Wahlteil A3

In der Medizin werden zur Behandlung und Diagnose (Radiodiagnostik) von Krankheiten radioaktive Präparate eingesetzt. So wird zum Beispiel für die Bildgebung und Messung einer Schilddrüsenaufnahme das Isotop $^{\text{99m}}\text{Tc}$ des Elements Technetium verwandt, um Informationen zur Funktion der Schilddrüse zu erhalten.

3.1

Bei der Herstellung von Technetium lässt sich die zu einem Zeitpunkt $t$ vorhandene Masse durch die Gleichung $m(t)= 25\cdot \mathrm e^{-0,011\cdot t} \cdot \left(1-\mathrm e^{-0,1\cdot t} \right)$ erfassen.
Dabei ist $t$ die Maßzahl der Zeit gemessen in Stunden und $m$ die Maßzahl der Masse in Milligramm.

Berechne die Masse zu den Zeitpunkten $t=6\,\text{h}$ und $t=60\,\text{h}.$
Ermittle die Zeitpunkte, zu denen die Masse $m = 5,8\,\text{mg}$ beträgt.
Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Masse am größten ist.
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Abnahme der Masse am größten ist.
Zeichne den Graphen von $m(t)$ im Intervall von $0\leq t \leq 150.$
Beschreibe unter Berücksichtigung deiner Ergebnisse, wie sich die momentane Änderungsrate der Masse des hergestellten Technetiums im Verlauf der ersten $150$ Stunden verhält.

(16 BE)

Der Zerfall radioaktiver Isotope aller Elemente erfolgt entsprechend der Funktion $N$ mit $N(t)= N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t}.$ Dabei sind:

$N_0$ die Anzahl der Ausgangsteilchen zum Zeitpunkt $t=0,$
$N(t)$ die Anzahl der noch vorhandenen Teilchen zum Zeitpunkt $t$ und
$\lambda$ eine elementabhängige Zerfallskonstante.

Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der jeweils die Hälfte der vorhandenen Teilchen zerfallen ist. Sie beträgt für $^{\text{99m}}\text{Tc}$ etwa $6$ Stunden.
Einem Patienten wird eine Anfangsdosis $N_0$ von $6,08\cdot 10^{15}$ Teilchen verabreicht.

3.2

Berechne für $^{\text{99m}}\text{Tc}$ mithilfe der Halbwertszeit die Zerfallskonstante $\lambda$ in der Einheit $\text{h}^{-1}$ und gib eine Gleichung der Funktion $N$ an.

(3 BE)

3.3

Ermittle unter Verwendung der Gleichung $N(t)=6,08\cdot 10^{15}\cdot \mathrm e^{-0,12\cdot t},$ nach welcher Zeit $99,99\,\%$ der Ausgangsteilchen zerfallen sind.

(2 BE)

3.4

Aus der Erfahrung weiß man, dass etwa $80\,\%$ der medizinischen Einrichtungen Deutschlands in der Radiodiagnostik Präparate mit $^{\text{99m}}\text{Tc}$ verwenden.

3.4.1

Fünf zufällig ausgewählte Einrichtungen werden zum Einsatz dieser Präparate befragt. Die Zufallsgröße $X$ entspricht der Anzahl der Einrichtungen, die Präparate mit $^{\text{99m}}\text{Tc}$ einsetzen.
Begründe, dass die Zufallsgröße $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ und stelle diese grafisch dar.

(7 BE)

3.4.2

Bei einer anderen Erhebung wurden $50$ Einrichtungen befragt.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

$A:$

„ $90\,\%$ der befragten Einrichtungen setzen das Präparat $^{\text{99m}}\text{Tc}$ ein.“

$B:$

„Mindestens $30,$ aber weniger als $40$ der befragten Einrichtungen setzen das Präparat $^{\text{99m}}\text{Tc}$ ein.“

Gib die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis an:

$C:$

„Die zweite Einrichtung setzt dieses Präparat ein.“

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

$D:$

„Genau eine der ersten vier Einrichtungen setzt dieses Präparat ein.“

(7 BE)

3.1

$\blacktriangleright$ Masse berechnen

$\begin{array}[t]{rll} m(6)&\approx& 10,56 \\[10pt] m(60)&\approx& 12,89 \\[10pt] \end{array}$

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Zum Zeitpunkt $t=6\,\text{h}$ beträgt die Masse ca. $10,56\,\text{mg},$ zum Zeitpunkt $t=60\,\text{h}$ beträgt sie ca. $12,89\,\text{mg}.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkte mit angegebener Masse ermitteln

Du kannst den solve-Befehl deines CAS verwenden:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx& 2,73 \\[5pt] t_2&\approx& 132,82 \end{array}$

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Zu den Zeitpunkten $t_1 \approx 2,73\,\text{h}$ und $t_2\approx 132,83\,\text{h}$ beträgt die Masse ca. $5,8\,\text{mg}.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit der größten Masse berechnen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden

Mit der Produktregel folgt für die ersten beiden Ableitungen von $m:$

$\begin{array}[t]{rll} m(t)&=& ... \\[10pt] m‘(t)&=& ... \\[5pt] m‘‘(t)&=& ... \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$t\approx 23,12$

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Die einzige mögliche lokale Extremstelle von $m$ ist also $t_E\approx 23,12.$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$m‘‘(23,12) \approx -0,02 \lt 0$

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Zum Zeitpunkt $t\approx 23,12\,\text{h}$ ist die Masse des Technetiums also am größten.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit der größten Abnahme berechnen

Die Ab- und Zunahme der Masse wird durch die erste Ableitungsfunktion $m‘$ von $m$ beschrieben. Gesucht ist also das Minimum von $m‘.$ Dafür benötigst du zusätzlich zur zweiten Ableitungsfunktion die dritte Ableitungsfunktion von $m.$

1. Schritt: Dritte Ableitungsfunktion bestimmen

$m‘‘‘(t)=...$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Mit dem solve-Befehl deines CAS erhältst du:

$t\approx 46,23$

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$m‘‘‘(46,23) \approx 0,00018 \gt 0$

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Zum Zeitpunkt $t\approx 46,23\,\text{h}$ ist die Abnahme der Masse des Technetiums am größten.

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

Abb. 1: Graph von $m$

$\blacktriangleright$ Verhalten der momentanen Änderungsrate beschreiben

Zum Zeitpunkt $t=0$ ist die Zunahme der Masse zunächst sehr groß, für $t=0$ ist die momentane Änderungsrate also sehr groß.
Bis $t\approx 23,12$ nimmt die momentane Änderungsrate ab, bleibt aber immernoch positiv, bis sie in $t\approx 23,12$ den Wert Null erreicht.
Anschließend nimmt die momentane Änderungsrate immer schneller ab und ist dabei negativ. An der Stelle $t\approx 46,23$ erreicht die momentane Änderungsrate ihr Minimum, hier ist die Abnahme am stärksten. Anschließend verlangsamt sich die Abnahme wieder, die momentane Änderungsrate nimmt also wieder zu, bleibt aber negativ. Sie nähert sich dem Wert Null an und bleibt dabei negativ.

3.2

$\blacktriangleright$ Zerfallskonstante berechnen

Es ist $N_0 = 6,08\cdot 10^{15}.$ Die Halbwertszeit beträgt $6\,\text{h},$ also ist

$N(6)= 3,04\cdot 10^{15}$

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Einsetzen in die genannte Funktionsgleichung liefert:

$\lambda\approx 0,116$

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Die Zerfallskonstante ergibt sich zu $\lambda \approx 0,116\,\text{h}^{-1}.$

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$N(t)= 6,08\cdot 10^{15}\cdot \mathrm e^{-0,116\cdot t}$

3.3

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt ermitteln

Du kannst den solve-Befehl deines CAS verwenden:

$t\approx 76,75$

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Nach ca. $76,75$ Stunden sind $99,99\,\%$ der Ausgangsteilchen zerfallen.

3.4.1

$\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen

Jede Einrichtung verwendet entweder das Präparat mit $^{\text{99m}}\text{Tc}$ oder nicht. Es gibt also bei jeder befragten Einrichtung nur zwei mögliche Ausgänge.
Zudem ist bei jeder Einrichtung die Wahrscheinlichkeit, dass sie das Präparat verwendet, gleich. Sie beträgt bei jeder Einrichtung unabhängig von den Ergebnissen der anderen Befragungen $80\,\%.$

Diese beiden sind die grundlegenden Bedingungen für die Binomialverteilung. Man kann also davon ausgehen, dass $X$ binomialverteilt ist.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung ermitteln und darstellen

Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten $P(X=i)$ für $i=0,1,...,5$ mithilfe deines CAS. $X$ kann als binomialverteilt mit $n=5$ und $p=0,8$ angenommen werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ D: Binomial Pdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial PDf

Du erhältst:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&\approx& 0,0003 \\[5pt] P(X=1)&\approx& 0,0064 \\[5pt] P(X=2)&\approx& 0,0512 \\[5pt] P(X=3)&\approx& 0,2048 \\[5pt] P(X=4)&\approx& 0,4096 \\[5pt] P(X=5)&\approx& 0,3277 \\[5pt] \end{array}$

Abb. 2: Verteilung von $X$

3.4.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die unter den $50$ befragten Einrichtungen die Anzahl der Einrichtungen beschreibt, die das betrachtete Präparat einsetzen. Diese kann analog zu $X$ als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,8$ angenommen werden.
Für $A$ und $B$ kannst du den BinomPdf-Befehl von oben und den BinomCdf-Befehl deines CAS verwenden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 0,0295 \\[10pt] P(B)&\approx& 0,4161 \\[10pt] \end{array}$

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Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$ entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine einzeln betrachtete Einrichtung das Präparat einsetzt. Diese beträgt $80\,\%,$ also ist $P(C) = 0,8.$

Betrachte für Ereignis $D$ die Zufallsgröße $Y_D,$ die unter vier befragten Einrichtungen die Anzahl der Einrichtungen beschreibt, die das Präparat einsetzen. Diese ist analog zu $X$ und $Y$ binomialverteilt mit $n=4$ und $p=0,8.$

$P(D) \approx 0,0256$

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