& 3b &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 6 &=& b \\[5pt] b &=& 6 \end{array}$

4 Analytische Geometrie

4.1

$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}=\pmatrix{4 \\ 3 \\ 0} \circ\pmatrix{0 \\ 4 \\ 0}$ $=4 \cdot 0+3 \cdot 4+0 \cdot 0$ $=12 \neq 0$

Die Seiten $\overline{A B}$ und $\overline{A D}$ stehen also nicht rechtwinklig zueinander, da das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren nicht null ist. Es kann sich daher nicht um ein Rechteck handeln.

4.2

Rechenweg anzeigen

$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|=5\,\text{[LE]}$

Rechenweg anzeigen

$|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|=4\,\text{[LE]}$

$\begin{array}[t]{rll} A_M &=& 2\cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot h +2\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot h \\[5pt] 90 &=& 2\cdot 5\cdot h + 2\cdot 4\cdot h \\[5pt] 90 &=& 18h &\quad \scriptsize \mid\; :18 \\[5pt] 5 &=& h \\[5pt] h &=& 5\,\text{[LE]} \end{array}$

Die Höhe des Prismas beträgt $5\,\text{LE}.$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?