2 Stochastik – Pflichtaufgabe

In einer Großstadt sind $60 \,\%$ aller Fahrgäste in öffentlichen Verkehrsmitteln mindestens 50 Jahre alt. Von den Fahrgästen in dieser Altersgruppe besitzen $25 \,\%$ ein Monatsticket.

Von den unter 50-jährigen Fahrgästen besitzen $18 \,\%$ ein Monatsticket.

2.1

Begründe, dass $22,2 \,\%$ aller Fahrgäste in öffentlichen Verkehrsmitteln ein Monatsticket besitzen.

(3 BE)

2.2

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

2.3

Ein zufällig ausgewählter Fahrgast besitzt ein Monatsticket.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Fahrgast unter 50 Jahre alt ist.

(2 BE)

2.4

Untersuche, ob der Besitz eines Monatstickets stochastisch unabhängig von der Altersgruppe ist.

(3 BE)

Das Verkehrsunternehmen führt eine Umfrage zur Sauberkeit in den Verkehrsmitteln durch. Dazu werden 100 Fahrgäste zufällig ausgewählt und befragt.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl von befragten Fahrgästen, die ein Monatsticket besitzen.

Es kann davon ausgegangen werden, dass $X$ binomialverteilt ist.

2.5

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den befragten Fahrgästen mindestens 20 und höchstens 25 ein Monatsticket besitzen.

(2 BE)

2.6

Bei einer weiteren Befragung zielt das Verkehrsunternehmen speziell auf Personen mit einem Monatsticket ab.

Ermittle die Anzahl an Fahrgästen, die mindestens befragt werden müssen, damit unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 \,\%$ mindestens zehn ein Monatsticket besitzen.

(4 BE)

2.7

Von den Fahrgästen eines öffentlichen Verkehrsmittels dieser Großstadt werden sechs Fahrgäste zufällig ausgewählt.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass unter ihnen kein Fahrgast ein Monatsticket besitzt und höchstens ein Fahrgast unter 50 Jahre alt ist.

(3 BE)

2.8

In einem Jahr befördert das öffentliche Verkehrsunternehmen dieser Großstadt 10 Millionen Fahrgäste. Eine langfristige Datenerhebung hat ergeben, dass $1 \,\%$ der Fahrgäste während ihrer Fahrt hinsichtlich eines gültigen Fahrscheins kontrolliert werden.

Ca. $7 \,\%$ aller kontrollierten Fahrgäste können keinen gültigen Fahrschein vorweisen. Unter diesen gibt es solche, die tatsächlich keinen gültigen Fahrschein haben und solche, die zwar ein Monatsticket besitzen, dieses aber nicht vorweisen können.

Im ersten Fall muss der Fahrgast eine Strafgebühr in Höhe von $60\,€$ entrichten.

Im zweiten Fall können diese Fahrgäste ihre Monatskarte später vorzeigen und zahlen nur eine Gebühr von $10\,€.$ Bei jedem 20. Fahrgast ohne gültigen Fahrschein tritt dies ein.

Berechne die zu erwartenden Einnahmen an Strafgebühren innerhalb eines Jahres.

(5 BE)

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2.1

$M:$

„Der Fahrgast besitzt ein Monatsticket. “

$\geq 50:$

„ Der Fahrgast ist mindestens 50 Jahre alt. “

Mit den gegebenen Anteilen aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(M)&=& P(M \cap \geq 50)+P(M \cap \lt 50)&\\[5pt] &=& 0,6 \cdot 0,25+0,4 \cdot 0,18&\\[5pt] &=& 0,222 \end{array}$

2.2

Aus den Angaben in der Aufgabenstellung und Aufgabenteil 2.1 folgt direkt:

	$\color{#fff}{\geq 50}$	Gesamt
$\color{#fff}{M}$		$0,222$
$\color{#fff}{\overline{M}}$
Gesamt	$0,6$	$1$

Weiterhin ist bekannt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{M})&=& 1-P(M)&\\[5pt] &=& 1-0,222&\\[5pt] &=& 0,778 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(M \cap \geq 50)&=& 0,6 \cdot 0,25& \\[5pt] &=& 0,15 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{M} \cap \geq 50)&=& 0,6-0,15&\\[5pt] &=& 0,45 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(M \cap \lt 50)&=& 0,4 \cdot 0,18& \\[5pt] &=& 0,072 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{M}\cap \lt50)&=& 0,4-0,072& \\[5pt] &=& 0,328 \end{array}$

Ergänzen der Vierfeldertafel ergibt:

	$\color{#fff}{\geq 50}$	$\color{#fff}{\lt 50}$	Gesamt
$\color{#fff}{M}$	$0,15$	$0,072$	$0,222$
$\color{#fff}{\overline{M}}$	$0,45$	$0,328$	$0,778$
Gesamt	$0,6$	$0,4$	$1$

2.3

Mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P_M(\lt 50)&=& \dfrac{P(M \cap \lt 50)}{P(M)} &\\[5pt] &=& \dfrac{0,072}{0,222}&\\[5pt] &\approx& 0,324 \end{array}$

2.4

Die beiden Merkmale sind stochastisch unabhängig voneinander, wenn gilt:

$P(M \cap \geq 50)= P(M)\cdot P(\geq 50)$

Aus der Vierfeldertafel kann direkt abgelesen werden:

$P(M \cap \geq 50)=0,15$

$\begin{array}[t]{rll} P(M)\cdot P(\geq 50)&=& 0,222\cdot 0,6& \\[5pt] &=& 0,1332 \end{array}$

Somit gilt $P(M \cap \geq 50)\neq P(M)\cdot P(\geq 50).$

Der Besitz eines Monatstickets ist folglich stochastisch abhängig von der Altersgruppe.

2.5

Die Zufallsgröße $X$ kann als binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,222$ angenommen werden.

Mit dem CAS ergibt sich:

$B_{100;0,222}(20 \leq X \leq 25)\approx 0,527$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den befragten Fahrgästen mindestens 20 und höchstens 25 ein Monatsticket besitzen, beträgt somit ca. $52,7\,\%.$

2.6

Es soll gelten:

$B_{n;0,222}(X\geq 10) \geq 0,95$

Systematisches Ausprobieren oder Tabellieren ergibt:

$B_{67;0,222}(X\geq 10)\approx 0,949$

$B_{68;0,222}(X\geq 10)\approx 0,955$

Es müssen also mindestens 68 Fahrgäste befragt werden, sodass unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 \,\%$ mindestens zehn ein Monatsticket besitzen.

2.7

$\pmatrix{6\\0}\cdot 0,328^0 \cdot 0,45^6+ \pmatrix{6\\1} \cdot 0,328^1 \cdot 0,45^5$

Da die Anzahl ausgewählter Fahrgäste mit Monatsticket als binomialverteilt angenommen wird, kann die Wahrscheinlichkeit mittels der Formel von Bernoulli berechnet werden:

Da 6 Fahrgäste ausgewählt werden, gilt $n=6.$ Zudem gilt $P(\overline{M} \cap\lt 50)=0,328$ und $P(\overline{M} \cap \geq 50)=0,45.$

Der erste Summand im Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 6 Fahrgäste älter als 50 Jahre sind und kein Monatsticket besitzen.

Der zweite Summand beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 6 ausgewählten Fahrgästen ohne Monatsticket genau ein Fahrgast befindet, der jünger als 50 Jahre ist.

2.8

Die Anzahl der Fahrgäste, die kontrolliert werden und keinen gültigen Fahrschein vorweisen können, beträgt $10\,000\,000 \cdot 0,01 \cdot 0,07=7000.$

Der Anteil an diesen Fahrgästen, der zu einem späteren Zeitpunkt ein Monatsticket nachweisen kann und somit nur $10 \,€$ Strafgebühr entrichten muss, beträgt $\dfrac{1}{20}.$ Die übrigen $\dfrac{19}{20}$ dieser Fahrgäste müssen die volle Strafgebühr in Höhe von $60 \,€$ entrichten.

Daraus ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 7000 \cdot\left(\dfrac{19}{20} \cdot 60 €+\dfrac{1}{20} \cdot 10 €\right)&\\[5pt] &=& 7000 \cdot 57,50 \,€ &\\[5pt] &=& 402\,500 \,€ \end{array}$

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