Wahlteil B1

B1 Analysis

1.1

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v_t$ mit

$v_t(x)= \left(\dfrac{x}{t} \right)^2\cdot (x-t)^2+1$ und $t\in \mathbb{R^+}.$

1.1.1

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $v_8.$

(2 BE)

1.1.2

Zeige, dass der Graph von $v_t$ genau zwei Wendepunkte hat, deren $y$ -Koordinaten den Wert $\frac{1}{36}t^2+1$ haben.

(3 BE)

1.1.3

Der Wendepunkt des Graphen von $v_t$ mit der kleineren $x$ -Koordinate sowie die Punkte

$P\left(\frac{t}{2} \mid 0 \right)$ und $Q\left(\frac{t}{2} \mid v_t \left( \frac{t}{2} \right) \right)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Untersuche, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den dieses Dreieck rechtwinklig ist.

(4 BE)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt[4]{v_8(x)}.$

1.1.4

Beurteile jede der folgenden Aussagen:

Für keinen Wert von $x$ ist der Funktionswert von $f$ größer als der von $v_8.$
Das Monotonieverhalten von $f$ stimmt mit dem von $v_8$ überein.

(6 BE)

1.1.5

Es gilt

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{4}x-\sqrt{2}\right)-f(x) \right)=0.$

Beschreibe die grafische Bedeutung dieser Aussage.

(2 BE)

Auf einer $3\,\text{km}$ langen Teststrecke fährt ein Testfahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit.
In Abhängigkeit von der vom Startpunkt aus zurückgelegten Strecke in Kilometern wird durchgehend der lokale Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Millimetern pro Kilometer gemessen.

Für den ersten Abschnitt der Fahrt liegen folgende Messwerte vor:

zurückgelegte Strecke in $\text{km}$	lokaler Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$
$0,00$	$66,3$
$0,25$	$80,5$
$0,50$	$88,7$
$0,75$	$91,8$
$1,00$	$90,7$

1.2

Die gemessenen Werte für den lokalen Kraftstoffverbrauch lassen sich in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke modellhaft durch eine ganzrationale Funktion beschreiben.

Ermittle einen passenden Funktionsterm.

(4 BE)

1.3

Für die gesamte Fahrt kann der lokale Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funkion $k$ mit $k(x)=10x^3-57x^2+72x+66$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die zurückgelegte Strecke in $\text{km}$ und $k(x)$ der lokale Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}.$

1.3.1

Zeige, dass die Funktion $k$ für den Startpunkt und für eine zurückgelegte Strecke von $1,00 \,\text{km}$ jeweils einen Wert liefert, der vom zugehörigen Messwert um weniger als $0,5\,\%$ abweicht.

(2 BE)

1.3.2

Ermittle für die gesamte Fahrt den größten lokalen Verbrauch sowie diejenige Stelle der Teststrecke, an der sich der lokale Verbrauch am stärksten geändert hat.

(5 BE)

1.3.3

Im Tank des Fahrzeugs befanden sich am Startpunkt genau $1000\,\text{ml}$ Kraftstoff.
Begründe, dass der Term $1000-\displaystyle\int_{0}^{x}k(z) \mathrm dx$ in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke den momentanen Tankinhalt liefert.

(2 BE)

1.1.1

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\(v$

Berechne die notwendige Bedingung für Extrema, $\(v$ mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners:

$x_1=0\,,\;x_2=4\,,\;x_3=8$

Berechne die hinreichende Bedingung für Extrema, $v_8(x_{1,2,3}),$ mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners:

$\(v$

Setze die $x-$ Koordinate des Maximums in die Gleichung von $v_8$ ein, um die Koordinaten des Hochpunktes zu bestimmen:

$v_8(4)=5\Rightarrow\quad HP(4\mid 5)$

1.1.2

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$\(v$ $+2x\cdot\dfrac{(-t+x)^2}{t^2}$

$\(v$

Bestimme die notwendige Bedingung für Wendestellen, $\(v$ mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners:

$x_4=t\cdot \frac{3+\sqrt{3}}{6}\,,$ $\; x_5=t\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{6}\neq x_4\,,$ weil $t\neq 0$

Bestimme die hinreichende Bedingung für Wendestellen, $\(v$ mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners:

$\(v$

Die Graphen der Funktionenschar von $v_t(x)$ besitzen genau $2$ Wendepunkte:

$v_t(x_{4/5})=\frac{t^2}{36}+1$

1.1.3

$R=\left(x_5\mid v_t(x_5)\right)$ ist der Wendepunkt mit der kleineren $x$ -Koordinate.

Bestimme, mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners, für welche Werte von $t$ die Vektoren $\overrightarrow{PR}$ und $\overrightarrow{QR}$ orthogonal sind:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PR}\circ \overrightarrow{QR}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-\frac{1}{6}\cdot\sqrt3t\\ \frac{1}{36}t^2+1}\circ\pmatrix{-\frac{1}{6}\cdot\sqrt3t\\ -\frac{5}{144}t^2}&=&0 \end{array}$

$t_1=0\;$ (entfällt), $\;t_{2/3}=\pm \frac{5}{6}\cdot \sqrt{35}\;$ ( $t_3$ entfällt)

Die Gleichungen $P=R,\, Q=R$ und $P=Q$ liefern keine Lösung für $t$ im Definitionsbereich, die drei Punkte fallen also nie zusammen. Für $t=t_2$ ist das Dreieck $PQR$ also rechtwinklig.

1.1.4

$f(x)=\;^4\sqrt{\frac{1}{64}}\cdot\;^4\sqrt{x^2\cdot(x-8)^2+64}$

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$\(f$

Aussage 1:

Die Ungleichung $f(x)\gt v_8(x)$ hat keine Lösung, also ist die erste Aussage richtig.

Aussage 2:

$\(f$

$\(v$

Das Monotonieverhalten stimmt also überein.

1.1.5

Der Abstand der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ mit $g(x)=\frac{\sqrt{2}}{4}x-\sqrt{2}$
nähert sich beliebig nahe der $0$ an, wenn man die beiden Graphen immer weiter nach rechts verfolgt.

1.2

Bei $5$ gegebenen Werten ist im Allgemeinen eine Funktion vierten Grades notwendig:

$h(x)=h_4x^4+h_3x^3+h_2x^2+h_1x+h_0$

Erstelle durch die gegebenen Werte ein LGS:

$h(0)=66,3\,,\;h(0,25)=80,5\,,$ $\;h(0,5)=88,7\,,\;h(0,75)=91,8\,,\;h(1)=90,7$

$h_4=0\,,\;h_3=9,6\,,$ $\;h_2=-55,2\,,\;h_1=70\,,\;h_0=66,3$

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Also ist

$h(x)=9,6x^3-55,2x^2+70x+66,3$

ein passender Funktionsterm, wenn $x$ die zurückgelegte Strecke in $\text{km}$ und $h(x)$ den lokalen Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$ beschreibt.

1.3.1

$\dfrac{k(0)-66,3}{66,3}\approx -0,0045 \in \left[ -0,5\,\%;0,5\,\% \right]$

$\dfrac{k(1)-90,7}{90,7}\approx 0,0033 \in \left[ -0,5\,\%;0,5\,\% \right]$

1.3.2

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$\(k$

Bestimme, mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners, die notwendige Bedingung, $\(k$ für Extrema:

$x_1=0,8\,,\; x_2=3$

Bestimme, mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners, die hinreichende Bedingung, $\(k$ für Extrema:

$\(k$

Bei $k(x_1)=92,24$ liegt der größte lokale Verbrauch, da $k(0)=66\Rightarrow\text{(linker Rand)}$ kleiner ist.

Bestimme, mit der Solve-Funktion deines CAS Taschenrechners, die notwendige Bedingung, $\(k$ für Wendestellen:

$x_3=1,9$

Mit $\(k$ und $\(k$ ergibt sich, dass sich der lokale Verbrauch am Startpunkt am stärksten geändert hat.

1.3.3

Da $k$ den lokalen Treibstoffverbrauch pro $\text{km}$ beschreibt, ist es die lokale Änderungsrate des Tankinhalts bezüglich der zurückgelegten Strecke mit umgedrehtem Vorzeichen. Somit beschreibt der gegebene Term den rekonstruierten Bestand am Streckenkilometer $x.$