Wahlteil A3

Bei der Umfrage wurden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort mit den Antwortmöglichkeiten , , befragt. Stelle für dieses Zufallsexperiment ein vollständiges Baumdiagramm auf und gib eine Ergebnismenge an.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

• : Beide Besucher stammen aus Mecklenburg-Vorpommern.
• : Mindestens ein Besucher kommt aus dem Ausland.

Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der ausländischen Besucher bei einer Befragung von Personen. Begründe, dass als binomialverteilt angesehen werden kann.
Berechne für jeden Wert von die Wahrscheinlichkeit und stelle diese Wahrscheinlichkeitsverteilung grafisch dar.

Vier Besucher wurden bezüglich ihrer Anfahrt befragt. Ein Großteil der Besucher benutzte öffentliche Verkehrsmittel (), die anderen private Fahrzeuge (). Gib die folgenden Ereignisse als Teilmengen der Ergebnismenge an.

• : Genau drei Personen fahren mit einem privaten Fahrzeug.
• : Die dritte Person fährt mit öffentlichen Verkehrsmitteln.

Formuliere das Gegenereignis von in Worten.

Das Volksfest war ein Fest für alle Generationen, Jung und Alt feierten gemeinsam. So hatte die Altersgruppe „30 Jahre und älter“ einen Anteeil von . Weibliche Besucher waren mit vertreten. Rund aller Festbesucher waren Kinder (untr 14 Jahre).

Man geht bei der Befragung davon aus, dass die Eigenschaften „Geschlecht“ und „Alter“ voneinander unabhängig sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Befragung die Person

• männlich und „unter 30“ ist.
• weiblich und nicht „unter 30“ ist.

Es werden Besucher dieser Attraktion befragt. Die Befragung kann als Bernoulli-Kette aufgefasst werden. Mit wie vielen Kindern muss bei der Prüfung gerechnet werden?
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Befragten

• genau Kinder sind.
• mindestens , aber weniger als Kinder gefunden werden.

Berechne, wie viele Personen befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens zwei Kinder unter den Besuchern zu finden.

  Baumdiagramm aufstellen Es werden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort befragt. Bei jedem von ihnen gibt es drei Möglichkeiten:

• : Mecklenburg-Vorpommern
• : Eins der übrigen deutschen Bundesländer
• : Ausland

Du benötigst also ein Baumdiagramm mit zwei Ebenen mit jeweils drei Ästen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du der Aufgabenstellung entnehmen.   Ergebnismenge angeben Du sollst eine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment angeben. Verwende dafür die Kürzel , und . Beachte, dass zwei Personen befragt werden. In der Ergebnismenge müssen alle Ergebnisse aufgeführt werden, die eintreten können. Du kannst dich an dem Baumdiagramm orientieren, indem du alle möglichen Pfade aufzählst.   Wahrscheinlichkeiten berechnen Du sollst die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse berechnen. Nutze dazu das Baumdiagramm, indem du die Pfadadditions- und Pfadmultiplikationsregel verwendest. Für benötigst du den Pfad . Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von kommen beide Besucher aus Mecklenburg-Vorpommern Beim Ereignis kommt mindestens ein Besucher aus dem Ausland. Es gibt also mehrere Pfade für dieses Ereignis, deren Wahrscheinlichkeiten du addieren musst: , , , , Mit einer Wahrscheinlichkeit von kommt mindestens einer der beiden Besucher aus dem Ausland.

  Binomialverteilung begründen Damit eine Zufallsgröße als binomialverteilt angenommen werden kann, gibt es zwei Bedingungen:

• In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: „Erfolg“ oder „Misserfolg“
• In jedem Durchgang bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg gleich.

Begründe, dass diese Bedingungen im vorliegenden Zufallsexperiment erfüllt sind. Die Zufallsgröße beschreibt laut Aufgabenstellung die Anzahl der ausländischen Besucher unter befragten Personen.
Im Einführungstext der Aufgabe ist angegeben, dass die Umfrage repräsentativ ist. Dies beinhaltet, dass eine hinreichend große Menschenmenge befragt wird, sodass die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Herkunftsländer bei jeder Person annähernd gleich bleibt, unabhängig davon, wie viele schon befragt wurden. Bei jeder der ausgewählten Personen besteht also die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass diese aus dem Ausland kommt.
Außerdem wird hier nur noch zwischen zwei Möglichkeiten unterschieden: „Kommt aus dem Ausland“ oder „Kommt nicht aus dem Ausland“. Beide Bedingungen sind also erfüllt, sodass als binomialverteilt angenommen werden kann.   Wahrscheinlichkeiten berechnen und grafisch darstellen Du hast bereits begründet, dass als binomialverteilt angenommen werden kann. Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von berechnen. Möglich sind , , , , und . Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern und mit folgender Formel berechnen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus dem Ausland kommt, beträgt , also ist . Es werden insgesamt Personen befragt, also ist . Setze dies in die Formel ein. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du nun beispielsweise in einem Säulendiagramm darstellen.

  Ereignisse als Teilmenge der Ergebnismenge angeben Überlege dir, für welche Ergebnisse die Ereignisse jeweils eintreten und wie du diese am besten beschreiben kannst. Die Ergebnismenge kann zum Beispiel wie folgt angegeben werden: Für kannst du zum Beispiel folgendes angeben: Bei muss der dritte Eintrag ein sein:   Gegenereignis formulieren Du sollst das Gegenereignis von in Worten formulieren. ist das Ereignis, bei dem die dritte Person mit öffentlichen Verkehrsmitteln reist. Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn nicht eintritt. Das Gegenereignis von ist also: : Die dritte Person fährt nicht mit öffentlichen Verkehrsmitteln.

  Wahrscheinlichkeiten berechnen Du sollst hier zwei Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dabei geht es um Kombinationen verschiedener voneinander unabhängiger Eigenschaften bzw. Ereignisse.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei voneinander unabhängige Ereignisse und gemeinsam eintreten, kannst du mit folgender Formel berechnen: Aus der Aufgabenstellung kannst du ablesen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ist die Person bei einer Befragung männlich und „unter 30“. Bei einer Befragung ist die Person mit einer Wahrscheinlichkeit von weiblich und nicht „unter 30“.

  Erwartete Anzahl Kinder angeben Es werden insgesamt Personen befragt. Betrachtest du die Zufallsvariable , die die Anzahl der Kinder unter den Befragten beschreibt, ist der Erwartungswert von gesucht.
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Befragung als Bernoulli-Kette aufgefasst werden kann. Das bedeutet, dass als binomialverteilt angenommen werden kann. Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable mit den Parametern und kannst du wie folgt berechnen: Es werden Personen befragt, also ist . Die Wahrscheinlichkeit für ein Kind beträgt , also ist . Bei der Prüfung muss mit bis Kindern gerechnet werden.   Wahrscheinlichkeiten berechnen Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen, die sich auf die Anzahl der Kinder unter den Befragten beziehen. Du kannst dafür also die binomialverteilte Zufallsvariable wie oben verwenden. Für die Berechnung kannst du dein CAS verwenden. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. sind unter den Befragten genau Kinder. Die zweite gesuchte Wahrscheinlichkeit ist . Forme diesen Ausdruck in die Form um. Hier handelt es sich um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Du kannst dazu den binomCdf-Befehl deines CAS verwenden. Mit dem CAS erhältst du mit den Grenzen und folgendes Ergebnis: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. befinden sich unter den Befragten mindestens aber weniger als Kinder.

  Anzahl der Befragten berechnen Die Anzahl der Befragten soll so bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Kinder höher als ist. Gesucht ist also , sodass gilt. Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung aus Aufgabe 3.2 so weit um, dass du sie nach auflösen kannst. Es müssen also mindestens Personen befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens zwei Kinder gefunden werden.

  Baumdiagramm aufstellen Es werden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort befragt. Bei jedem von ihnen gibt es drei Möglichkeiten:

• : Mecklenburg-Vorpommern
• : Eins der übrigen deutschen Bundesländer
• : Ausland

Du benötigst also ein Baumdiagramm mit zwei Ebenen mit jeweils drei Ästen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du der Aufgabenstellung entnehmen.   Ergebnismenge angeben Du sollst eine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment angeben. Verwende dafür die Kürzel , und . Beachte, dass zwei Personen befragt werden. In der Ergebnismenge müssen alle Ergebnisse aufgeführt werden, die eintreten können. Du kannst dich an dem Baumdiagramm orientieren, indem du alle möglichen Pfade aufzählst.   Wahrscheinlichkeiten berechnen Du sollst die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse berechnen. Nutze dazu das Baumdiagramm, indem du die Pfadadditions- und Pfadmultiplikationsregel verwendest. Für benötigst du den Pfad . Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von kommen beide Besucher aus Mecklenburg-Vorpommern Beim Ereignis kommt mindestens ein Besucher aus dem Ausland. Es gibt also mehrere Pfade für dieses Ereignis, deren Wahrscheinlichkeiten du addieren musst: , , , , Mit einer Wahrscheinlichkeit von kommt mindestens einer der beiden Besucher aus dem Ausland.

  Binomialverteilung begründen Damit eine Zufallsgröße als binomialverteilt angenommen werden kann, gibt es zwei Bedingungen:

• In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: „Erfolg“ oder „Misserfolg“
• In jedem Durchgang bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg gleich.

Begründe, dass diese Bedingungen im vorliegenden Zufallsexperiment erfüllt sind. Die Zufallsgröße beschreibt laut Aufgabenstellung die Anzahl der ausländischen Besucher unter befragten Personen.
Im Einführungstext der Aufgabe ist angegeben, dass die Umfrage repräsentativ ist. Dies beinhaltet, dass eine hinreichend große Menschenmenge befragt wird, sodass die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Herkunftsländer bei jeder Person annähernd gleich bleibt, unabhängig davon, wie viele schon befragt wurden. Bei jeder der ausgewählten Personen besteht also die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass diese aus dem Ausland kommt.
Außerdem wird hier nur noch zwischen zwei Möglichkeiten unterschieden: „Kommt aus dem Ausland“ oder „Kommt nicht aus dem Ausland“. Beide Bedingungen sind also erfüllt, sodass als binomialverteilt angenommen werden kann.   Wahrscheinlichkeiten berechnen und grafisch darstellen Du hast bereits begründet, dass als binomialverteilt angenommen werden kann. Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von berechnen. Möglich sind , , , , und . Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern und mit folgender Formel berechnen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus dem Ausland kommt, beträgt , also ist . Es werden insgesamt Personen befragt, also ist . Setze dies in die Formel ein. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du nun beispielsweise in einem Säulendiagramm darstellen.

  Ereignisse als Teilmenge der Ergebnismenge angeben Überlege dir, für welche Ergebnisse die Ereignisse jeweils eintreten und wie du diese am besten beschreiben kannst. Die Ergebnismenge kann zum Beispiel wie folgt angegeben werden: Für kannst du zum Beispiel folgendes angeben: Bei muss der dritte Eintrag ein sein:   Gegenereignis formulieren Du sollst das Gegenereignis von in Worten formulieren. ist das Ereignis, bei dem die dritte Person mit öffentlichen Verkehrsmitteln reist. Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn nicht eintritt. Das Gegenereignis von ist also: : Die dritte Person fährt nicht mit öffentlichen Verkehrsmitteln.

  Wahrscheinlichkeiten berechnen Du sollst hier zwei Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dabei geht es um Kombinationen verschiedener voneinander unabhängiger Eigenschaften bzw. Ereignisse.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei voneinander unabhängige Ereignisse und gemeinsam eintreten, kannst du mit folgender Formel berechnen: Aus der Aufgabenstellung kannst du ablesen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ist die Person bei einer Befragung männlich und „unter 30“. Bei einer Befragung ist die Person mit einer Wahrscheinlichkeit von weiblich und nicht „unter 30“.

  Erwartete Anzahl Kinder angeben Es werden insgesamt Personen befragt. Betrachtest du die Zufallsvariable , die die Anzahl der Kinder unter den Befragten beschreibt, ist der Erwartungswert von gesucht.
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Befragung als Bernoulli-Kette aufgefasst werden kann. Das bedeutet, dass als binomialverteilt angenommen werden kann. Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable mit den Parametern und kannst du wie folgt berechnen: Es werden Personen befragt, also ist . Die Wahrscheinlichkeit für ein Kind beträgt , also ist . Bei der Prüfung muss mit bis Kindern gerechnet werden.   Wahrscheinlichkeiten berechnen Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. sind unter den Befragten genau Kinder. Die zweite gesuchte Wahrscheinlichkeit ist . Forme diesen Ausdruck in die Form um. Hier handelt es sich um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Du kannst dazu den binomCdf-Befehl, also die binomiale Verteilungsfunktion deines CAS verwenden. Mit dem CAS erhältst du mit den Grenzen und folgendes Ergebnis: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. befinden sich unter den Befragten mindestens aber weniger als Kinder.

  Anzahl der Befragten berechnen Die Anzahl der Befragten soll so bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Kinder höher als ist. Gesucht ist also , sodass gilt. Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung aus Aufgabe 3.2 so weit um, dass du sie nach auflösen kannst. Es müssen also mindestens Personen befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens zwei Kinder gefunden werden.