Wahlaufgaben

4 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f.$

4.1

Bestimme grafisch den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-3}^{-1,5}f(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

4.2

Beschreibe, wie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u$ mit $u(x)=-f(x)+2$ aus $G_f$ erzeugt werden kann.
Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $u$ an.

(3 BE)

5 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $P(2\mid0\mid 23)$ und $Q_k(6\mid k\mid 20)$ mit $k \in \mathbb{R}.$

5.1

Entscheide, ob es einen Wert von $k$ gibt, für den die Gerade $PQ_k$ parallel zur $xy$ -Ebene verläuft.
Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

5.2

Der Koordinatenursprung sowie die Punkte $P$ und $Q_k$ bilden ein Dreieck.
Ermittle diejenigen Werte von $k,$ für die das Dreieck in $Q_k$ einen rechten Winkel hat.

(3 BE)

6 Stochastik

Eine Ärztin verordnet ihrer Patientin zwei Medikamente, deren Anwendung unabhängig voneinander zu Nebenwirkungen führen kann. Bei der Anwendung des ersten Medikaments treten in $10\,\%$ der Fälle Nebenwirkungen auf, bei der Anwendung des zweiten Medikaments in $20\,\%$ der Fälle. Betrachtet werden die Ereignisse:

$M_1:$

Die Anwendung des ersten Medikaments führt zu Nebenwirkungen.

$M_2:$

Die Anwendung des zweiten Medikaments führt zu Nebenwirkungen.

6.1

Dieser Sachverhalt kann in einer Vierfeldertafel dargestellt werden.
Begründe, dass $P\left(M_1 \cap M_2\right)=0,02$ gilt, und ergänze die fehlenden Werte in der abgebildeten Vierfeldertafel.

	$\color{#ffff}{M_1}$
$\color{#ffff}{M_2}$		$0,2$
$\color{#ffff}{\overline{M_2}}$
	$0,1$	$1$

(3 BE)

6.2

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eines der beiden Medikamente zu Nebenwirkungen führt.

(2 BE)

7 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{2}x^2.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(4 \mid f(4)).$

7.1

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

7.2

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $\left(u \mid f(u)\right)$ die $y$ -Achse im Punkt $\left(0 \mid-f(u)\right)$ schneidet.

(4 BE)

8 Analytische Geometrie

Betrachtet wird das Quadrat, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Das Quadrat liegt in der $xy$ -Ebene.
Ein Eckpunkt liegt im Koordinatenursprung.
Der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{-1\\4\\-2}+\lambda \cdot\pmatrix{2\\0\\1}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}.$

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen und berechne den Flächeninhalt des Quadrats.

$\;$

(5 BE)

9 Stochastik

Um Jugendliche bei einer Befragung zum sensiblen Thema „Nicht erledigte Hausaufgaben“ dazu zu bewegen, die ihnen gestellte Frage wahrheitsgemäß zu beantworten, wird folgendes Verfahren angewandt:

Von den an der Befragung teilnehmenden Jugendlichen erhalten $60\,\%$ die folgende Frage F1 und $40\,\%$ die folgende Frage F2:

F1:

„Ist es wahr, dass du in den letzten zwei Wochen mindestens einmal die Hausaufgaben nicht erledigt hast?“

F2:

„Ist es wahr, dass du in den letzten zwei Wochen alle Hausaufgaben erledigt hast?“

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche der beiden Fragen sie erhalten hat. Sie beantwortet die Frage wahrheitsgemäß mit „Ja“ bzw. mit „Nein“.
Es kann davon ausgegangen werden, dass der Anteil der Befragten, die in den letzten zwei Wochen mindestens einmal die Hausaufgaben nicht erledigt haben, unter denjenigen, die die Frage F1 erhielten, ebenso groß ist wie unter allen Befragten. Dieser Anteil wird mit $p$ bezeichnet.

9.1

Vervollständige das abgebildete Baumdiagramm, so dass es das beschriebene Verfahren darstellt.

(2 BE)

9.2

Es werden 1000 Jugendliche befragt. Von diesen antworten 420 mit „Ja“.
Berechne den Anteil $p,$ der sich auf Grundlage dieses Ergebnisses ergibt.

(3 BE)

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4 Analysis

4.1

Der Wert des Integrals gibt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der $x$ -Achse zwischen den beiden Grenzen an. Im betrachteten Bereich sind das ungefähr 8 Kästchen, das heißt der Wert des Integrals ist etwa $8\cdot0,5^2=2\;[\text{FE}].$

4.2

Erzeugung des Graphen beschreiben

Der Graph von $u$ kann aus $G_f$ durch Spiegelung an der $x$ -Achse und anschließende Verschiebung um $2$ in $y$ -Richtung erzeugt werden

Koordinaten des Hochpunkts angeben

Durch die Spiegelung an der $x$ -Achse wird aus dem Tiefpunkt von $G_f$ ein Hochpunkt. Die anschließende Verschiebung liefert somit die Koordinaten $H(0\mid 2)$ für den Hochpunkt des Graphen von $u.$

5 Analytische Geometrie

5.1

Damit die Gerade $PQ$ parallel zur $xy$ -Ebene verläuft, müssen alle Punkte auf dieser die gleiche $z$ Koordinate besitzen. Da die $z$ -Koordinaten von $P$ und $Q$ verschieden sind, existiert kein solches $k.$

5.2

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} k_1&=&-6 \\[5pt] k_2&=&6 \end{array}$

6 Stochastik

6.1

$\boldsymbol{P(M_1\cap M_2)=0,02}$ begründen

Da die beiden Nebenwirkungen unabhängig von einander auftreten, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(M_1\cap M_2)&=&P(M_1)\cdot P(M_2) \\[5pt] &=&0,1\cdot0,2 \\[5pt] &=&0,02 \end{array}$

Vierfeldertafel ergänzen

	$\color{#ffff}{M_2}$	$\color{#ffff}{\overline{M_2}}$
$\color{#ffff}{M_1}$	$0,02$	$0,08$	$0,1$
$\color{#ffff}{\overline{M_1}}$	$0,18$	$0,72$	$0,9$
	$0,2$	$0,8$	$1$

6.2

$\begin{array}[t]{rll} P\left(\overline{M_1\cap M_2}\right)&=&1-P\left(M_1 \cap M_2\right) \\[5pt] &=&1-0,02 \\[5pt] &=&0,98 \\[5pt] &=&98\,\% \end{array}$

7 Analysis

7.1

Die Tangente $t,$ gegeben durch die Gleichung $y=mx+n,$ hat eine positive Steigung, einen $y$ -Achsenabschnitt von $n=-8$ und schneidet die $x$ -Achse bei $2.$ Für die Steigung $m$ folgt somit:

$m=\dfrac{0-(-8)}{2-0}=\dfrac{8}{2}=4$

Somit ergibt sich die Gleichung $y=4x-8.$

7.2

Die allgemeine Gleichung der Tangente ist gegeben durch $y=mx+n.$ Für die Ableitung von $f(x)$ gilt:

$\(f$

Somit folgt $f(u)=\frac{1}{2}u^2$ und $\(m=f$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes $(u\mid f(u)),$ an dem die Tangente den Graphen berührt, in die Gleichung der Tangente liefert somit:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}u^2&=& u\cdot u + n &\quad \scriptsize \mid\;-u^2 \\[5pt] -\dfrac{1}{2}u^2&=& n \end{array}$

Somit gilt $n=-\frac{1}{2}u^2=-f(u)$ und die Tangente schneidet die $y$ -Achse damit im Punkt $(0\mid-f(u)).$

8 Analytische Geometrie

$\;$

Der Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $xy$ -Ebene, in der das Quadrat liegt, wird durch den Wert von $\lambda$ bestimmt, der aus $-2+\lambda\cdot1 = 0$ folgt. Diese Gleichung ergibt $\lambda = 2.$ Somit ergibt sich für den Ortsvektor des Schnittpunkts der Diagonalen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=&\pmatrix{-1\\4\\-2}+2\cdot\pmatrix{2\\0\\1} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\4\\0} \end{array}$

Die beiden Diagonalen teilen das Dreieck in vier rechtwinklige Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt, deren an den rechten Winkel anliegende Seiten die Länge $\left\vert\overrightarrow{OS}\right\vert=\sqrt{3^2+4^2}=5\;[\text{LE}]$ besitzen. Somit folgt für den Flächeninhalt $A$ des gesamten Quadrats:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot5^2 \\[5pt] &=&2\cdot25 \\[5pt] &=&50\;[\text{FE}] \end{array}$

9 Stochastik

9.1

9.2

$\begin{array}[t]{rll} 0,6 \cdot p+0,4 \cdot(1-p)&=& \dfrac{420}{1000} \\[5pt] 0,2p+0,4&=& 0,42 \quad \scriptsize \mid\;-0,4 \\[5pt] 0,2p&=& 0,02 \quad \scriptsize \mid\;:0,2 \\[5pt] p&=&0,1 \end{array}$

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