1 Analysis

1.1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{2} x^3-6 x.$ Ihr Graph heißt $G.$

1.1.1

Der Graph $G$ hat den Tiefpunkt $T$ und den Hochpunkt $H.$ Berechne die Koordinaten von $T$ und $H.$

Zur Kontrolle: $x$ -Koordinaten $x_H=-2 ; x_T=2$

(4 BE)

1.1.2

Zeichne $G$ für $-4 \leq x \leq 4$ in ein Koordinatensystem.

(3 BE)

1.1.3

Gib das Monotonieverhalten von $f$ an.

(2 BE)

1.1.4

Die Funktion $f$ hat die drei Nullstellen $x_1=-2 \sqrt{3} ; x_2=0$ und $x_3$ . Gib den Wert von $x_3$ an und begründe deine Angabe.

(2 BE)

1.1.5

An $G$ wird im Koordinatenursprung die Tangente $t$ gelegt. Bestimme eine Gleichung von $t.$

(2 BE)

1.1.6

Betrachtet wird die Funktionsschar $f_a(x)=\frac{1}{2} x^3-6 x+a$ mit $a \in \mathbb{R}.$ Für $a=0$ ergibt sich die Funktion $f$ aus den vorherigen Teilaufgaben. Ermittle die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit vom Wert des Parameters $a.$

(4 BE)

1.2

Ein Wasserbecken füllt sich innerhalb von $8$ Stunden in unterschiedlicher Intensität. Der Graph der reellen Funktion $w$ modelliert für $0 \leq x \leq 8$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate des Wasservolumens im Becken (siehe Abbildung). Dabei gibt $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden $(h)$ und $w(x)$ die momentane Änderungsrate in Kubikmeter pro Stunde $\left(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\right)$ an. Die Beobachtung beginnt um $0$ Uhr.

1.2.1

Es gibt zwei Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate minimal ist. Gib einen dieser Zeitpunkte an.

(1 BE)

1.2.2

Begründe mit Hilfe der Abbildung, dass das Wasservolumen im Becken zu keinem Zeitpunkt abnimmt.

(2 BE)

1.2.3

Gib zwei Zeitintervalle an, in denen die momentane Änderungsrate des Wasservolumens höchstens $8\;\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ beträgt.

(3 BE)

1.2.4

Bestimme mit Hilfe der Abbildung das Volumen des Wassers, das in den ersten zwei Stunden in das Wasserbecken einströmt.

(3 BE)

1.2.5

Die Funktion $w$ ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Ermittle eine Gleichung von $w,$ berücksichtige dazu die folgenden Eigenschaften ihres Graphen. Der Graph von $w$ hat

den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0\mid16),$
einen Tiefpunkt bei $x=2,$
einen Wendepunkt bei $x=4$ und
eine Steigung von $6$ an der Stelle $x=4.$

(6 BE)

1.2.6

Im Folgenden wird der Lösungsweg einer Aufgabe im Sachzusammenhang dargestellt.

$2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{2}w(x)\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{2}^{u}w(x)\;\mathrm dx$ $\Rightarrow u \approx 5,2$

Formuliere dazu eine passende Aufgabenstellung.

(3 BE)

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1.1

1.1.1

Für die erste Ableitung von $f$ ergibt sich:

$\(f$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da laut Aufgabenstellung zwei Extremstellen existieren, kann die Überprüfung der hinreichenden Bedingung hier vernachlässigt werden.

2. Schritt: Funktionswerte bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=&\dfrac{1}{2}\cdot2^3-6\cdot2 \\[5pt] &=&4-12 \\[5pt] &=&-8 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=&\dfrac{1}{2}\cdot(-2)^3-6\cdot(-2) \\[5pt] &=&-4+12 \\[5pt] &=&8 \end{array}$

Da die Funktion nur einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzt, muss die $y$ -Koordinate des Hochpunktes größer als die des Tiefpunktes sein. Somit folgt für die gesuchten Koordinaten $H(-2\mid8)$ und $T(2\mid-8).$

1.1.2

1.1.3

Die Funktion $f(x)$ ist monoton steigend für $x \lt -2$ sowie $x \gt 2$ und monoton fallend für $-2 \lt x \lt 2.$

1.1.4

Es gilt $x_3 = -x_1 = 2\sqrt{3},$ da $G$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

1.1.5

Die gesuchte Tangente hat die allgemeine Form $t(x)=mx+n.$ Einsetzen von $x=0$ in $\(f$ liefert für $m:$

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=&f$

Da die Tangente im Ursprung anliegt, gilt $n=0.$ Somit folgt $t(x)=-6x.$

1.1.6

$f_a(x)=\frac{1}{2} x^3-6 x+a$

$\(f_a$

Nullstellen der Ableitung bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Funktionswerte der Extremstellen berechnen

$f_a(2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2^3-6\cdot 2+a=-8+a$

$f_a(-2)=\dfrac{1}{2}\cdot (-2)^3-6(-2)+a=8+a$

Durch die unterschiedlichen Lagen der Extrempunkte ober-, unterhalb bzw. auf der $x$ -Achse ergeben sich folgende Fälle:

1 Nullstelle: $\quad a\lt -8$ oder $a\gt8$

2 Nullstellen: $a=-8$ oder $a=8$

3 Nullstellen: $-8\lt a\lt 8$

1.2

1.2.1

Ein Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate minimal ist, ist z.B. um $02:00$ Uhr.

1.2.2

Da der Graph von $w$ nie unter die $x$ -Achse fällt, ist $w(x) \geq 0$ für alle $0 \leq x \leq 8.$ Dies bedeutet, dass die Änderungsrate des Wasservolumens immer positiv oder Null ist, das Volumen also zu keinem Zeitpunkt abnimmt.

1.2.3

Zwei Zeitintervalle, in denen die momentane Änderungsrate des Wasservolumens höchstens $8\;\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ beträgt, sind $00:35$ Uhr bis $04:00$ Uhr und $07:30$ Uhr bis $08:00$ Uhr.

1.2.4

Das Volumen des Wassers, das in den ersten zwei Stunden in das Wasserbecken einströmt, ist das Integral der Änderungsrate von $0$ bis $2.$
Aus der Abbildung geht hervor, dass das ungefähr 20 Kästchen entspricht. Da 4 Kästchen $1\;\text{h}\cdot2\;\frac{\text{m}^3}{\text{h}}=2\;\text{m}^3$ entspricht, folgt somit eine eingeströmte Wassermenge von $5\cdot2=10\;[\text{m}^3].$

1.2.5

Da $w$ eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist, hat ihre allgemeine Funktionsgleichung die Form $w(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.$ Einsetzen des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse liefert:

$\begin{array}[t]{rll} w(0)&=&16 \\[5pt] a\cdot0^3 + b\cdot0^2 + c\cdot0 + d&=&16 \\[5pt] d&=&16 \end{array}$

Für die ersten beiden Ableitungen von $w$ folgt:

$\(w$

Einsetzen der Wendepunktbedingung $\(w$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Die restlichen beiden Bedingungen liefern $\(w$ und $\(w$ Durch Einsetzen von $b=-12a$ folgt insgesamt:

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Abziehen der ersten Gleichung von der zweiten liefert $6=-12a$ und damit $a=-\frac{1}{2}.$ Somit folgt $b=-12\cdot(-\frac{1}{2})=6$ und durch Einsetzen von $a$ in $-36a+c=0$ ergibt sich für $c:$

$\begin{array}[t]{rll} -36\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+c&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-18\\[5pt] c&=&-18 \end{array}$

Einsetzen aller Werte liefert folgende Funktionsgleichung für $w:$

$w(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+6x^2-18x+16$

1.2.6

„Berechne die Anzahl der Stunden nach Beobachtungsbeginn, für die die Menge des zugeflossenen Wassers seit 02:00 Uhr doppelt so groß ist wie die in den ersten zwei Stunden zugeflossenen Menge.“

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