Analytische Geometrie

Die Eckpunkte eines Holzkörpers werden durch $A(0 \mid 0\mid0)$ , $B(10\mid 0 \mid 0)$ , $C(10\mid 10\mid 0)$ , $D(0\mid 10 \mid 0)$ und $E( 0 \mid 10 \mid 6)$ dargestellt (vgl. Abbildung).
Die Punkte B, D und E liegen im Modell in der Symmetrieebene des Körpers.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.

3D-Diagramm eines Quaders mit den Punkten A, B, C, D, E und den Achsen x, y, z.

2.1

Zeige, dass das Dreieck BCE rechtwinklig ist, und berechne den Inhalt der Oberfläche des Holzkörpers.

(5 BE)

2.2

Bestimme eine Gleichung der Ebene L, in der das Dreieck BCE liegt, in Koordinatenform.

(3 BE)

2.3

Die quadratische Grundfläche des Holzkörpers schließt mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck BCE dargestellt wird, einen Winkel ein.
Berechne die Größe dieses Winkels.

(2 BE)

2.4

Der Holzkörper soll mit einer möglichst kurzen Linie versehen werden, die im Modell vom Eckpunkt A über die Kante $\overline{BE}$ zum Punkt C verläuft. Die Länge dieser Linie in Zentimetern kann folgendermaßen ermittelt werden:

$P(10-10 t \mid 10t\mid 6t)$

$\overline{PC} \circ \overline{PB} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{25}{59}$

$2 \, \cdot \mid \overline{PC} \mid \approx 15,2$

Erläutere dieses Vorgehen.

(4 BE)

2.5

Der Schnittpunkt der Ebene L mit der $z$ -Achse wird mit F bezeichnet.

2.5.1

Zeichne F sowie die Geraden, in denen L die $xz$ - und die $yz$ -Ebene schneidet, in die Abbildung ein.

(2 BE)

2.5.2

Ermittle, um wie viel Prozent das Volumen des Körpers ABCDEF größer ist als das Volumen des Körpers ABCDE, ohne für diese Volumina konkrete Werte zu berechnen.

(4 BE)

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2.1

1. Schritt: Rechten Winkel nachweisen
Ein rechter Winkel zwischen zwei Vektoren liegt vor, wenn das Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{CB}\circ\overrightarrow{CE} = \pmatrix{0\\-10\\0} \circ \pmatrix{-10\\0\\6}$ $= 0\cdot(-10)+(-10)\cdot0+0\cdot6$ $= 0$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 10^2+10\cdot\mid\overline{CE}\mid+10\cdot6 & \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 277 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt $\approx 277$ cm $^2$ .

2.2

1. Schritt: Parametergleichung der Ebene $L$ aufstellen.

$\pmatrix{x\\y\\z} =\pmatrix{10\\10\\0}+r\cdot\pmatrix{0\\-10\\0}+s\cdot\pmatrix{-10\\0\\6}$

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2. Schritt: Gleichungen aus der Paramatergleichung ablesen.

3. Schritt: Koordinatenform berechnen.

$x= 10-\frac{5}{3}z$

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Damit hat die Ebene $L$ die Koordinatenform: $x=10-\frac{5}{3}z$

2.3

$\phi \approx 31^{\circ}$

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2.4

Sei $P$ der Punkt, der auf $\overline{BE}$ liegt.
Der Körper ist symmetrisch entlang der Strecke $\overline{BE}$ . Die Länge der gesuchten Linie ist somit $2\cdot\mid \overrightarrow{PC} \mid$ .
Die gesuchte Linie soll möglichst kurz sein. Deshalb muss das Skalarprodukt $\overrightarrow{PC}\circ\overrightarrow{PB}$ gleich $0$ sein, damit die Strecke $\overline{PC}$ senkrecht zu $\overline{PB}$ liegt.

2.5.1

Grafische Darstellung eines dreidimensionalen Körpers mit Punkten A, B, C, D, E und F sowie Achsen x, y und z.

2.5.2

1. Schritt: Volumen des Körpers $ABCDE$ .
Beim Körper $ABCDE$ handelt es sich um eine Pyramide. Das Volumen einer Pyramide entspricht $\frac{1}{3}$ mal Grundfläche mal Höhe. Also gilt:

$V_{ABCDE}=\frac{1}{3}\cdot\mid\overline{AB}\mid^2\cdot \mid\overline{DE}\mid{}$

2. Schritt: Volumen des Körpers $ABCDEF$ .
Beim Körper $ABCDEF$ handelt es sich um einen (diagonal) halbierten Quader. Also gilt: $\begin{array}[t]{rll} V_{ABCDEF}&=&\frac{1}{2}\cdot\mid\overline{AB}\mid^2\cdot \mid\overline{DE}\mid{}& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Größenunterschied bestimmen.

$V_{ABCDEF} = V_{ABCDE}+50 \% \cdot V_{ABCDE}$

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Somit ist das Volumen $ABCDEF$ um $50\%$ größer als das Volumen von $ABCDE$ .

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