Wahlteil A2

A 2 Analytische Geometrie

ln einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(1\mid-5\mid1)$ , $B(3\mid6\mid2)$ , $C(-1\mid-1\mid5)$ , $D(3\mid4\mid1)$ und $E(-1\mid1\mid6)$ gegeben.
Die Ebene $\varepsilon$ enthält die Punkte $A$ , $B$ und $C$ . Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $D$ und $E$ .

2.1

Stelle das Dreieck $ABC$ in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
Zeichne $g$ in dasselbe Koordinatensystem.

3 BE

2.2

Bestimme die Größe des lnnenwinkels $\sphericalangle BAC$ des Dreiecks.
Begründe, dass das Dreieck $ABC$ nicht gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ .

7 BE

2.3

Ermittle eine Koordinatengleichung für $\varepsilon$ .
(zur Kontrolle $z$ . B. $\varepsilon:4 x-y+3 z-12=0$ ).
Berechne die Größe des Winkels, den $\varepsilon$ mit der $z$ -Achse einschließt
Berechne den Abstand des Punktes $D$ von $\varepsilon$ .

9 BE

2.4

Bestimme eine Gleichung für $g$ .
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $\varepsilon$
Prüfe ob $g$ senkrecht auf $\varepsilon$ steht.

7 BE

2.5

Gegeben ist eine Menge von Punkten $F_{t}(3\mid4\mid t)$ mit $t\in \mathrm{R}$ . Berechne den Wert von $t$ , für den die Gerade durch $F_t$ und $E$ parallel zu $\varepsilon$ ist.

3 BE

2.6

Das Dreieck $ABC$ rotiert um die Seite $\overline{AB}$ . Der Abstand des Punktes $C$ von der Seite $\overline{AB}$ beträgt $\frac{10}{21}. \sqrt{91}$
Beschreibe den entstehenden Rotationskörper
Berechne das Volumen dieses Körpers.

6 BE

2.1

Koordinatensystem mit Achsen und Gitterlinien, Zahlen von -3 bis 3.

Abb. 1: Dreieck ABC und Gerade g

2.2

Innenwinkel:

$\alpha \approx 49,2^{\circ}$

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Der Innenwinkel $\sphericalangle BAC$ des Dreiecks ist ca. $49,2^{\circ}$ groß.

Gleichseitigkeit

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=&\sqrt{126}\\[10pt] \left|\overrightarrow{AC} \right| &=& 6 \end{array}$

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Die beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ sind also nicht gleich lang. Das Dreieck kann daher nicht gleichseitig sein, da dazu alle drei Seiten gleichlang sein müssten.

Flächeninhalt

$A_{ABC}\approx$

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Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt ca. $25,50\,\text{FE}.$

2.3

Koordinatengleichung

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\11\\1}\times \pmatrix{-2\\4\\4}\\[5pt] &=& \pmatrix{40 \\ -10 \\ 30} \\[5pt] &=& 10\cdot \pmatrix{4 \\ -1 \\ 3} \\[5pt] \end{array}$

$d=12$

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Eine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet also:

$\epsilon:\, 4x-y+3z -12 = 0$

Winkelgröße

Ein Richtungsvektor der $z$ -Achse ist $\pmatrix{0\\0\\1}.$

$\beta \approx 36,0^{\circ}$

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Die Ebene $\epsilon$ schließt mit der $z$ -Achse den Winkel $\beta$ mit einer Größe von ca. $36,0^{\circ}$ ein.

Abstand Punkt - Ebene

$\begin{array}[t]{rll} d(P,\epsilon) &=& \dfrac{\left|4x-y+3z -12\right|}{\left|\pmatrix{4\\-1\\3} \right|} \\[5pt] &=& \dfrac{\left|4x-y+3z -12\right|}{\sqrt{4^2+(-1)^2 +3^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{\left|4x-y+3z -12\right|}{\sqrt{26}} \\[10pt] d(D,\epsilon)&=& \dfrac{\left|4\cdot 3-4+3\cdot 1 -12\right|}{\sqrt{26}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\sqrt{26}} \\[5pt] &\approx& 0,20\\[5pt] \end{array}$

Der Punkt $D$ hat zur Ebene $\epsilon$ ungefähr den Abstand $0,20\,\text{LE}.$

2.4

Geradengleichung

$\begin{array}[t]{rll} g:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OD} + r\cdot \overrightarrow{DE}; r\in \mathbb{R} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\4\\1} + r\cdot \pmatrix{-4\\ -3\\5}; r\in \mathbb{R} \end{array}$

Schnittpunkt von $g$ und $\epsilon$

Die Punkte auf der Geraden haben die Koordinaten $G(3-4r \mid 4-3r \mid 1+5r).$ Einsetzen in die Ebenengleichung:

$r = 0,5$

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Einsetzen in die Geradengleichung:

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{1\\ 2,5 \\ 3,5}$

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$g$ und $\epsilon$ schneiden sich im Punkt $S(1\mid 2,5\mid 3,5).$

Sekrechte Lage prüfen

$g$ steht dann senkrecht auf $\epsilon,$ wenn ihr Richtungsvektor und ein Normalenvektor von $\epsilon$ linear abhängig sind. Es muss also geprüft werden, ob es ein $c\in \mathbb{R}$ gibt, sodass folgendes gilt:

$\pmatrix{-4\\ -3\\5} = c\cdot \pmatrix{4\\-1\\3}$

Damit die Gleichung für den ersten Vektorbetrag erfüllt ist, müsste $c=-1$ sein. Damit würde für den zweiten Eintrag aber gelten: $-3 = 1.$ Das ist ein Widerspruch.
$g$ steht also nicht senkrecht auf $\epsilon.$

2.5

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF_t} \circ \pmatrix{4\\-1\\3} &=& 0\\[5pt] \pmatrix{4\\3\\t-6} \circ \pmatrix{4\\-1\\3} &=& 0\\[5pt] 3t -5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] 3t &=&5 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] t &=& \frac{5}{3} \end{array}$

Für $t=\frac{5}{3}$ ist die Gerade durch $F_t$ und $E$ parallel zu $\epsilon.$

2.6

$\gamma \approx 31,9^{\circ}$

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Da der Innenwinkel des Dreiecks bei $B$ spitz ist, handelt es sich bei dem Körper, der durch Rotation des Dreiecks $ABC$ um die Seite $\overline{AB}$ rotiert, um einen Körper, der aus zwei Kegeln mit gemeinsamer Grundfläche zusammengesetzt ist. Der Radius der Grundfläche beträgt $r = \frac{10}{21}\cdot \sqrt{91}.$

Sei $h_1$ die Höhe des einen Kegels und $h_2$ die Höhe des zweiten Kegels. Dann gilt $h_1 +h_2 = \overline{AB} = \sqrt{126}.$

$V\approx 242,56$

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Das Volumen des Rotationskörpers beträgt ca. $242,56\,\text{VE}.$