Wahlteil B1

Die Abbildung zeigt Längsschnitte von fünf Gläsern einer Glas-Serie; Füße und Stiele der Gläser sind nicht abgebildet. Die Gläser sind rotationssymmetrisch, d.h. jeder zur Rotationsachse senkrechte Querschnitt durch ein Glas ist kreisförmig.
Im eingezeichneten Koordinatensystem werden die Rotationsachsen der Gläser durch die $y$ -Achse dargestellt; eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{cm}$ in der Wirklichkeit.
Die Formen der Gläser sind so gewählt, dass jeder der fünf Längsschnitte modellhaft mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$f_k$ mit $f_k(x)= -\dfrac{3}{512}k\cdot x^4+\dfrac{3}{32}k^2\cdot x^2$ und $k\in\mathbb{R}^+$

beschrieben werden kann. Dabei gehört die Funktion $f_2$ zum Likörglas der Serie, die Funktion $f_3$ zum Cocktailglas. Das Sektglas hat ein Höhe von $12\,\text{cm},$ sein Rand einen Durchmesser von $6\,\text{cm}.$ Die Materialstärke der Gläser soll vernachlässigt werden.

Graph eines Parabels mit mehreren Kurven und einem Koordinatensystem.

Abb. 1

1.1

Ordne dem Likörglas und dem Cocktailglas jeweils den zugehörigen Graphen aus der Abbildung zu.

(2 BE)

1.2

Bestimme für das Sektglas den zugehörigen Wert von $k.$

(2 BE)

1.3

Begründe, dass für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ der Graph von $f_k$ symmetrisch zur $y$ -Achse ist.

(2 BE)

1.4

Bestimme Lage und Art der Extremstellen von $f_k.$

(5 BE)

1.5

Weise für die Schar der Graphen von $f_k$ nach, dass alle Extrempunkte mit positiver $x$ -Koordinate auf dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $y = \dfrac{3}{4.096}x^6$ liegen.

(3 BE)

1.6

Betrachtet wird nun das Cocktailglas, dessen Längsschnitt für $-2\sqrt{6} \leq x\leq 2\sqrt{6}$ durch $f_3$ beschrieben wird.

1.6.1

Um das Glas verläuft $2\,\text{cm}$ unterhalb des Randes eine eingeschliffene Linie.
Berechne deren Länge.

(5 BE)

1.6.2

Im Glas steht ein $20\,\text{cm}$ langer Strohhalm, dessen Durchmesser vernachlässigt werden soll. Der Strohhalm hat mit seinem unteren Endpunkt Kontakt zum Glas. Der untere Endpunkt des Strohhalms wird im Modell durch $P(-1\mid f_3(-1))$ dargestellt, der Punkt, in dem er das Glas berührt, durch $Q(u\mid f_3(u))$ mit $u\gt 0.$
Bestimme den Wert von $u.$

(4 BE)

1.7

Der Längsschnitt des Likörglases soll für $0\leq x \leq 4$ mithilfe zweier in $\mathbb{R}$ definierter quadratischer Funktionen $p_1$ und $p_2$ beschrieben werden, die folgende Eigenschaften besitzen:

Die Scheitelpunkte der Graphen von $p_1$ und $p_2$ sollen im Tiefpunkt bzw. im Hochpunkt des Graphen von $f_2$ liegen.
Die Graphen von $p_1$ und $p_2$ sollen ohne Knick ineinander übergehen. Der Punkt, in dem die beiden Graphen ineinander übergehen, hat die gleiche $x$ -Koordinate wie der Wendepunkt des Graphen von $f_2.$

Bestimme die Funktionsgleichungen von $p_1$ und $p_2.$

(7 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1.1

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Es ist angegeben, dass der Kelch des Likörglases durch ein Stück des Graphen von $f_2$ und der des Cocktailglases durch ein Stück des Graphen von $f_3$ modelliert werden kann.

Mit dem CAS ergeben sich folgende Funktionswerte:

$\begin{array}[t]{rll} f_2(4)&=& 3\\[5pt] f_3(4)&=& 9 \end{array}$

Mathematische Funktionen f2 und f3 werden definiert und ausgewertet. Ausgabe der Werte für f2(4) und f3(4).

Abb. 1: Berechnen der Funktionswerte

Da der Punkt $(4\mid 3)$ auf dem Graphenstück $\text{V}$ liegt, nicht aber auf den anderen, gehört dieses Graphenstück zur Funktion $f_2$ und damit zum Likörglas.
Da der Punkt $(4\mid 9)$ auf dem Graphenstück $\text{II}$ liegt, nicht aber auf den anderen, gehört dieses Graphenstück zur Funktion $f_3$ und damit zum Cocktailglas.

1.2

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Es ist angegeben, dass das Sektglas $12\,\text{cm}$ hoch ist und sein Rand einen Durchmesser von $6\,\text{cm}$ hat. Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Zentimeter entspricht, muss also der Punkt $(3\mid 12)$ auf dem entsprechenden Graphen von $f_k$ liegen.

Durch Einsetzen dieser Koordinaten in die Funktionsgleichung von $f_k$ ergibt sich mit dem Solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_k(3)&=& 12 \\[5pt] k&\approx& 4,1 \end{array}$

Dabei wird beachtet, dass $k\in \mathbb{R}^+,$ also $k\gt 0$ ist.

Mathematische Berechnungen in einer Software mit Funktionen und Lösungen.

Abb. 2: Gleichung lösen mit dem CAS

Für $k \approx 4,1$ beschreibt $f_k$ den Kelch des Sektglases.

1.3

$\blacktriangleright$ Achsensymmetrie begründen

Der Graph einer Funktion $f$ ist symmetrisch zur $y$ -Achse, wenn gilt $f(-x)=f(x).$

$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=& ...\\[5pt] &=& f_k(x) \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da $x$ immer in einer Potenz mit geradem Exponenten vorkommt, gilt $f_k(-x)=f_k(x)$ und damit sind alle Graphen der Funktionen $f_k$ symmetrisch zur $y$ -Achse.

1.4

$\blacktriangleright$ Lage und Art der Extremstellen bestimmen

Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f_k‘(x)=0$ ergeben sich mögliche Extremstellen von $f_k$ mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘(x)&=&0 \\[5pt] x_1&=& -2\sqrt{2k} \\[5pt] x_2&=& 0\\[5pt] x_3&=& 2\sqrt{2k}\\[5pt] \end{array}$

Es gibt drei mögliche Extremstellen.

Screenshot einer Software zur mathematischen Berechnung mit Ableitungen und Lösungen.

Abb. 3: Ableitung: Keyboard $\to$ Math2

Für das hinreichende Kriterium ergeben sich folgende Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} &f_k‘‘\left(-2\sqrt{2k}\right) \\[5pt] =& \dfrac{-3\cdot k^2}{8} \lt 0 \\[10pt] &f_k‘‘\left(0\right) \\[5pt] =& \dfrac{3\cdot k^2}{16} \gt 0 \\[10pt] &f_k‘‘\left(2\sqrt{2k}\right) \\[5pt] =&\dfrac{-3\cdot k^2}{8} \lt 0 \\[5pt] \end{array}$

Die Graphen von $f_k$ besitzen also zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt.

$\begin{array}[t]{rll} &f_k\left(-2\sqrt{2k}\right)\\[5pt] =& \dfrac{3\cdot k^3}{8} \\[10pt] &f_k\left(0\right)\\[5pt] =& 0 \\[10pt] &f_k\left(2\sqrt{2k}\right)\\[5pt] =&\dfrac{3\cdot k^3}{8} \\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f_k$ besitzt für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ zwei Hochpunkte mit den Koordinaten $H_1\left(-2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8} \right)$ und $H_2\left(2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8}\right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0).$

1.5

$\blacktriangleright$ Lage der Extrempunkte nachweisen

Die Koordinaten des Extrempunkts mit positiver $x$ -Koordinate lauten $H_2\left(2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8}\right).$
Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{3}{4.096}x^6 \\[10pt] ...\\[5pt] \dfrac{3\cdot k^3}{8}&=&\dfrac{3\cdot k^3}{8}\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gleichung ist für jedes $k\in \mathbb{R}^+$ erfüllt. Damit liegen alle Extrempunkte mit positiver $x$ -Koordinate der Graphen von $f_k$ auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y = \frac{3}{4.096}x^6.$

1.6.1

$\blacktriangleright$ Länge der Linie berechnen

Die kreisförmige Linie verläuft in vertikaler Richtung zwei Zentimeter unterhalb des Glasrandes. Der Kelch des Cocktailglases wird durch die Funktion $f_3$ im Intervall $-2\sqrt{6} \leq x\leq 2\sqrt{6}$ beschrieben.

Die Höhe des Cocktailglases wird daher durch den Funktionswert von $f_3$ am Rand, also durch $f_3(2\sqrt{6})$ beschrieben. Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} f_3\left(2\sqrt{6}\right)&=& \frac{81}{8} \\[5pt] \end{array}$

Das Glas ist also $\frac{81}{8}\,\text{cm}$ hoch. Die Linie kann daher durch ein Graphenstück der Gerade mit der Gleichung $y = \frac{65}{8}$ beschrieben werden.

Grafik einer Parabel mit Beschriftungen zu Durchmesser und oberen Rand.

Abb. 4: Skizze

Die Schnittstellen dieser Gerade mit dem Graphen von $f_3$ ergeben sich mit dem Solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_3(x)&=& \frac{65}{8}\\[5pt] x_1&=&\dfrac{-2\cdot \sqrt{30}}{3} \\[5pt] x_2&=& \dfrac{2\cdot \sqrt{30}}{3} \\[5pt] \end{array}$

Die anderen Lösungen liegen außerhalb des betrachteten Intervalls. Der Durchmesser der Kreislinie lässt sich also durch die Strecke mit den beiden Endpunkten $S_1\left(\dfrac{-2\cdot \sqrt{30}}{3} \mid\dfrac{65}{8}\right)$ und $S_2\left(\dfrac{2\cdot \sqrt{30}}{3}\mid \dfrac{65}{8} \right)$ beschreiben.

Der Radius des Kreises beträgt also $\frac{2\cdot \sqrt{30}}{3}\,\text{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot \frac{2\cdot \sqrt{30}}{3}\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 22,9\,\text{cm} \end{array}$

Die Linie ist ca. $22,9\,\text{cm}$ lang.

1.6.2

$\blacktriangleright$ Koordinate berechnen

Gesucht ist hier $u$ , sodass die Gerade durch die beiden Punkte $P\left(-1\mid f_3(-1)\right)$ und $Q\left(u\mid f_3(u)\right)$ eine Tangente an den Graphen von $f_3$ im Punkt $Q$ ist. Die Steigung $m$ der Geraden durch $P$ und $Q$ muss also die gleiche wie die des Graphen von $f_3$ im Punkt $Q$ sein.

Mithilfe des Differenzenquotienten kann die Steigung der Gerade durch $P$ und $Q$ dargestellt werden. Gleichsetzen mit $f_3‘(u)$ liefert dann:

$u = \dfrac{\sqrt{142}+1}{3}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die zweite Lösung ist nicht gültig, da dort $u \lt 0$ wäre.

Für $u= \dfrac{\sqrt{142}+1}{3}$ berührt der Strohhalm das Glas an dem Punkt, der im Modell durch $Q\left(u\mid f_3(u)\right)$ dargestellt wird, wenn sein unteres Ende durch den Punkt $P\left(-1\mid f_3(-1)\right)$ modelliert wird.

1.7

$\blacktriangleright$ Funktionsterme bestimmen

Gesucht sind die Funktionsterme zweier quadratischer Funktionen $p_1$ und $p_2$ , die eine Näherung von $f_2$ für $0\leq x\leq 4$ darstellen sollen. Dafür sollen sie folgende Bedingungen erfüllen:

Der Scheitelpunkt des Graphen der einen Funktion soll im Tiefpunkt des Graphen von $f_2$ liegen, der Scheitelpunkt der anderen im Hochpunkt.
Die Graphen sollen in einem Punkt aneinander anschließen, der die gleiche $x$ -Koordinate $x_W$ wie der Wendepunkt des Graphen von $f_2$ hat, also muss $p_1(x_W)=p_2(x_W)$ gelten.
Dieser Übergang soll knickfrei stattfinden, also sollen beide Graphen an dieser Stelle die gleiche Steigung besitzen: $p_1‘\left(x_W\right)=p_2‘\left(x_W\right)$

1. Schritt: Scheitelpunktformen aufstellen

Da die Koordinaten der Scheitelpunkte durch die Koordinaten der Extrempunkte bereits bekannt sind, kann die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zweiten Grades in der Scheitelpunktform verwendet werden um ein lineares Gleichungssystem aufzustellen:

Die Koordinaten des Tiefpunkts der Graphen von $f_k$ sind $T(0\mid 0).$ Dies muss also der Scheitelpunkt einer der Parabeln sein, also zB. von $p_1$ :

$\begin{array}[t]{rll} p_1:\; y &=& a_1\cdot (x-0)^2 +0 \\[5pt] &=&a\cdot x^2 \end{array}$

Die Koordinaten der Hochpunkte der Graphen von $f_k$ im betrachteten Intervall $(0\leq x \leq 4)$ lauten $H_2\left(2\sqrt{2k}\mid \dfrac{3\cdot k^3}{8}\right),$ für $k =2$ also:

$H_2\left(4\mid 3\right)$

$p_2:\; y = a_2\cdot \left(x-4\right)^2 +3$

2. Schritt: Wendestelle berechnen

Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen ergibt sich mithilfe des Solve-Befehls des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_2‘‘\left(x_W\right)&=& 0 \\[5pt] x_W&=& \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array}$

Die zweite Lösung liegt außerhalb des Intervalls. Für das hinreichende Kriterium ergibt sich:

$f_2‘‘‘\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{-3\sqrt{3}}{8}$

Die $x$ -Koordinate des Wendepunkts des Graphen von $f_2$ lautet also $x_W=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

Mit den obigen Bedingungen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}&p_1\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)&= p_2\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\\ \text{II}&p_1‘\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)&= p_2‘\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) \\ \end{array}$