Wahlteil B2

Die Abbildung zeigt ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem $(1\,\text{Längeneinheit}$ entspricht $1\,\text{Meter})$ beschreibt die $xy$ -Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht.
Das Modell des Obelisken besteht aus zwei Teilkörpern.
Der untere Teilkörper $ABCDEFGH$ mit $B\left(0,45\mid 0,45\mid 0\right)$ ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Der Mittelpunkt des Quadrats $ABCD$ ist der Koordinatenursprung. Das Quadrat $EFGH$ ist parallel zur $xy$ -Ebene.
Der obere Teilkörper $EFGH$ mit $E(0,35\mid -0,35\mid 7,16)$ ist eine gerade Pyramide. Der Punkt $S$ liegt auf der $z$ -Achse und stellt die Spitze des Obelisken dar.

Abb. 1: nicht maßstabsgetreu

2.1

Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $AE$ mit der $z$ -Achse.

(3 BE)

2.2

Berechne die Größe der Neigungswinkel der Seitenkanten des unteren Teilkörpers gegenüber dem Untergrund.

(2 BE)

2.3

Bestimme den Flächeninhalt einer der Seitenflächen des unteren Teilkörpers.

(4 BE)

2.4

Entscheide für jede der folgenden Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ ob sie eine Symmetrieebene des Obelisken beschreibt.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x&=& 0,45 \\[10pt] \text{II}\quad&y&=& 0 \\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad&x-y&=& 0 \\[10pt] \text{IV}\quad&x-z&=& 0 \\[10pt] \end{array}$

Begründe für eine der Gleichungen $\text{I}$ bis $\text{IV},$ dass sie keine derartige Ebene beschreibt.

(4 BE)

2.5

Auf den Obelisken treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\1\\-2}$ dargestellt werden.

2.5.1

Begründe, dass der Schatten der Spitze des Obelisken nur dann auf dem Untergrund liegt, wenn der obere Teilkörper des Obelisken ausreichend hoch ist.

(2 BE)

2.5.2

Der Abstand des auf dem Untergrund liegenden Schattens der Spitze des Obelisken von dem Punkt, der im Modell durch $B$ dargestellt wird, beträgt $5,1$ Meter.
Ermittle die Höhe des Obelisken.

(5 BE)

In der Nähe des Obelisken befindet sich ein Café.

2.6

Wird den Tageseinnahmen eines Cafés ein Geldschein zufällig entnommen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser nicht mehr umlauffähig ist, $2\,\%.$

2.6.1

Unter den Tageseinnahmen des Cafés befinden sich insgesamt $200$ Geldscheine.
Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter

ausschließlich umlauffähige Geldscheine sind.
höchstens zwei Geldscheine sind, die nicht mehr umlauffähig sind.

(3 BE)

2.6.2

Bestimme die Anzahl der Geldscheine, die mindestens zu den Tageseinnahmen des Cafés gehören müssen, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ mindestens vier nicht mehr umlauffähige Scheine sind.

(4 BE)

2.7

In einem Behälter befinden sich insgesamt $380$ Geldscheine. Deren Verteilung kann der folgenden Tabelle entnommen werden:

$x$	$y$
$5\,€$	$44$
$10\,€$	$60$
$20\,€$	$72$
$50\,€$	$204$

Sechs dieser Geldscheine sind nicht mehr umlauffähig, darunter zwei mit einem Wert von jeweils $50\,€.$ Aus dem Behälter wird ein Geldschein zufällig entnommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Schein einen Wert unter $50\,€$ hat und umlauffähig ist.

(3 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

2.1

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{A}$ bestimmen

Da der Koordinatenursprung der Mittelpunkt des Quadrats $ABCD$ ist und der Punkt $B$ die Koordinaten $B(0,45\mid 0,45\mid 0)$ hat, entsteht der Punkt $A$ durch Spiegelung von Punkt $B$ an der $x$ -Achse. Es folgt also:

$A(0,45\mid -0,45\mid 0)$

2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Mithilfe der Koordinaten von $A$ und $E$ kann die Gerade $AE$ durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$AE:\, \overrightarrow{x}=...$

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mit $r\in \mathbb{R}.$

3. Schritt: Schnittpunkt bestimmen

Die Punkte auf der $z$ -Achse haben die Koordinaten $(0\mid0\mid z).$ Einsetzen in die obige Gleichung der Geraden $AE$ liefert:

$\pmatrix{0\\0\\z} = ...$

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Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 0,45 -0,1r \\ \text{II}\quad&0&=& -0,45 + 0,1r \\ \text{III}\quad&z&=& 7,16r \\ \end{array}$

Aus der ersten Gleichung folgt:

$r = 4,5$

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Für die zweite Gleichung folgt:

$r = 4,5$

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Beide Lösungen stimmen also überein. Einsetzen in die dritte Gleichung liefert:

$z = 32,22$

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Die Gerade $AE$ schneidet die $z$ -Achse also im Punkt $SP(0\mid0\mid 32,22).$

2.2

$\blacktriangleright$ Größe der Neigungswinkel berechnen

Da der untere Teilkörper der Stumpf einer geraden Pyramide ist und der Untergrund in der $xy$ -Ebene liegt, sind alle vier Seitenkanten des unteren Teilkörpers im gleichen Winkel zum Untergrund geneigt.
Der Neigungswinkel einer Seitenkante gegenüber der $xy$ -Ebene entspricht beispielsweise dem Schnittwinkel der Geraden durch die Punkte $A$ und $E$ mit der $xy$ -Ebene.
Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1},$ ein Richtungsvektor der Geraden ist $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{AE} = \pmatrix{-0,1\\0,1\\7,16}.$

Mit der Formel für den Schnittwinkel $\phi$ einer Ebene und einer Geraden ergibt sich dann:

$\phi \approx 89^{\circ}$

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Die Neigungswinkel der Seitenkanten des unteren Teilkörpers gegenüber dem Untergrund sind ca. $89^{\circ}$ groß.

2.3

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Da das Quadrat $EFGH$ laut Aufgabenstellung parallel zur $xy$ -Ebene liegt und der untere Teilkörper ein gerader Pyramidenstumpf ist, handelt es sich bei allen Seitenflächen um gleichschenklige Trapeze. Betrachte beispielsweise die Seitenfläche $ABFE.$

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{F}$ bestimmen

Du kannst hier analog vorgehen wie in der ersten Teilaufgabe zur Bestimmung der Koordinaten von $A.$ Mithilfe der Koordinaten von $E$ und der Quadrateigenschaften von $EFGH$ ergibt sich:

$F(0,35\mid 0,35\mid 7,16).$

2. Schritt: Längen der parallelen Seiten des Trapezes berechnen

Die beiden Trapezseiten $\overline{AB}$ und $\overline{EF}$ sind parallel. Mithilfe des Vektorbetrags ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& \left|\overrightarrow{AB} \right| \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0\\0,9\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0,9^2+0^2}\\[5pt] &=& 0,9 \\[10pt] c&=& \left|\overrightarrow{EF} \right| \\[5pt] &=&\left|\pmatrix{0\\0,7\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0,7^2+0^2}\\[5pt] &=& 0,7 \\[10pt] \end{array}$

3. Schritt: Höhe des Trapezes berechnen

Da das Trapez gleichschenklig ist, kannst die Höhe mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Dazu benötigst du allerdings noch die Länge der Seite $\overline{AE}:$

$\left|\overrightarrow{AE} \right| = \sqrt{51,2856}$

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Abb. 1: Skizze

Mithilfe der Skizze und dem Satz des Pythagoras ergibt sich dann:

$h\approx 7,16$

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4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$A\approx 5,73\,\text{m}^2$

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Der Flächeninhalt einer Seitenfläche beträgt ca. $5,73\,\text{m}^2.$

2.4

$\blacktriangleright$ Symmetrieebenen untersuchen

$\text{I:}\quad x=0,45$

Der Obelisk ist nicht symmetrisch zu dieser Ebene, da sie den Obelisken nicht schneidet, sondern lediglich an der Kante $[AB]$ berührt. Diese Ebene teilt den Obelisken also nicht in zwei Teilkörper, sodass er auch nicht symmetrisch zu ihr sein kann.

$\text{II:} \quad y = 0$

Diese Gleichung beschreibt die $xz$ -Ebene und damit eine Ebene, zu der der Obelisk symmetrisch ist.

$\text{III:}\quad x-y = 0$

Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die den Obelisken entlang der Diagonalen $[DB]$ und $[HF]$ schneidet. Sie beschreibt eine Ebene, zu der der Obelisk symmetrisch ist.

$\text{IV:}\quad x-z =0$

Diese Gleichung beschreibt keine Ebene, zu der der Obelisk symmetrisch ist.

2.5.1

$\blacktriangleright$ Bedingung begründen

Der Schatten der Spitze trifft nur dann auf den Untergrund, wenn der Winkel, zwischen der durch $\overline{FS}$ dargestellte Seitenkante und der $z$ -Achse kleiner ist, als der Winkel, den der Richtungsvektor der Sonnenstrahlen mit der $z$ -Achse einschließt. Je höher die Spitze $S$ liegt, desto kleiner wird der dieser Winkel. Sie muss also in einer ausreichenden Höhe liegen, damit ihr Schatten auf dem Untergrund liegt.

2.5.2

$\blacktriangleright$ Höhe des Obelisken ermitteln

Der Punkt $S$ hat die Koordinaten $S(0\mid0\mid t)$ mit $t\gt 7,16.$
Der zugehörige Schattenpunkt $S‘$ muss drei Bedingungen erfüllen:

Er liegt in der $xy$ -Ebene, es ist also $z_{S‘} = 0.$
Er liegt auf der Geraden durch $S$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}:$

$\overrightarrow{OS‘}= \pmatrix{s\\s\\t-2s}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS‘}&=&\overrightarrow{OS} + s\cdot \overrightarrow{v} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\t} + s\cdot \pmatrix{1\\1\\-2}\\[5pt] &=& \pmatrix{s\\s\\t-2s} \end{array}$
$S‘$ liegt $5,1\,\text{m}$ von $B$ entfernt: $\left|\overrightarrow{BS‘}\right|= 5,1$

Aus den ersten beiden Bedingungen ergibt sich:

$0= t-2s$ also $s=0,5t$

Dies kannst du nun in die dritte Bedingung einsetzen und diese mit dem solve-Befehl deines CAS lösen. Für den Vektorbetrag kannst du den norm-Befehl verwenden.

$t\approx 8,11$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Obelisk ist ca. $8,11\,\text{m}$ hoch.

2.6.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der nicht mehr umlauffähigen Geldscheine unter den $200$ Geldscheinen der Tageseinnahmen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,02$ angenommen werden, da die Wahrscheinlichkeit dafür nicht mehr umlauffähig zu sein für jeden Geldschein $2\,\%$ unabhängig von den übrigen Geldscheinen beträgt, da sich sehr viele Geldscheine im Umlauf befinden. Zudem werden nur zwei mögliche Ausgänge betrachtet: Entweder ein Geldschein ist noch umlauffähig oder er ist nicht mehr umlauffähig.

Mithilfe des BinomPdf- und BinomCdf-Befehls deines CAS ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ D: Binomial Pdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial PDf

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&\approx& 0,0176 \\[5pt] P(X\leq 2)&\approx& 0,2351 \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $1,76\,\%$ befinden sich unter den Tageseinnahmen nur umlauffähige Geldscheine bzw. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $23,51\,\%$ befinden sich unter den Tageseinnahmen hächstens zwei nicht mehr umlauffähige Geldscheine.

2.6.2

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Geldscheine in den Tageseinnahmen bestimmen

Betrachte nun die Zufallsgröße $X_n,$ die die Anzahl der nicht mehr umlauffähigen Geldscheine in den Tageseinnahmen mit $n$ Geldscheinen beschreibt. Die kann aus den gleichen Gründe wie $X$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,02$ angenommen werden.
Gesucht ist nun das kleinste ganzzahlige $n,$ sodass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P(X_n \geq 4) \gt 0,9$

Durch systematisches Probieren erhältst du mit deinem CAS folgende Werte:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_{300}\geq 4)\approx& 0,8515 \\[5pt] P(X_{350}\geq 4)\approx& 0,9203 \\[5pt] P(X_{330}\geq 4)\approx& 0,8972 \\[5pt] P(X_{335}\geq 4)\approx& 0,9035 \\[5pt] P(X_{333}\geq 4)\approx& 0,9010 \\[5pt] P(X_{332}\geq 4)\approx& 0,8998 \\[5pt] \end{array}$

Es müssen mindestens $333$ Geldscheine in den Tageseinnahmen sein, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,%$ mindestens vier nicht mehr umlauffähige Geldscheine befinden.

2.7

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Unter den insgesamt $380$ Geldscheinen befinden sich $380-204 = 176$ Geldscheine mit einem Wert unter $50\,€.$
Unter den $380$ Geldscheinen befinden sich insgesamt sechs, die nicht mehr umlauffähig sind. Davon haben zwei einen Wert von $50\,€$ und damit vier einen Wert unter $50\,€.$

Insgesamt sind von den $380$ Geldscheinen also $176-4 = 172$ umlauffähig und haben einen Wert unter $50\,€.$

$\dfrac{172}{380} \approx 0,4526$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $45,26\,\%$ hat der gezogene Geldschein einen Wert unter $50\,€$ und ist noch umlauffähig.

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[1]