Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben GK (WTR)

Abi-Aufgaben GK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Wahlteil A1

Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f$ durch die Gleichung

$f(x)= x^3-8x^2+16x$ mit $x\in \mathbb{R}.$

Der Graph von $f$ ist $G.$

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit einer Kurve und einer bezeichneten Stelle G.

Abb. 1

1.1

Entscheide welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Begründe deine Entscheidung.

$A:\quad$ Der Graph $G$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
$B:\quad$ Die Funktion $f$ besitzt genau zwei ganzzahlige Nullstellen
$C:\quad$ Der Graph $G$ besitzt an den Stellen $x_1= \frac{4}{3}$ und $x_2 =4$ zueinander parallele Tangenten.

(7 BE)

1.2

Berechne die Koordinaten des Wendepunkts von $G.$ Ermittle eine Gleichung der Wendetangente.

(5 BE)

1.3

Die Punkte $A(0\mid 0),$ $B_s(s\mid 0)$ und $C_s(s\mid f(s))$ mit $0\lt s \lt 4$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Ermittle den Wert von $s,$ sodass der Flächeninhalt des Dreiecks $SB_sC_s$ maximal wird.
Weise die Art des Extremums nach.
Bestimme den maximalen Flächeninhalt.

(7 BE)

1.4

Der Graph $G$ und die $x$ -Achse schließen eine Fläche vollständig ein.

1.4.1

Berechne den Inhalt von $H.$
Gib die Gleichung der verwendeten Stammfunktion an.

(3 BE)

1.4.2

Durch die Punkte $P_r(r\mid 0)$ mit $0\lt ; r\lt 4$ und $Q(1\mid f(1))$ verläuft eine Gerade.
Diese Gerade teilt die Fläche $H$ in zwei gleichgroße Teilflächen.
Bestimme den Wert von $r$ für diesen Fall.

(5 BE)

1.5

Im Folgenden wird die Funktionenschar $f_a$ mit der Gleichung

$f_a(x)= a^2\cdot x^3 -8a\cdot x^2+16x$ mit $x\in \mathbb{R},$ $a\in \mathbb{R},$ $a\gt 0$

betrachtet. Der Graph von $f_a$ sei $G_a.$
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte von $G_a.$
Weise die Art der Extrema nach.

(8 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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1.1

$\blacktriangleright$ Punktsymmetrie untersuchen

Der Graph einer Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn für alle $x$ aus dem Definitionsbereich $f(-x)=-f(x)$ gilt.

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& ... \\[10pt] -f(x)&=& ... \end{array}$

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Es ist also $f(-x)\neq -f(x)$ , weshalb der Graph $G$ von $f$ nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sein kann.
Aussage $A$ ist also falsch.

$\blacktriangleright$ Nullstellen überprüfen

$x = 4$

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Die Funktion $f$ besitzt also genau zwei Nullstellen $x_1=0$ und $x_2 = 4.$ Diese sind ganzzahlig. Also ist die Aussage $B$ wahr.

$\blacktriangleright$ Tangenten untersuchen

Die beiden Tangenten sind parallel zueinander wenn die Steigungen gleich sind. Die Steigung einer Tangente entspricht der Steigung des Graphen an dieser Stelle. Da diese durch die 1. Ableitung $f‘$ beschrieben wird, muss also $f‘(\frac{4}{3})= f‘(4)$ gelten.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(\frac{4}{3})&=&0 \\[10pt] f‘(4)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

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Es gilt $f‘(\frac{4}{3}) = f‘(4),$ der Graph $G$ besitzt also an beiden Stellen $x_1$ und $x_2$ die gleiche Steigung. Die beiden Tangenten an $G$ in diesen Stellen sind also parallel. Aussage $C$ ist wahr.

1.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Wendepunkts berechnen

Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen $f‘‘(x)=0$ folgt:

$x_W= \frac{8}{3}$

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Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(x)&=& 6\\[5pt] f‘‘‘\left(\frac{8}{3}\right)&=& 6\neq 0 \end{array}$

Bei $x_W = \frac{8}{3}$ handelt es sich also tatsächlich um eine Wendestelle.

$f\left(\frac{8}{3}\right) = \frac{128}{27}$

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Der Wendepunkt des Graphen $G$ besitzt die Koordinaten $W\left(\frac{8}{3}\mid \frac{128}{27}\right).$

$\blacktriangleright$ Gleichung der Wendetangente bestimmen

Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ an den Graphen $G$ von $f$ im Punkt $W$ muss gelten:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $W\left(\frac{8}{3}\mid \frac{128}{27}\right)$ , also $m = f‘\left(\frac{8}{3}\right)$ .
$t$ verläuft durch den Punkt $W\left(\frac{8}{3}\mid \frac{128}{27}\right),$ also $t\left(\frac{8}{3}\right) = \frac{128}{27}.$

$m = -\frac{16}{3}$

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Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $W$ liefert:

$\frac{512}{27}= b$

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Eine Gleichung der Wendetangente lautet also $t: \; y =-\frac{16}{3} x+\frac{512}{27}$ .

1.3

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{s}$ für maximalen Flächeninhalt bestimmen

Der Skizze kann man entnehmen, dass das angegebene Dreieck die Seitenlängen $s$ und $f(s)$ besitzt. Diese Seiten stehen im rechten Winkel zueinander.
Der Flächeninhalt ergibt sich daher in Abhängigkeit von $s:$

$A(s)= \frac{1}{2} \cdot s^4 -4s^3+8s^2$

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Gesucht ist nun das Maximum von $A(s)$ für $0\lt s\lt 4.$

Grafik eines Funktionsgraphen mit einem Bereich und einer gekennzeichneten Fläche.

Abb. 1: Skizze

Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s_1&=& 2 \\[5pt] s_2&=& 4 \end{array}$

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Es gibt also zwei mögliche lokale Extremstellen, für die mit dem hinreichenden Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A‘‘(s)&=&... \\[10pt] A‘‘(2)&=& -8 \lt 0 \\[5pt] A‘‘(4)&=& 16 \gt 0 \\[5pt] \end{array}$

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Bei $s = 2$ handelt es sich also um eine lokale Maximalstelle. Bei $s=4$ handelt es sich um eine lokale Minimalstelle. Das Dreieck nimmt also den maximalen Flächeninhalt für $s=2$ an.

$A(2) =8$

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Der maximale Flächeninhalt beträgt $A= 8$ Flächeneinheiten.

1.4.1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Die beschriebene Fläche $H$ liegt oberhalb der $x$ -Achse. Ihr Inhalt $A_H$ kann daher mithilfe eines Integrals über $f$ mit den Nullstellen von $f$ als Grenzen berechnet werden:

$A_H = \frac{64}{3}$

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Der Inhalt der Fläche $H$ beträgt $\frac{64}{3}.$ Zur Berechnung wurde die Stammfunktion

$F(x) =\frac{1}{4}x^4-\frac{8}{3}x^3+\frac{16}{2}x^2$

verwendet.

1.4.2

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{r}$ bestimmen

Für $r \gt 1$ setzt sich eine der beiden Teilflächen $H_1$ wiederum aus zwei Teilflächen zusammen:

einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen $r-1$ und $f(1)$ und
der Fläche, die der Graph von $f$ im Bereich $x=0$ bis $x=1$ mit der $x$ -Achse und der Gerade mit der Gleichung $x =1$ einschließt.

Diagramm einer Funktion mit einem grün schattierten Bereich und markierten Punkten A, Q, G und Pr.

Abb. 2: Skizze

Der Inhalt von $H_1$ kann daher in Abhängigkeit von $1\leq r \lt 4$ mithilfe eines Integrals wie folgt dargestellt werden:

$A_{H_1}(r) = \frac{9}{2}\cdot (r-1)+ \frac{67}{12}$

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Die Fläche $H_1$ soll nun halb so groß sein wie $H:$

$r= \frac{115}{54}$

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Für $r=\frac{115}{54}$ teilt die Gerade durch $P_r$ und $Q$ die Fläche $H$ in zwei gleichgroße Teilflächen.

1.5

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

Für die ersten beiden Ableitungen von $f_a$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&... \\[5pt] f_a‘(x)&=&... \\[5pt] f_a‘‘(x)&=& ... \end{array}$

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Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \dfrac{4}{3a} \\[5pt] x_2&=& \dfrac{4}{a} \end{array}$

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$G_a$ besitzt also zwei mögliche Extrempunkte. Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘\left( \frac{4}{3a}\right)&=&-8a \lt 0 \\[10pt] f_a‘‘\left( \frac{4}{a}\right)&=& 8a \gt 0 \\[5pt] \end{array}$

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Bei $x_1$ besitzt $G_a$ also einen Hochpunkt und bei $x_2$ einen Tiefpunkt.

$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\dfrac{4}{3a}\right)&=& \dfrac{256}{27a}\\[10pt] f_a\left(\dfrac{4}{a}\right)&=& 0\\[10pt] \end{array}$

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$G_a$ besitzt zwei Extrempunkte: einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H\left(\frac{4}{3a}\mid \frac{256}{27a}\right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(\frac{4}{a}\mid 0\right).$

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