Wahlteil B2

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4,50\,\text{m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.
In einem kartesichen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z\in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2\mid -3\mid z),$ $B,$ $C$ und $D(-3\mid -2\mid z)$ sowie $E(2\mid -3\mid 4),$ $F(3\mid 2\mid 4),$ $G(-2\mid 3\mid 4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Daches durch den Punkt $S(0\mid 0\mid 5).$ Dabei beschreibt die $x$ - $y$ -Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$ in der Wirklichkeit.

Geometrische Darstellung eines Körpers mit verschiedenen Punkten und Linien.

Abb. 1

2.1

Gib an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.

(1 BE)

2.2

Gib die Koordinaten des Punktes $H$ an.
Weise nach, dass das Viereck $EFGH$ ein Quadrat ist.

(5 BE)

2.3

Begründe, dass die Pyramide $EFGHS$ symmetrisch zur $z$ -Achse ist.

(3 BE)

2.4

Die Punkte $E,$ $F$ und $S$ liegen in einer Ebene $L.$
Bestimme eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(3 BE)

2.5

An der Spitze des Daches ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt im Modell durch einen Punkt $T$ dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ beschreiben. Der Schatten der Stange liegt vollständig auf der Dachfläche, die durch das Dreieck $EFS$ beschrieben wird.
Beschreibe, wie man die Lage dieses Schattens berechnen kann, wenn die Koordinaten von $T$ und $\overrightarrow{v}$ bekannt sind.

(4 BE)

2.6

Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von $2,10\,\text{m}$ verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von $3,50\,\text{m}$ über dem Untergrund an einem der vertikal stehenden Pfosten befestigt, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte.
Bestimme das Verhältnis der Längen der beiden Abschnitte.

(4 BE)

2.7

Um die Nutzung des Spielplatzes mit dem Turm auch für die Zukunft zu belegen, soll festgestellt werden, wie viele Kinder den Spielplatz zukünftig nutzen werden.
Die Tabelle zeigt prozentuale Anteile von Haushalten unterschiedlicher Größe an der Gesamtzahl der Haushalte im Jahr 2013 in Deutschland, die für diese Untersuchung zugrunde gelegt werden.

1-Personen-Haushalte	$40,5\,\%$
2-Personen-Haushalte	$34,5\,\%$
3-Personen-Haushalte	$12,5\,\%$
4-Personen-Haushalte	$9,2\,\%$
Haushalte mit mindestens 5 Personen	$3,3\,\%$

2.7.1

Ermittle, wie viele Haushalte man im Jahr 2013 mindestens hätte zufällig auswählen müssen, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mehr als zwanzig 2-Personen-Haushalte sind.

(4 BE)

2.7.2

Im Jahr 2014 wurde vermutet, dass der tatsächliche Anteil der 1-Personen-Haushalte größer als im Jahr 2013 ist. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob diese Vermutung zutrifft, sollte auf der Grundlage einer Stichprobe von $500$ Haushalten und einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ ein Test durchgeführt werden. Dabei sollte möglichst vermieden werden, irrtümlich davon auszugehen, dass die Vermutung zutrifft.
Gib die passende Nullhypothese an und bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(6 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

2.1

$\blacktriangleright$ Tiefe der Pfosten angeben

Die Pfosten stehen vertikal und der Untergrund wird durch die $x$ - $y$ -Ebene beschrieben. Die drei oberen Pfosteneckpunkte $E,$ $F$ und $G$ besitzen die $z$ -Koordinate $4$ . Diese beschreibt die Höhe des Pfostens über dem Untergrund. Die jeweiligen Pfosten ragen also vier Meter aus dem Untergrund heraus. Insgesamt sind die Pfosten $4,50\,\text{m}$ lang. Also reichen die Pfosten $0,50\,\text{m}$ in den Untergrund hinein.

2.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{H}$ angeben

Da die Posten vertikal stehen und der Punkt $H$ der zweite Endpunkt des Pfostens mit dem Endpunkt $D$ ist, muss $H$ die gleiche $x$ - und $y$ -Koordinate haben wie der Punkt $D.$ Da das Ende des Pfostens, das dem Punkt $H$ entspricht durch einen horizontalen Balken mit dem Ende des Pfostens verbunden ist, das durch den Punkt $G$ beschrieben wird, muss $H$ die gleiche $z$ -Koordinate haben wie $G.$

Der Punkt $H$ hat also die Koordinaten $H(-3\mid -2\mid 4).$

$\blacktriangleright$ Quadrat nachweisen

Die Seitenlängen des Vierecks $EFGH$ können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden. Der norm-Befehl des CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{EF}\right|&=& \left| \pmatrix{1\\5\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{26} \\[10pt] \left|\overrightarrow{FG}\right|&=& \left|\pmatrix{-5\\1\\0} \right| \\[5pt] &=&\sqrt{26}\\[10pt] \left|\overrightarrow{GH}\right|&=& \left|\pmatrix{-1\\-5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{26} \\[10pt] \left|\overrightarrow{HE}\right|&=& \left| \pmatrix{5\\-1\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{26} \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Berechnungen zur Norm von Vektoren in einer Softwareanwendung.

Abb. 1: Berechnung mit dem CAS

Alle vier Seiten sind also gleich lang. Um auszuschließen, dass es sich nicht um eine Raute handelt, muss die Rechtwinkligkeit überprüft werden. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{FG}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{FG}\circ \overrightarrow{GH}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{GH}\circ \overrightarrow{HE}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{HE}\circ \overrightarrow{EF}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Alle vier Seiten sind gleich lang und je zwei benachbarte Seiten liegen senkrecht zueinander. Da alle vier Punkte dieselbe $z$ -Koordinate haben und damit in einer Ebene liegen, ist das Viereck $EFGH$ ein Quadrat.

2.3

$\blacktriangleright$ Symmetrie begründen

Die Pyramide $EFGHS$ ist laut Aufgabenstellung gerade. Die Spitze $S$ besitzt die Koordinaten $S(0\mid 0\mid 5)$ und liegt somit auf der $z$ -Achse. Da alle Eckpunkte der Grundfläche dieselben $z$ -Koordinaten besitzen, liegt die Grundfläche parallel zur $x$ - $y$ -Ebene. Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt daher wie $S$ ebenfalls auf der $z$ -Achse. Die Höhe der Pyramide liegt also auf der $z$ -Achse. Da es sich bei der Grundfläche um ein Quadrat handelt, ist die Pyramide daher symmetrisch zur $z$ -Achse.

2.4

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung bestimmen

Ein Normalenvektor der Ebene $L$ lässt sich mithilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte berechnen. Mit dem crossP-Befehl des CAS ergibt sich beispielsweise:

$\overrightarrow{n}= \pmatrix{5\\-1\\13}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Berechnung mit Vektoren und Kreuzprodukt in einer Software-Oberfläche.

Abb. 2: Berechnung mit dem CAS

Eine mögliche Ebenengleichung hat also folgende Form:

$L:\, 5x-y+13z =d$

Mit einer Punktprobe kann $d$ bestimmt werden:

$65=d$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist beispielsweise:

$L:\, 5x-y+13z =65$

2.5

$\blacktriangleright$ Vorgehensweise beschreiben

Die Endpunkte der Stange können durch $S$ und $T$ beschrieben werden. Da der Schatten der Stange vollständig auf der Dachfläche liegt, die durch das Dreieck $EFS$ beschrieben wird, kann einer der Endpunkte des Schattens ebenfalls durch $S$ beschrieben werden. Der zweite Endpunkt des Schattens kann durch den Punkt $T‘$ beschrieben werden. Dieser ist der Schnittpunkt der Gerade $g,$ die entlang des Sonnenstrahlenvektors $\overrightarrow{v}$ durch den Punkt $T$ verläuft mit dem Dreieck $EFS,$ also mit der Ebene $L,$ da bereits angegeben ist, dass der Schatten vollständig innerhalb der Dachfläche und damit auch der Punkt $T‘$ innerhalb des Dreiecks liegt.
Man kann also wie folgt vorgehen:

Aufstellen einer Gleichung der Geraden $g,$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ und dem Stützpunkt $T$
Berechnen der Koordinaten des Schnittpunkts $T‘$ von $g$ mit der Ebene $L$ durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts von $g$ in die Ebenengleichung und Einsetzen dieser Lösung in die Geradengleichung.
Berechnen der Schattenlänge über den Abstand der beiden Punkte $S$ und $T‘,$ die die Endpunkte des Schattens darstellen

2.6

$\blacktriangleright$ Verhältnis der Längen bestimmen

Der gesamte horizontale Balken ist $\sqrt{26}\,\text{m}$ lang. Dies wurde bereits in Aufgabenteil 2.2 berechnet. Der zusätzliche Balken ist $2,10\,\text{m}$ lang und wird am vertikalen Balken in einer Höhe von $3,50\,\text{m}$ über dem Untergrund angebracht. Da sich der horizontale Balken vier Meter über dem Untergrund befindet, bilden die drei Balken also ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Hypotenuse $2,10\,\text{m}$ und eine der beiden Katheten $0,50\,\text{m}$ lang ist.
Die Länge $x$ der zweiten Kathete kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

Schematische Darstellung eines geometrischen Körpers mit Maßen und Beschriftungen.

Abb. 3: Skizze (nicht maßstäblich)

$\frac{2}{5}\sqrt{26}\,\text{m}= x$

Vollständige Lösung anzeigen

Einer der beiden Abschnitte ist also $\frac{2}{5}\sqrt{26}\,\text{m}$ lang, der zweite demnach

$\frac{3}{5}\sqrt{26}\,\text{m}.$

Vollständige Lösung anzeigen

Der zusätzliche Balken teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte deren Längen zueinander im Verhältnis zwei zu drei stehen.

2.7.1

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Haushalte berechnen

Betrachtet wird die Zufallsvariable $X_n,$ die die zufällige Anzahl der 2-Personen-Haushalte in einer Stichprobe von $n$ zufällig ausgewählten Haushalten beschreibt.
$34,5\,\%$ aller Haushalte in Deutschland waren im Jahr 2013 2-Personen-Haushalte. Diese Zahl kann näherungsweise als Wahrscheinlichkeit für einen zufällig ausgewählten Haushalt betrachtet werden, dass es sich dabei um einen 2-Personen-Haushalt handelt. Diese Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Haushalt unabhängig von den übrigen Haushalten gleich. $X_n$ kann daher als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,345$ angenommen werden.
Gesucht ist das kleinste $n,$ sodass $P(X_n \gt 20) \geq 0,95$ ist. Dies kann wie folgt umgeformt werden:

$P(X_n\leq 20)\leq 0,05$

Vollständige Lösung anzeigen

Durch Ausprobieren mit dem binomialCDf-Befehl des CAS erhält man für verschiedene Werte von $n$ folgende Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{array}[t]{rll} n=100:\quad ... \\[5pt] n=50:\quad ... \\[5pt] n=70:\quad ... \\[5pt] n=80:\quad ... \\[5pt] n=79:\quad ... \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Tabelle mit Berechnungen der binomialen kumulierten Verteilungsfunktion in einer Softwareanwendung.

Abb. 4: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf

Es hätten also mindestens $80$ Haushalte zufällig ausgewählt werden müssen damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mehr als zwanzig 2-Personen-Haushalte sind.

2.7.2

$\blacktriangleright$ Nullhypothese angeben

Betrachtet wird die Zufallsvariable $Y,$ die die zufällige Anzahl von 1-Personen-Haushalten unter $500$ zufällig ausgewählten Haushalten im Jahr 2014 beschreibt. Diese kann wie $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden mit $n=500$ und unbekanntem $p$ .

Bei der Untersuchung soll möglichst vermieden werden die Vermutung, $p \gt 0,405$ irrtümlich zu bestätigen. Durch das Signifikanzniveau kann die Wahrscheinlichkeit dafür eingeschränkt werden die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Über die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise zu bestätigen kann keine genaue Einschätzung getroffen werden.
Die Vermutung sollte also die Gegenhypothese darstellen. Es wird nur dann davon ausgegangen, dass die Vermutung zutrifft, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird. Also wird die Vermutung nur dann irrtümlich bestätigt, wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird, also mit einer maximalen Wahrscheinlichkeit von $5\,\%.$

Die Nullhypothese lautet daher, dass $Y$ wie angegeben binomialverteilt ist mit:
$H_0:\quad p \leq 0,405$

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel bestimmen

Die oben angegebene Nullhypothese wird abgelehnt, wenn in der Stichprobe der $500$ Haushalte signifikant mehr 1-Personen-Haushalte sind als zu erwarten wären. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies geschieht obwohl die Nullhypothese eigentlich gilt, soll höchstens $5\,\%$ betragen. Geht man also davon aus, dass $Y$ gemäß der Nullhypothese verteilt ist, ist $p = 0,405.$ Die Grenze für die Anzahl der 1-Personen-Haushalte bis zu der die Nullhypothese noch angenommen wird ist dann das kleinste $k,$ sodass gerade noch $P(X \gt k) \leq 0,05$ gilt.
Mit dem Gegenereignis und dem Befehl für die inverse Binomialverteilung des CAS ergibt sich:

$k\geq 221$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Bildschirmfoto einer Software mit Berechnungen zur Binomialverteilung.

Abb. 5: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Umkehrfkt. $\to$ invBinomialCDf

Werden höchstens $221$ 1-Personen-Haushalte in der Stichprobe gefunden, kann nicht davon ausgegangen werden, dass der Anteil der 1-Personen-Haushalte gestiegen ist. Werden umgekehrt mehr als $221$ 1-Personen-Haushalte in der Stichprobe aufgefunden, kann man davon ausgehen, dass die Vermutung stimmt, also sich der Anteil der 1-Personen-Haushalte erhöht hat.

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[5]