Wahlteil B1

Trinkt man ein koffeinhaltiges Getränk (z.B. Kaffee, Cola, Energydrink), so wird darin enthaltenes Koffein vom Körper ins Blut aufgenommen und dort kontinuierlich wieder abgebaut. Im Folgenden werden der Aufnahmevorgang und der Abbauvorgang zunächst gesondert und erst anschließend gemeinsam untersucht.

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1.1

Untersuchung des Abbauvorgangs

Zur gesonderten Untersuchung des Abbauvorgangs soll davon ausgegangen werden, dass die Aufnahme von Koffein ins Blut bereits abgeschlossen ist und die Konzentration des Koffeins im Blut innerhalb von jeweils $240 \, \text {Minuten}$ um die Hälfte abnimmt.
Ermittle die Zeitdauer, innerhalb derer die Koffeinkonzentration um $75 \,\%$ abnimmt.

(2 BE)

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1.2

Untersuchung des Aufnahmevorgangs

Berücksichtigt man nur den Aufnahmevorgang, lässt also den gleichzeitig erfolgenden Abbau von Koffein außer Acht, so kann die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g(t)=k\cdot(1-e^{b\cdot t})$ mit $k \in \mathbb{R}^+$ und $b \, \in \, \mathbb{R}$ beschrieben werden. Dabei ist $g(t)$ die Koffeinkonzentration in $\dfrac{\text {mg}}{\text {ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist.
Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Blutmenge konstant $5 \, \text {Liter}$ beträgt und insgesamt $100 \, \text {mg}$ Koffein ins Blut aufgenommen werden.

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1.2.1

Weise nach, dass $g‘(t)$ proportional zur Differenz von $k$ und $g(t)$ ist.

(3 BE)

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1.2.2

Begründe unter Berücksichtigung des Sachzusammenhangs, dass $b\lt 0$ gilt.

(2 BE)

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1.2.3

Gib die Bedeutung von $k$ im Sachzusammenhang an und zeige, dass $k=0,02$ gilt.

(3 BE)

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1.2.4

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Minuten	Koffeinkonzentration in $\dfrac{\text {mg}}{\text {ml}}$
$0$	$0$
$15$	$0,0127$
$30$	$0,0173$
$45$	$0,0190$

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion möglichst gut beschrieben werden, so wird die Funktion häufig so gewählt dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist.

In der Abbildung 1 sind Differenzen von Funktionwerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.
Gib einen Grund dafür an, dass es bei dieser Methode sinnvoll ist, nicht die Differenzen selbst, sondern deren Quadrate zu verwenden.
Bestimme mithilfe der beschriebenen Methode den passenden Wert von $b$ .

Diagramm mit einer gekrümmten Funktion und Datenpunkten im Koordinatensystem.

Abb. 1

(5 BE)

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1.3

Gemeinsame Untersuchung des Aufnahme- und Abbauvorgangs

Eine Person, in deren Körper kein Koffein enthalten ist, trinkt ein koffeinhaltiges Getränk. Berücksichtigt man nun sowohl den Aufnahmevorgang als auch den Abbauvorgang, so wird die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration im Blut mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion
$h(t)=0,010\cdot e^{-0,003\cdot t} \cdot(1-e^{-0,07\cdot t})$ beschrieben.
Dabei ist $h(t)$ die Koffeinkonzentration in $\dfrac{\text {mg}}{\text {ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs vergangen ist. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$ .

Diagramm mit einer abfallenden Kurve, die die Beziehung zwischen den Variablen y und t darstellt.

Abb. 2

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1.3.1

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die höchste Koffeinkonzentration erreicht wird, und gib diese Konzentration an.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Koffeinkonzentration am stärksten abnimmt.

(4 BE)

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1.3.2

Untersuche, zu welchem Zeitpunkt die Änderungsrate der Koffeinkonzentration maximal ist, und gib das Maximum an.

(4 BE)

$\,$

1.3.3

Bestimme mithilfe einer Rechnung die Zeiträume ab dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs, in denen die Koffeinkonzentration höchstens $0,007 \dfrac{ \text {mg}}{\text {ml}}$ beträgt.

(3 BE)

$\,$

1.3.4

Berechne denjenigen Wert von $a \in \mathbb{R}^+$ , für den der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$ -Achse und der Gerade mit der Gleichung $\text {t=a}$ einschließt, $0,7$ beträgt.

Beurteile folgende Aussage:
Der Inhalt der betrachteten Fläche entspricht der Koffeinmenge, die im zugehörigen Zeitraum insgesamt ins Blut aufgenommen wird.

(X BE)

1.1

$\blacktriangleright$ Zeitdauer angeben

Nach den ersten $240$ Minuten nach Beginn des Abbauvorgangs hat sich die Konzentration bereits um die Hälfte, also um $50\,\%$ reduziert.
Es verbleiben $50\,\%.$ Diese halbieren sich in den nächsten $240$ Minuten wiederum, sodass dann noch $25\,\%$ der Anfangskonzentration übrig sind.

Innerhalb von $480\,\text{min}$ nimmt die Koffeinkonzentration um $75\,\%$ ab.

1.2.1

$g‘(t)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Es gilt also $g‘(t) = -b\cdot (k-g(t)).$ $g‘(t)$ ist daher proportional zur Differenz von $k$ und $g(t).$

1.2.2

Wird Koffein ins Blut aufgenommen, so steigt die Koffeinkonzentration. Die Funktion $g(t)$ muss also steigen. Dies ist aufgrund des Funktionsterms $k\cdot \left(1-\mathrm e^{b\cdot t}\right)$ wegen $k\in \mathbb{R}^+$ nur der Fall, wenn $b\lt 0$ ist.

1.2.3

$k$ beschreibt den Wert, dem sich die Koffeinkonzentration langfristig annähert, wenn man den Abbauvorgang nicht miteinbezieht.

Laut Aufgabenstellung soll man von einer konstanten Blutmenge von $5\,l$ ausgehen. Es werden insgesamt $100\,\text{mg}$ Koffein ins Blut aufgenommen:

$\dfrac{100\,\text{mg}}{5000\,\text{m}l} = 0,02\, \frac{\text{mg}}{\text{m}l}$

Also ist $k= 0,02.$

1.2.4

Grund angeben

Unter den Differenzen können positive und negative Differenzen vorkommen, die sich dann bei der Summe gegenseitig aufheben können. In dem Fall wäre die Summe der Differenzen fälschlicherweise kleiner, obwohl die Werte eigentlich stärker voneinander abweichen, wodurch das Ergebnis verfälscht wird. Um dies zu vermeiden, sollte man die Beträge der Differenzen oder die Quadrate der Differenzen verwenden. So erhält man durch die Summe ein aussagekräftigeres Ergebnis.

Wert von b

Die Funktion $q$ mit folgender Funktionsgleichung gibt die Summe der quadrierten Differenzen von oben in Abhängigkeit von $b$ an:

$q(b)= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Gesucht ist eine lokale Extremstelle von $q.$ Hierfür gilt das notwendige Kriterium $q‘(b)=0.$ Mit dem Ableitungs- und dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} q‘(b) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] b &\approx& −0,0670 \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:

$q‘‘( −0,0670) \approx 0,041 \gt 0$

Bei $b\approx −0,0670$ handelt es sich also um eine lokale Minimalstelle. Weitere Extremstellen existieren nicht, weshalb es sich dabei also auch um die globale Minimalstelle handelt. Für $b\approx −0,0670$ beschreibt die Funktion $g$ die angegebenen Messwerte möglichst gut.

1.3.1

Höchste Koffeinkonzentration

Definiere die erste Ableitungsfunktion $h‘$ von $h$ in deinem CAS.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Für eine Extremstelle von $h$ lautet die notwendige Bedingung $h‘(t)=0.$ Mit dem solve-Befehl des CAS erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(t) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t &\approx& 45,5978 \end{array}$

Da $h‘‘(45,5978)\approx - 0,000002 \lt 0$ gilt, besitzt $h$ an der Stelle $45,5978$ ein lokales Maximum.

Es müssen noch Randextrema ausgeschlossen werden:

$h(0)= 0$ und für $t\to \infty$ gilt $h(t) \to 0.$

$h(45,5978) \approx 0,008363$

An der Stelle $t\approx45,5978$ nimmt $h$ also auch das globale Maximum an. Ca. $46$ Minuten nach Einsetzen des Aufnahmevorgangs ist die Koffeinkonzentration also mit ca. $0,0084\,\frac{\text{mg}}{\text{m}l}$ am höchsten.

Stärkste Abnahme

Gesucht ist nun eine Minimalstelle von $h‘.$ Mit dem notwendigen Kriterium $h‘‘(t)=0$ folgt mit dem CAS:

$t\approx 91,20$

Für das hinreichende Kriterium für Extremstellen von $h‘$ folgt:

$h‘‘‘(91,20)\gt 0$

In der $92.$ Minute nimmt die Koffeinkonzentration also am stärksten ab.

1.3.2

Gesucht ist eine Maximalstelle von $h‘.$

Mit der notwendigen Bedingung für eine lokale Extremstelle von $h‘$ ergab sich im vorherhigen Aufgabenteil nur eine mögliche Extremstelle. Bei dieser handelt es sich um eine Minimalstelle.
Untersuchung auf Randextrema:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(0)&\approx& 0,0007 \\[5pt] h‘(t) &\to & 0 \text{ für } t\to\infty \end{array}$

Da $t\approx 91,1956$ die einzige mögliche lokale Extremstelle von $h‘$ ist und dort eine negative Änderungsrate vorliegt, ist $t=0$ die globale Maximalstelle. Zum Zeitpunkt des Beginns des Aufnahmevorgangs ist die momentange Änderungsrate der Koffeinkonzentration maximal. Die maximale momentane Änderungsrate beträgt ca. $0,0007\,\dfrac{\text{mg}}{\text{m}l\cdot\text{min}}.$

1.3.3

$\begin{array}[t]{rll} h(t) &=& 0,007 \\[5pt] t_1 &\approx& 19,3446 \\[5pt] t_2&\approx& 118,8102 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem Graphen aus a2) ergibt sich:

In ungefähr den ersten $19$ Minuten nach Einsetzen des Aufnahmevorgangs und ab ungefähr $119$ Minuten nach Einsetzen des Aufnahmevorgangs beträgt die Koffeinkonzentration höchstens $0,007\,\dfrac{\text{mg}}{\text{m}l}.$

1.3.4

Wert berechnen

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$a \approx 96,3653$

Vollständige Lösung anzeigen

Aussage beurteilen

Eine Flächeneinheit entspricht im Sachzusammenhang $1\,\frac{\text{mg}}{\text{m}l}\cdot 1\,\text{min} = 1\,\frac{\text{mg}}{\text{m}l}\cdot\text{min}.$ Dies gibt keine Einheit, die eine Koffeinmenge angibt. Die Aussage ist daher falsch.