Wahlaufgaben

5 Analysis

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^2$ . Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \left\lvert\, f_{\frac{1}{2}}(4)\right.\right).$

5.1

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

5.2.

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(u \mid f_a(u)\right)$ die $y$ -Achse im Punkt $\left(0 \mid-f_a(u)\right)$ schneidet.

(4 BE)

6 Analysis

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=x^2 \cdot \mathrm e^{a \cdot x}$ und $x, a \in \mathbb{R}, a \neq 0$ . Alle Graphen von $f_{a}$ haben zwei Extrempunkte, von denen einer der Koordinatenursprung ist.

6.1

Zeige für $a=1:$

Die zweite Extremstelle von $f_a$ ist $x=-2.$

(2 BE)

6.2

Für jeden Wert von $a$ ist der Graph einer Funktion $g_{a}$ bezüglich des Koordinatenursprungs punktsymmetrisch zum Graphen der Funktion $f_a$ .

Weise nach, dass $g_a$ keine Funktion aus der Schar $f_a$ ist.

(3 BE)

7 Analytische Geometrie

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).

Die Eckpunkte $A(1\mid2\mid 1),$ $B,$ $C(-3\mid-6\mid 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2 x+y+2z=6.$

7.1

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

7.2

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

8 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Ebenen $E: x+y=2$ und $F: x-y=0.$

8.1

$E$ und $F$ stehen senkrecht aufeinander.

Begründe, dass $E$ und $F$ zudem senkrecht auf der $xy$ -Ebene stehen.

(1 BE)

8.2

Es gibt Punkte in der $xy$ -Ebene, die von $E$ den Abstand 10 und von $F$ den Abstand 20 haben.

Untersuche, wie viele solcher Punkte existieren.

(4 BE)

9 Stochastik

Betrachtet wird ein Tetraeder, bei dem die Seiten mit den Zahlen 1 bis 4 durchnummeriert sind. Beim Werfen des Tetraeders werden alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt.

Das Tetraeder wird viermal geworfen.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen die Zahl 1 erzielt wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abb. 1

Abb. 2

9.1

Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen die Zahl 1 nicht erzielt wird. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ in Abbildung 2 dar.

(2 BE)

9.2

Bei einem anderen Zufallsexperiment werden ein roter und ein grüner Würfel, bei denen die Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind, viermal gleichzeitig geworfen.

Gib zu diesem Zufallsexperiment eine Zufallsgröße $Z$ an, die die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat wie $X,$ und begründe deine Angabe.

(3 BE)

10 Stochastik

Die drei nicht sichtbaren Seiten des abgebildeten Würfels sollen jeweils mit einer der Zahlen 3, 4, 5 oder 6 beschriftet werden. Dabei können Zahlen auch mehrfach verwendet werden.

Nach der Beschriftung soll der Würfel folgende Eigenschaften haben:

Beim einmaligen Werfen ist der Erwartungswert für die erzielte Zahl gleich 4.
Auf den sechs Seiten des Würfels kommen genau drei verschiedene Zahlen vor.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt $\dfrac{1}{2}.$

Untersuche, ob es möglich ist, die nicht sichtbaren Seiten des Würfels so zu beschriften, dass er alle drei Eigenschaften besitzt.

(5 BE)

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5 Analysis

5.1

Aus der Abbildung kann die Steigung $m=4$ sowie der $y$ -Achsenabschnitt bei $y=-8$ der Tangente abgelesen werden.

Eine Gleichung der Tangente ist somit $y=4x-8.$

5.2.

$y$ -Koordinate angeben:

$f_a(u)=au^2$

Ableitung von $f_a$ bestimmen:

$\(f_a$

Die Steigung $m$ der Tangente an der Stelle $u$ ergibt sich also mit:

$\(m=f_a$

Einsetzen der Steigung sowie der Koordinaten des Punktes $(u\mid au^2)$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] au^2&=&2au\cdot u + c &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=& c \end{array}$

Somit schneidet die Tangente die $y$ -Achse an der Stelle $c=-au^2=-f_a(u)$ und folglich im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

6 Analysis

6.1

Ableitung bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=& x^2 \cdot \mathrm e^x& \\[5pt] f_1$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_1$

Mögliche Extremstellen ergeben sich mit dem Satz vom Nullprodukt also zu $x_1=0$ und $x_2=-2.$

Da der Graph von $f_a$ laut Aufgabenstellung genau zwei Extremstellen besitzt, ist das Überprüfen der hinreichenden Bedingung nicht notwendig.

Neben dem Koordinatenursprung ist die zweite Extremstelle somit gegeben durch $x_2=-2.$

6.2

Im Fall einer Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=& -f_a(-x)&\\[5pt] &=& -\left((-x)^2 \cdot e^{a \cdot(-x)}\right)&\\[5pt] &=& -x^2 \cdot e^{-a \cdot x}&\\[5pt] &\lt & 0 \end{array}$

Wegen $x^2 \gt 0$ und $\mathrm e^{ax}\gt 0$ gilt jedoch $f_a(x)>0.$

Da beide Faktoren des Funktionsterms für alle Werte von $x$ positiv sind, besitzen alle Graphen der Schar $f_a$ einen positiven Wertebereich, während die Funktion $g_a$ nur negative Funktionswerte besitzt.

Die Funktion $g_a$ kann daher keine Funktion der Schar $f_a$ sein.

7 Analytische Geometrie

7.1

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-3\\-6\\9}-\pmatrix{1\\2\\1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-4\\-8\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144} \\[5pt] &=& 12 \end{array}$

7.2

Der Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$ ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\1}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-8\\8} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \end{array}$

Aus der Ebenengleichung von $H$ lässt sich zudem der folgende Normalenvektor ablesen:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\2}$

Es gilt $\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{2^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{9}=3.$

Da die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt, ist der Abstand des gesuchten Eckpunktes des Oktaeders zu $M$ durch 6 Längeneinheiten gegeben. Ein möglicher Ortsvektor ergibt sich somit zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}+2\cdot\overrightarrow{n}&=&\pmatrix{-1\\-2\\5}+2\cdot\pmatrix{2\\1\\2} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\9} \end{array}$

Mögliche Koordinaten für den gesuchten Punkt sind somit gegeben durch $(3\mid0\mid9).$

8 Analytische Geometrie

8.1

Da die Ebenengleichungen von $E$ und $F$ keine $z$ -Koordinate enthalten und somit unabhängig von dieser verlaufen, liegen die beiden Ebenen parallel zur $z$ -Achse und stehen somit senkrecht auf der $xy$ -Ebene.

Alternative Begründung:

Aus den Ebenengleichungen lassen sich folgende Normalenvektoren ablesen:

$\overrightarrow{n_E}=\pmatrix{1\\1\\0}$ und $\overrightarrow{n_F}=\pmatrix{1\\-1\\0}$

Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist gegeben durch $\overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren null ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_E} \circ \overrightarrow{n_{xy}} &=& \pmatrix{1\\1\\0}\circ \pmatrix{0\\0\\1} & \\[5pt] &=& 1\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 1 & \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_F} \circ \overrightarrow{n_{xy}} &=& \pmatrix{1\\-1\\0}\circ \pmatrix{0\\0\\1} & \\[5pt] &=& 1\cdot 0-1\cdot 0+0\cdot 1 & \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

8.2

Hilfsskizze

Dargestellt sind mit durchgehenden Linien die Schnittgeraden von $E$ und $F$ mit der $xy$ -Ebene sowie jeweils dazu parallel verlaufende Geraden mit den Abständen 10 (grün gestrichelt) bzw. 20 (blau gestrichelt).

Die zu den Schnittgeraden parallel verlaufenden Geraden schneiden sich viermal. Somit gibt es 4 solcher Punkte.

9 Stochastik

9.1

9.2

Zufallsgröße angeben

$Z:$ Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden gewürfelten Zahlen größer als 3 ist.

Angabe begründen

Beim einmaligen Werfen der beiden Würfel gibt es insgesamt $6\cdot6=36$ mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Die Ergebnisse, bei denen keine der beiden Zahlen größer als 3 ist, ergeben sich wie folgt:

$\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),$ $(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$

Die Wahscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln keine Zahl zu erzielen, die größer als 3 ist, ergibt sich somit zu $\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}.$ Die Zufallsgrößen $X$ und $Z$ sind somit beide binomialverteilt mit $p=\dfrac{1}{4}$ und $n=4,$ das heißt sie besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.

10 Stochastik

Aus dem angegebenen Erwartungswert von 4 ergibt sich für die Summe der drei Zahlen auf den nicht sichtbaren Seiten folgender Wert:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 4& \\[5pt] \dfrac{1}{6}\cdot (5+5+1+a+b+c)&=& 4&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 6\\[5pt] 11+a+b+c&=& 24&\quad \scriptsize \mid\; -11\\[5pt] a+b+c&=& 13 \end{array}$

Werden diese mit den Zahlen 3, 5 und 5 beschriftet, treffen die ersten zwei Aussagen zu.

Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, folgt außerdem:

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(5,5)+P(3,3)+P(1,1)& \\[5pt] &=& \dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}& \\[5pt] &=& \dfrac{18}{36}& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Der Würfel kann somit mit den Zahlen 3,5 und 5 beschriftet werden, sodass er die drei Eigenschaften besitzt.

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