2 Analysis

2.1

Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $r$ und $s$ mit $r(x)=-\left(x^2-x-1\right)$ und $s(x)=\mathrm e^x.$
Die beiden Graphen haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse.

Abbildung 1

2.1.1

Berechne die Nullstellen und die Extremstelle von $r.$

(3 BE)

2.1.2

Beschreibe, wie man den Abstand zwischen dem Graphen von $r$ und der Gerade mit der Gleichung $y=4$ berechnen könnte.

(2 BE)

2.1.3

Berechne die Größe des Winkels, in dem der Graph von $s$ die Gerade mit der Gleichung $y=4$ schneidet.

(4 BE)

2.1.4

Zeige, dass die Graphen von $r$ und $s$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.

(4 BE)

2.1.5

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von $r$ und $s$ und die Gerade mit der Gleichung $x=2$ begrenzen.

(4 BE)

2.2

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ beschreibt für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.
Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w.$

Abbildung 2

2.2.1

Ermittle mithilfe der Abbildung 2 das Volumen des Wassers, das vom Zeitpunkt vier Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt sechs Sekunden nach Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt.

(3 BE)

2.2.2

Bestimme für die ersten elf Sekunden nach Beobachtungsbeginn mithilfe der Abbildung 2 die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.

(3 BE)

2.2.3

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(1 \mid w(1))$ wird durch die Gleichung $y=t(x)$ dargestellt. Interpretiere die folgende Aussage im Sachzusammenhang:

Für alle Werte von $x \in[0,7 ; 1,4]$ gilt $\left|\frac{t(x)-w(x)}{w(x)}\right|\lt 0,05$

(3 BE)

2.3

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w_a$ mit $w_a(x)=4 \cdot\left(x^2-x-1\right) \cdot \mathrm e^{-x}+ a$ gegeben. Unabhängig von $a$ sind $0$ und $3$ die einzigen Extremstellen von $w_a$ . Die Funktion $w_4$ ist die in der Aufgabe 2.2 betrachtete Funktion $w$ , die Abbildung 2 zeigt also den Graphen von $w_4.$

2.3.1

Beschreibe den Einfluss des Parameters $a$ auf den Graphen von $w_a.$

(1 BE)

2.3.2

Bestimme denjenigen Wert von $a,$ für den der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten des Graphen von $w_a$ auf der $x$ -Achse liegt.

(4 BE)

2.3.3

Berechne den Wert des Terms $w_4(3).$ Gib alle Werte von $a$ an, für die $w_a$ genau eine Nullstelle hat.

(4 BE)

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2.1.1

Nullstellen berechnen

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} r(x) &=& 0 \\[5pt] &...& \\[5pt] x_{1,2}&=& \frac{1}{2}\pm \sqrt{ \frac{5}{4}} \\[5pt] &=& \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{array}$

Extremstelle berechnen

$\(r$

Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} r$

Da es sich beim Graphen von $r$ um eine Parabel handelt, muss es eine Extremstelle geben. Auf die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums kann also verzichtet werden. Die Extremstelle von $r$ ist $x = \frac{1}{2}.$

2.1.2

Die Gerade mit der Gleichung $y=4$ verläuft parallel zur $x$ -Achse. Ihr Abstand $d$ zur nach unten geöffneten Parabel, die durch $r(x)$ beschrieben wird, entspricht also dem Abstand der Geraden zum höchsten Punkt der Parabel. Wird die $y$ -Koordinate dieses höchsten Punkts mit $y_S$ bezeichnet, kann der Abstand wie folgt bestimmt werden:

$d = 4-y_S$

2.1.3

1. Schritt: Schnittstelle berechnen

$\begin{array}[t]{rll} s(x) &=& 4 \\[5pt] \mathrm e^x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] x &=& \ln (4) \end{array}$

2. Schritt: Schnittwinkel berechnen

Da die Gerade mit der Gleichung $y=4$ parallel zur $x$ -Achse verläuft, entspricht der Schnittwinkel des Graphen von $s$ mit der Geraden dem Steigungswinkel des Graphen von $s$ in der Schnittstelle.

$\(s$

Mit der Formel für den Steigungswinkel $\alpha$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha) &=& s$

Der Winkel, unter dem der Graph von $s$ die Gerade mit der Gleichung $y=4$ schneidet, ist ca. $75,96^{\circ}$ groß.

2.1.4

In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass sich der gemeinsame Punkt auf der $y$ -Achse befindet. Für ihn gilt also $x=0.$

Damit die beiden Graphen an dieser Stelle eine gemeinsame Tangente haben, muss ebenfalls die Steigung übereinstimmen:

$\(r$

$\(s$

Es gilt also $r(0)=s(0)=1$ und $\(r$ An der Stelle $x=0$ haben die Graphen von $r$ und $s$ daher eine gemeinsame Tangente mit der Gleichung:

$t: y = x+1$

2.1.5

Rechenweg anzeigen

$A= \mathrm e^2-\frac{7}{3}\; \text{[FE]}$

Der Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von $r$ und $s$ mit der $x$ -Achse und der Gerade mit der Gleichung $x=2$ einschließen, beträgt $\mathrm e^2-\frac{7}{3}\; \text{FE}.$

2.2.1

Die gesuchte Menge Wasser entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph von $w$ mit der $x$ -Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x=4$ und $x=6$ einschließt.

Wassermenge Bewässerungskanal - MV Abi 2023

Anhand der Abbildung lässt sich dieser Flächeninhalt zu ca. $9\,\text{FE}$ abschätzen.

Im betrachteten Zeitraum fließen also ca. $9\,\text{m}^3$ Wasser an der Messstelle vorbei.

2.2.2

Der Wendepunkt im betrachteten Zeitraum, in dem der Graph von $w$ fällt, wird aus der Abbildung abgelsen und hat circa die Koordinaten $(4,4 \mid 4,7).$

Damit beträgt die momentane Durchflussrate zum betrachteten Zeitpunkt etwa $4,7\,\frac{\text{m}^3}{\text{s}}.$

2.2.3

Im Zeitraum von $0,7$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis $1,4$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate mit einer maximalen relativen Abweichung von $5 \%.$