Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben LK (WTR)

Abi-Aufgaben LK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Wahlteil A3

Auf einem Blatt Papier soll die Vorlage zur Herstellung eines Wappens gezeichnet werden. Die Begrenzung des Wappens wird in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ festgelegt.
Die Funktionen $f$ und $h$ sind mit den Gleichungen

$f(x)= \frac{1}{8}x^2-\pi\cdot x$ mit $x\in \mathbb{R},$ $0\leq x\leq 8\pi,$

$h(x)= 2\cdot \sin \left( \frac{1}{4}x \right)$ mit $x\in \mathbb{R},$ $0\leq x \leq 8\pi$

gegeben. Der Graph von $f$ ist $G_f,$ der von $h$ ist $G_h.$

Wappen

Abb. 1

3.1

Berechne die Nullstellen von $f$ und die Koordinaten des Tiefpunktes von $G_f.$

(5 BE)

3.2

Berechne die Nullstellen von $h$ und die Koordinaten der Extrempunkte von $G_h.$
Weise die Art der Extrema nach.
Zeige, dass $G_h$ an der Stelle $x_W=4\pi$ einen Wendepunkt besitzt.

(10 BE)

3.3

Stelle $G_f$ und $G_h$ im Intervall $0\leq x\leq 8\pi$ in einem Koordinatensystem grafisch dar. Verwende für deine Darstellung $0,5\,\text{cm}$ für $1\,\text{LE}.$

(3 BE)

3.4

Eine Fläche ist begrenzt durch die Strecken $s_1$ und $s_2$ sowie die Graphen $G_f$ und $G_h.$
Die Strecke $s_1$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Punkt $(2\pi \mid 2).$ Die Strecke $s_2$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Punkt $(6\pi\mid -2).$

3.4.1

Zeichne in das Koordinatensystem die Strecken $s_1$ und $s_2$ ein. Berechne jeweils die Längen der Strecken $s_1$ und $s_2.$

(4 BE)

3.4.2

Berechne den Inhalt dieser Fläche.

(4 BE)

3.5

Das Wappen soll drei Gravuren erhalten, die in der Vorlage mithilfe von drei Geraden dargestellt werden. Die erste Gerade verläuft entlang der Normalen $n$ zu $G_h$ durch den Punkt $W(4\pi \mid h(4\pi)).$ Die beiden anderen Geraden sollen jeweils parallel zu $n$ in einem Abstand von $2$ verlaufen.
Ermittle rechnerisch jeweils eine Gleichung der beiden anderen Geraden.

(9 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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3.1

$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 8\pi \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstellen von $f$ sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 8\pi.$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Tiefpunkts berechnen

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{1}{8}x^2 -\pi\cdot x \\[5pt] f‘(x) &=& \frac{1}{4}x -\pi \\[5pt] f‘‘(x)&=& \frac{1}{4} \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden

$x= 4\pi$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘(4\pi ) = \frac{1}{4} \gt 0$

An der Stelle $x= 4\pi$ besitzt der Graph $G_f$ also einen Tiefpunkt.

4. Schritt: $y$ -Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(4\pi) &=& \frac{1}{8}\cdot (4\pi)^2 -\pi\cdot 4\pi \\[5pt] &=& -2\pi^2 \end{array}$

Die Koordinaten des Tiefpunkts von $G_f$ lauten $T(4\pi\mid -2\pi^2).$

3.2

$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen

Die Nullstellen von $h$ sind die Nullstellen von $\sin\left(\frac{1}{4}x \right).$ Die Nullstellen der allgemeinen Sinusfunktion $\sin x$ sind alle Vielfachen von $\pi.$
Die Nullstellen von $\sin\left(\frac{1}{4}x \right)$ sind also alle $x$ mit $\frac{1}{4}x = n\cdot \pi$ für ganzzahlige $n.$

$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}x &=& n\cdot \pi &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] x &=& 4\cdot n\cdot \pi \end{array}$

In der Aufgabenstellung ist $0\leq x \leq 8\pi$ vorgegeben. Für $n$ kann also $n=0,$ $n=1$ und $n=2$ eingesetzt werden. Die Nullstellen von $h$ sind also $x_1 = 0,$ $x_2 = 4\pi$ und $x_3 = 8\pi.$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& 2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] h‘(x) &=& \frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] h‘‘(x) &=& -\frac{1}{8}\cdot \sin \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$x = 2\pi +4n\cdot \pi$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Für $x$ soll gelten $0\leq x \leq 8\pi.$ Es kann für $n$ also $n=0$ und $n=1$ eingesetzt werden. Mögliche Extremstellen von $h$ sind demnach $x_1 = 2\pi$ und $x_2 = 6\pi.$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} h‘‘(2\pi)&= -\frac{1}{8} \lt 0 \\[10pt] h‘‘(6\pi)&= \frac{1}{8} \gt 0 \\[10pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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An der Stelle $x_1 = 2\pi$ besitzt $G_h$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2 = 6\pi$ besitzt $G_h$ einen Tiefpunkt.

4. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h(2\pi)&=2\\[10pt] h(6\pi)&= -2\\[10pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Graph $G_h$ besitzt zwei Extrempunkte: den Hochpunkt $H_h(2\pi \mid 2)$ und den Tiefpunkt $T_h(6\pi\mid -2).$

$\blacktriangleright$ Wendepunkt nachweisen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen

$h‘‘(x_W) = 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$h‘‘‘(4\pi)=\frac{1}{32}\neq 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Graph $G_h$ besitzt an der Stelle $x_W=4\pi$ also einen Wendepunkt.

3.3

$\blacktriangleright$ Graphen im Koordinatensystem darstellen

Wappen

Abb. 1: Graphen $G_h$ und $G_f$ im Koordinatensystem

3.4.1

$\blacktriangleright$ Strecken einzeichnen

Strecken

Abb. 2: Strecken $s_1$ und $s_2$

$\blacktriangleright$ Längen der Strecken berechnen

$\begin{array}[t]{rll} l_1 &\approx 16,8 \\[5pt] l_2 &\approx 12,8 \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Strecke $s_1$ ist ca. $16,8$ Längeneinheiten lang, die Strecke $s_2$ ca. $12,8$ Längeneinheiten.

3.4.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Der Inhalt der Fläche kann mithilfe eines Integrals berechnet werden:

$A=\frac{22}{3}\pi^3$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Inhalt der Fläche beträgt $\frac{22}{3}\pi^3.$

3.5

$\blacktriangleright$ Geradengleichungen ermitteln

1. Schritt: Gleichung der Normalen bestimmen

Die Normale $n$ mit $y=m_n\cdot x + b_n$ verläuft durch den Punkt $W(4\pi \mid 0).$ Für die Steigung $m_n$ muss gelten:

$m_n=2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Mithilfe einer Punktprobe der Koordinaten von $W$ erhältst du:

$b_n=-8\pi$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Eine Gleichung der Normalen lautet also:

$n:\quad y = 2x -8\pi$

2. Schritt: Geradengleichungen ermitteln

Da die beiden anderen Geraden parallel zu $n$ verlaufen sollen, besitzen sie dieselbe Steigung wie $n.$ Der $y$ -Achsenabschnitt muss nun so bestimmt werden, dass der Abstand jeweils $2$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Senkrechte Gerade

Skizze

Abb. 3: Skizze

Die beiden anderen Geraden verlaufen parallel zu $n$ mit einem Abstand von $2.$ Betrachte die Skizze. Die Gerade $t$ verläuft senkrecht zu $n$ durch den Punkt $W.$ Sie schneidet $g_1$ im Punkt $P_1.$ $P_1$ liegt also auf $t$ und hat zu $n$ den Abstand $2.$
Da $t$ senkrecht zu $n$ verläuft, gilt für die Steigung $m_t = -\frac{1}{m_n} = -\frac{1}{2}.$ Mit einer Punktprobe der Koordinaten von $W(4\pi \mid 0)$ erhältst du:

$b_t = 2\pi$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Gerade $t$ kann also durch die Gleichung $y = -\frac{1}{2}x +2\pi$ beschrieben werden.
Die Koordinaten von $P_1$ haben daher die Form $P_1\left(x\mid -\frac{1}{2}x +2\pi\right).$

Der Abstand von $P_1$ zu $W$ soll $2$ betragen. Also ergibt sich folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&= 4\pi - \sqrt{3,2} \\[5pt] x_2&= 4\pi + \sqrt{3,2} \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$x_1$ ist nun die Koordinate des entsprechenden Punkts auf $g_1,$ $x_2$ die Koordinate des Punkts auf $g_2.$ Die zugehörige $y$ -Koordinate von $P_1$ lautet:

$y_{P_1} = \frac{1}{2}\sqrt{3,2}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Punkt $P_1$ hat also die Koordinaten $P(4\pi - \sqrt{3,2} \mid \frac{1}{2}\sqrt{3,2}).$ Die Gerade $g_1$ hat die Gleichung $g_1:\quad y = 2x +b_1.$ Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $P_1$ kannst du $b_1$ berechnen:

$b_1=2\sqrt{5} - 8\pi$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Gerade $g_1$ hat also die Gleichung $g_1:\quad y = 2x -8\pi +2\sqrt{5}.$ Die Gerade $g_1$ entsteht also aus $n$ durch Verschiebung um $2\sqrt{5}$ Einheiten in $y$ -Richtung. $g_2$ entsteht analog dazu durch Verschiebung in negative $y$ -Richtung:

$g_2:\quad y = 2x -8\pi -2\sqrt{5}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Winkelbetrachtung

Bestimme den Wert $a,$ um den die Gerade im Vergleich zu $n$ in $y$ -Richtung verschoben werden muss, um den Abstand von $2$ Einheiten zu erhalten. Betrachte dazu die Skizze:

Parallelität

Abb. 4: Skizze

Der Winkel $\alpha$ ist der Steigungswinkel der Geraden $n.$ Diesen kannst du mit der entsprechenden Formel berechnen:

$\alpha = \tan^{-1} (2)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$\alpha$ und $\beta$ bilden zusammen einen rechten Winkel, also ist

$\beta = 90^{\circ} -\alpha = 90^{\circ} - \tan^{-1}(2)$

Nun kannst du mithilfe des grünen rechtwinkligen Dreiecks $a$ über den Sinus berechnen:

$a\approx 4,47$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Die beiden Geradengleichungen erhältst du dann als:

$g_1:\, y = 2x -8\pi +4,47$

$g_2:\, y = 2x -8\pi -4,47$

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