Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben GK (WTR)

Abi-Aufgaben GK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Wahlteil A2

Die Eckpunkte mit den Koordinaten $A(0\mid 0\mid 0),$ $B(10\mid 0\mid 0),$ $C(2,5\mid 5\mid 0),$ $D(0\mid 5\mid 0)$ und $E_t(2\mid 4\mid t)$ bestimmen in einem kartesischen Koordinatensystem für jeden Wert von $t$ mit $t\in \mathbb{R},$ $t\neq 0$ einen Körper. Seine Grundfläche sei $ABCD.$

2.1

Stelle den Körper für $t=8$ in einem Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit der Körperkanten dar.

(3 BE)

2.2

Die Diagonalen der Grundfläche schneiden sich einander im Punkt $S.$
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $S.$
Bestimme die Größe des Schnittwinkels dieser Diagonalen.
Weise nach, dass die Grundfläche $ABCD$ ein Trapez ist.

(8 BE)

2.3

Die Mittelpunkte der Seiten der Grundfläche bilden ein Viereck.
Prüfe, ob dieses Viereck ein Rechteck ist.

(5 BE)

2.4

Durch die Punkte $C,$ $D$ und $E_8$ wird eine Ebene $\epsilon$ bestimmt.
Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene $\epsilon.$
[Zur Kontrolle: $\epsilon:\, 8y+z-40=0$ ]

Zeige, dass der Punkt $P(6\mid 2\mid 4)$ nicht in $\epsilon$ liegt.
Ermittle den Abstand des Punkts $B$ von $\epsilon.$
Bestimme die Größe des Winkels, den die Gerade $BE_8$ mit $\epsilon$ einschließt.

(10 BE)

2.5

Auf der Strecke $\overline{AB}$ gibt es einen Punkt $Q,$ der von $B$ und von $E_8$ den gleichen Abstand hat.
Berechne die Koordinaten des Punktes $Q.$

(4 BE)

2.6

Ermittle den positiven Wert von $t,$ für den das Volumen des Körpers $ABCDE_t$ $125$ beträgt.

(5 BE)

2.1

$\blacktriangleright$ Körper im Koordinatensystem darstellen

Pyramide

Abb. 1: $ABCDE_8$

2.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Die Diagonalen liegen jeweils auf einer Geraden:

$AC:\, \overrightarrow{x} =...$

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Der Schnittpunkt der Diagonalen entspricht dem Schnittpunkt dieser beiden Geraden. Gleichsetzen liefert:

$r\cdot \pmatrix{2,5\\5\\0}-...$

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Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&10&=& 2,5r +10s \\ \text{II}\quad&0 &=& 5r -5s \\ \text{III}\quad&0&=& 0r-0s \\ \end{array}$

Aus $\text{II}$ folgt:

$s=r$

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Dies kannst du in die erste Gleichung einsetzen:

$r = 0,8$

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Also ist $r=s=0,8.$ Einsetzen in eine der beiden Geradengleichungen liefert:

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{2\\4\\0}$

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Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen der Grundfläche hat also die Koordinaten $S(2\mid 4\mid 0).$

$\blacktriangleright$ Größe des Schnittwinkels bestimmen

Die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ der Diagonalen entspricht ebenfalls der Größe des Schnittwinkels der beiden Geraden. Mit der entsprechenden Formel und den Richtungsvektoren der oben angegebenen Geradengleichungen erhältst du:

$\alpha = 90^{\circ}$

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Der Schnittwinkel der beiden Diagonalen der Grundfläche $ABCD$ ist $90^{\circ}$ groß.

$\blacktriangleright$ Trapezform nachweisen

Es handelt sich um ein Trapez, wenn es zwei gegenüberliegende Seiten gibt, die parallel sind.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{10\\0\\0}$ und $\overrightarrow{DC} = \pmatrix{2,5\\0\\0}$

Es ist also $\overrightarrow{AB} = 4\cdot \overrightarrow{DC}.$

Damit sind die beiden gegenüberliegenden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}$ parallel zueinander und zusätzlich nicht gleichlang. Es handelt sich damit bei $ABCD$ um ein Trapez.

2.3

$\blacktriangleright$ Viereck auf Rechteckigkeit prüfen.

Mithilfe der Mittelpunktsformel kannst du die Koordinaten der Mittelpunkte der vier Seiten bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{AB}}&=\pmatrix{5\\0\\0}\\[10pt] \overrightarrow{OM_{BC}}&=\pmatrix{6,25\\2,5\\0}\\[10pt] \overrightarrow{OM_{CD}}&=\pmatrix{1,25\\5\\0}\\[10pt] \overrightarrow{OM_{DA}}&= \pmatrix{0\\2,5\\0}\\[10pt] \end{array}$

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Es handelt sich beispielsweise dann um ein Rechteck, wenn für alle vier Seiten gilt, dass diese mit ihren jeweils benachbarten Seiten einen rechten Winkel einschließen. Überprüfe dazu die Skalarprodukte der zugehörigen Vektoren.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{M_{AB}M_{BC}} \circ \overrightarrow{M_{BC}M_{CD}}&= 0 \\[10pt] \overrightarrow{M_{BC}M_{CD}} \circ \overrightarrow{M_{CD}M_{DA}}&= 0 \\[10pt] \overrightarrow{M_{CD}M_{DA}} \circ \overrightarrow{M_{DA}M_{AB}}&= 0 \\[10pt] \end{array}$

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Es sind also drei der vier Innenwinkel rechte Winkel, damit ist auch der vierte Innenwinkel ein rechter Winkel. Es handelt sich also um ein Reckteck.

2.4

$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung ermitteln

Einen Normalenvektor der Ebene kannst du mithilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte berechnen:

$\overrightarrow{n} = -2,5\cdot \pmatrix{0\\8\\1}$

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Du kannst den gekürzten Vektor verwenden. Mit einer Punktprobe erhältst du:

$d=40$

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Eine Koordinatengleichung der Ebene $\epsilon$ lautet:

$\epsilon:\, 8y+z -40 = 0$

$\blacktriangleright$ Lage des Punkts zeigen

Einsetzen der Koordinaten von $P$ in die Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8\cdot 2 +4 -40 &=& 0 \\[5pt] -20 &=& 0 \end{array}$

Die Koordinaten von $P$ erfüllen die Ebenengleichung von $\epsilon$ also nicht. Der Punkt kann daher nicht in der Ebene liegen.

$\blacktriangleright$ Abstand ermitteln

Den Abstand eines Punktes von der Ebene $\epsilon$ kannst du mithilfe der Hesseschen Normalenform von $\epsilon$ bestimmen:

$\dfrac{8y+z-40}{\sqrt{65}} = 0$

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Der Abstand eines Punktes $P(x\mid y\mid z)$ zu $\epsilon$ kann also wie folgt beschrieben werden:

$d(\epsilon, P) = \dfrac{\left|8y+z-40\right|}{\sqrt{65}}$

Der Abstand von $B$ zu $\epsilon$ beträgt also:

$d(\epsilon, B) = \dfrac{\left|8\cdot 0+0-40\right|}{\sqrt{65}} = \frac{40}{\sqrt{65}}$

Der Punkt $B$ hat von $\epsilon$ einen Abstand von $\frac{40}{\sqrt{65}}$ Längeneinheiten.

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels bestimmen

Ein Richtungsvektor der Geraden $BE_8$ ist:

$\overrightarrow{BE_8} = \pmatrix{-8\\4\\8}$

Mit der Formel für den Schnittwinkel $\beta$ einer Ebene und einer Geraden erhältst du:

$\beta \approx 24,4^{\circ}$

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Die Gerade $BE_8$ schließt mit $\epsilon$ einen Winkel der Größe von ca. $24,4^{\circ}$ ein.

2.5

$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen

Die Strecke $\overline{AB}$ kann für $0\leq t\leq 1$ mit folgender Gleichung beschrieben werden:

$\overline{AB}: \, \overrightarrow{x}= \pmatrix{10t\\0\\0}$

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Der Punkt $Q$ muss also die Koordinaten $Q(10t\mid 0 \mid 0)$ mit $0\leq t\leq 1$ besitzen. Der Abstand von $Q$ zu $B$ bzw. von $Q$ zu $E_8$ kann in Abhängigkeit von $t$ wie folgt beschrieben werden:

$\left|\overrightarrow{QB}\right| = 10-10t$

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$\left|\overrightarrow{QE_8}\right| = \sqrt{84 - 40t +100t^2}$

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Gleichsetzen liefert:

$t=0,1$

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Die Koordinaten von $Q$ lauten also $Q(1\mid 0\mid 0).$

2.6

$\blacktriangleright$ Parameterwert berechnen

Bei dem Körper $ABCDE_t$ handelt es sich um eine Pyramide mit der Grundfläche $ABCD$ und der Spitze $E_t.$ Da alle Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ die $z$ -Koordinate $z=0$ besitzen, liegt die Grundfläche vollständig in der $xy$ -Ebene. Die Höhe der Pyramide wird also durch die $z$ -Koordinate von $E_t$ beschrieben: $h=t.$

1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen

Laut 2.2 handelt es sich bei $ABCD$ um ein Trapez. Die Höhe $h_T$ des Trapezes entspricht dem Abstand der beiden parallelen Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}.$
$\overline{AB}$ liegt auf der $x$ -Achse, $A$ ist der Koordinatenursprung und $\overline{AD}$ liegt auf der $y$ -Achse. Die Höhe des Trapezes kann also durch die $y$ -Koordinate von $D$ beschrieben werden und beträgt daher $h_T = 5.$
Die Längen der beiden parallelen Seiten kannst du über den Vektorbetrag berechnen:

$a=10$

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$b=2,5$

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Für den Flächeninhalt von $ABCD$ folgt also:

$A_T=31,25$

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2. Schritt: Gleichung aufstellen und lösen

Das Volumen der Pyramide kann dann mithilfe der entsprechenden Formel in Abhängigkeit von $t$ dargestellt werden:

$V(t)=\frac{31,25}{3} \cdot t$

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Es soll $V(t) = 125$ sein:

$t=12$

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Für $t=12$ beträgt das Volumen des Körpers $ABCDE_t$ also $125.$

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