Wahlteil B2

B2 Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem bilden die Punkte $A(2 \mid 0 \mid 0),$ $B(2 \mid 2 \mid 0),$ $C(0 \mid 2 \mid 0)$ und $D(0 \mid 0 \mid 0)$ sowie für jeden Wert von $a$ mit $0\lt a \lt 1,$ $a \in \mathbb{R}$ die Punkte $E_a(2-a \mid a \mid 2),$ $F_a(2-a \mid 2-a \mid 2),$ $G_a(a \mid 2-a \mid 2)$ und $H_a$ die Eckpunkte eines geraden Pyramidenstumpfes $P_a.$

3D-Diagramm eines geometrischen Körpers mit Punkten und Achsen in den Richtungen x, y und z.

Abb. 1

3D-Diagramm mit Punkten und Linien in einem Koordinatensystem. Achsen x, y, z sind dargestellt.

Abb. 2

Darstellungen des Pyramidenstumpfes für $a=0,5$ (Abb. 1) und $a=0,8.$

2.1

Gib die Koordinaten des Punktes $H_a$ in Abhängigkeit von $a$ an.

(1 BE)

2.2

Stelle $P_a$ für $a=0,5$ in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

( $1$ Längeneinheit = $2 \,\text{cm}$ )

(3 BE)

2.3

Die Kante $\overline{AE_a}$ schließt mit der Grundfläche $ABCD$ einen Neigungswinkel ein.

2.3.1

Berechne den Neigungswinkel der Kante $\overline{AE_{0,5}}$ zur Grundfläche $ABCD$ .

(3 BE)

2.3.2

Zeige, dass es keinen Pyramidenstumpf gibt, sodass dieser Neigungswinkel $45^{\circ}$ beträgt.

(3 BE)

2.4

Berechne den Abstand des Mittelpunktes der Strecke $\overline{AC}$ zur Ebene $\epsilon$ durch die Punkte $A$ , $B$ und $F_a$ in Abhängigkeit von $a$ .

(4 BE)

2.5

Jeder Pyramidenstumpf $P_a$ ist Teil einer Pyramide $ABCDS_a$ .
Bestimme die Koordinaten des Punktes $S_a$ in Abhängigkeit von $a$ .

(4 BE)

2.6

Das Volumen des Pyramidenstumpfes $P_a$ in Abhängigkeit von $a$ ist $V(a)$ .
Begründe, dass Folgendes gilt:

$\lim\limits_{a\to\ 1} V(a)= \dfrac{8}{3}$ .

(3 BE)

2.7

Als Symbol für eine Ausstellung zum Thema „Höchste Zeit für die Rettung der Weltmeere“ wird ein Hohlkörper aus Glas geplant. Dieser Körper wird mit Wasser gefüllt, in dem Plastikmüllteilchen schweben.

Die Abbildung zeigt ein Modell $M_a$ , das aus zwei kongruenten Pyramidenstümpfen und einem Würfel zusammengesetzt ist. Der untere Pyramidenstumpf ist im Modell der Körper $P_a$ für einen Wert von $a$ .

Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

3D-Darstellung eines geometrischen Körpers mit markierten Punkten und Linien.

2.7.1

Die Kante $\overline{AE_a}$ soll in der Realität aus statischen Gründen eine Länge von $2,1\,\text{m}$ haben.
Bestimme für diese Kantenlänge den Wert von $a$ .

(3 BE)

2.7.2

Der Körper wird nach dem Modell $M_a$ für $a=0,45$ gebaut.
Es wird Wasser bis auf eine Höhe von $4,1 \,\text{m}$ eingefüllt.
Bestimme das Volumen des eingefüllten Wassers in Kubikmetern.

Hinweis: Die Glaswandstärke wird vernachlässigt.

(6 BE)