Analytische Geometrie
Für 
mit 
werden die Pyramiden 
mit 
und 
betrachtet (vgl. Abbildung 1).
Abbildung 1
2.1
Begründe, dass das Dreieck 
gleichschenklig ist.
(2 BE)
2.2
Der Mittelpunkt der Strecke 
ist 
Begründe, dass 
die Länge einer Höhe des Dreiecks ist.
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks 
(3 BE)
2.3
Für jeden Wert von 
liegt die Seitenfläche in der Ebene 
2.3.1
Bestimme eine Gleichung von 
in Koordinatenform.
zur Kontrolle: 
(4 BE)
2.3.2
Ermittle denjenigen Wert von 
für den die Größe des Winkels, unter dem die 
-Achse die Ebene schneidet, 
beträgt.
(5 BE)
2.4
Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet.
Die Punkte 
und 
sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für 
enthält die Seitenfläche der Pyramide den Eckpunkt 
des Quaders. Für kleinere Werte von schneidet die Seitenfläche den Quader in einem Vieleck.
Abbildung 2
2.4.1
Für einen Wert von verläuft die Seitenfläche durch die Eckpunkte 
und 
des Quaders.
Bestimme diesen Wert von 
zur Kontrolle: 
(3 BE)
2.4.2
Gib in Abhängigkeit von die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche den Quader schneidet.
(4 BE)
2.4.3
Nun wird die Pyramide 
d.h. diejenige für 
betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der 
-Ebene, haben den Eckpunkt gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe 
der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 
. Für jeden Wert von liegt der Eckpunkt 
in der Seitenfläche 
der Pyramide.
Ermittle die Koordinaten des Punkts 
Abbildung 3
(4 BE)
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2.1
Die Dreiecke 
und 
sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein. Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
2.2.
Da das Dreieck gleichschenklig mit der Basis ist, stellt 
eine Höhe dieses Dreiecks dar.
Flächeninhalt
2.3.1
Da der Koordinatenursprung nicht in liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form 
schreiben.
Mit den Koordinaten von 
und 
ergibt sich:
I 
daraus folgt 
II 
daraus folgt 
III 
daraus folgt 
2.3.2
Betrachtet wird der Richtungsvektor 
(entspricht der -Achse) sowie der Normalenvektor 
Für 
gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+\frac{16}{k^2}}} \\[5pt]
\sqrt{2+\dfrac{16}{k^2}}&=&\dfrac{8}{k} \quad \scriptsize \mid\;()^2 \\[5pt]
2+\dfrac{16}{k^2}&=&\dfrac{64}{k^2}\\[5pt]
\dfrac{2k^2+16}{k^2}&=&\dfrac{64}{k^2}\quad\scriptsize \mid \cdot k^2\\[5pt]
2k^2+16&=&64\quad\scriptsize \mid-16\\[5pt]
2k^2&=&48\quad\scriptsize :2\\[5pt]
k^2&=&24\\[5pt]
k&=&2\sqrt{6}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8c1c36f8d6ae9a6290b7ca4b6b1b5693e8bd7d0915b2010921d07e496731ed5c?color=5a5a5a)
Da 
ist das die einzige Lösung.
2.4.1
Enthält 
den Punkt 
, so gilt 
also .
2.4.2
2.4.3