Wahlteil B2

B2 Analytische Geometrie und Stochastik

In Hamburg steht am Ufer der Elbe ein Bürogebäude (siehe Abbildung). Die markante Stahl-Glas-Konstruktion ruht auf Betonpfeilern. Zwei Seitenwände des Gebäudes stehen lotrecht (senkrecht zur Erdoberfläche), die anderen beiden nicht.

Moderne Architektur eines Gebäudes am Wasser bei Dämmerung, mit reflektierenden Oberflächen und Hafen im Hintergrund.

Abb. 1: Ansicht des Hamburger Bürogebäudes von Norden

Im Modell wird das Gebäude ohne Dachaufbauten in einem kartesischen Koordinatensystem durch das Parallelepiped $ABCDEFGH$ mit $A (21\mid 0 \mid 4),$ $B(21\mid 85 \mid 4),$ $C(0\mid 85 \mid 4),$ $D(0\mid 0 \mid 4),$
der Kante $AE$ und dem Vektor

$\overrightarrow{AG}=\pmatrix{-21\\132\\21}$

beschrieben $(1\,\text{LE}=1\,\text{m}).$

2.1

Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte der Fläche $EFGH$ und stelle den Körper $ABCDEFGH$ grafisch dar.

(zur Kontrolle: $F(21 \mid 132 \mid 25)$

(5 BE)

2.2

Berechne das Volumen des Gebäudes.

(2 BE)

2.3

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Fläche $BCGF$ liegt.

Berechne den Neigungswinkel der nicht lotrechten Seitenwände des Bürogebäudes.

(zur Kontrolle: $21y - 47 z = 1597)$

(5 BE)

2.4

Auf dem Dach eines Hauses am nördlichen Elbufer ist ein Laserprojektor installiert.
Der Laser tritt im Punkt $L\left(120\mid 40 \mid 15\right)$ aus dem Projektor aus. Während der Abendstunden wird u. a. eine gerade Linie $l$ auf die nördliche Seitenwand des Gebäudes projiziert, die durch die Seitenfläche $ABFE$ beschrieben wird. Der Laserstrahl überstreicht in diesem Fall im Modell einen Teil der Ebene mit der Gleichung

$55x+160y-1200z+5000=0.$

2.4.1

Weise nach, dass der Punkt $L$ in dieser Ebene liegt.

(1 BE)

2.4.2

Ermittle die maximale Länge der Laserlinie $l.$

(6 BE)

2.5

Eine Möwe fliegt unterhalb der schrägen Seitenwand, die westlich über das Wasser hinausragt. Die Punkte der Flugbahn dieser Möwe können im Modell zum jeweilligen Zeitpunkt $t$ durch

$M\left(t^2+2\mid t^3-5t^2+2t+120\mid t+2\right)$ mit $0\leq t\leq 4$

beschrieben werden. Es gibt einen Zeitpunkt, zu dem die Möwe den kleinsten Abstand zu dieser Seitenwand hat
Ermittle diesen Abstand.

(8 BE)

2.6

Für die Montage der Glasscheiben in den Außenwänden werden maschinell gefertigte Dichtungsgummis mit einer Qualitätsnorm von $2,2\,\text{cm}\pm 1\,\text{mm}$ verwendet.
Die Untersuchung einer großen Stichprobe aus der laufenden Produktion ergab, dass die Dichtungsgummis normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu=2,2\,\text{cm}$ und der Standardabweichung $\sigma=0,5\,\text{mm}$ sind.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Gummidichtung der Norm entspricht.

(3 BE)