Analysis

Gegeben sind die Funktion $f$ und ihre erste Ableitungsfunktion $\(f$ mit den Gleichungen $f(x)=(2x-2)\cdot\mathrm e^x$ und $\(f$ sowie $x\in\mathbb{R}.$ Der Graph von $f$ ist $G,$ dieser ist in der Abbildung dargestellt.

1.1

Zeige, dass $x=1$ die Nullstelle von $f$ ist.

(1 BE)

1.2

$G$ hat einen Tiefpunkt.
Bestimme die Koordinaten dieses Tiefpunkts.

(2 BE)

1.3

Im Wendepunkt $(-1\mid f(-1))$ wird die Tangente $t$ an $G$ gelegt.
Ermittle rechnerisch eine Gleichung von $t.$

(3 BE)

1.4

$F(x)=(2x-4)\cdot\mathrm e^x$ ist eine Stammfunktion von $f.$
Berechne den Inhalt der Fläche, die im vierten Quadranten durch $G$ und die Koordinatenachsen vollständig begrenzt wird.

(2 BE)

1.5

Betrachtet werden die Funktionen $g_m(x)=m\cdot x-m.$ Jeder Graph von $g_m$ verläuft durch den Punkt $(1\mid 0).$
Begründe, dass für alle negativen Werte von $m$ der Graph von $g_m$ jeweils nur einen Punkt mit $G$ gemeinsam hat.

(2 BE)

Gegeben ist eine Funktion $f$ durch die Gleichung $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+24x$ mit $x\in\mathbb{R}.$
Der Graph von $f$ ist $G.$

2.1

Zeige, dass die Funktion $f$ nur die Nullstelle $x=0$ hat.
Berechne die Koordinaten der Extrem- und der Wendepunkte von $G.$
Weise die Art der Extrema nach.

(8 BE)

2.2

Im Punkt $(2\mid f(2))$ wird die Tangente $t$ an $G$ gelegt.
Berechne die Größe des Winkels, unter dem $t$ die $x$ -Achse schneidet.
Begründe, dass eine zu $t$ parallele Tangente an $G$ existiert.

(4 BE)

2.3

Der Graph $G,$ die $x$ -Achse und die Gerade $x=6$ schließen eine Fläche vollständig ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

(3 BE)

2.4

Die Kosten, die einer Firma bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Kostenfunktion $K$ mit $K(x)=\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+24x$ für $0\leq x\leq 11$ beschrieben werden. Die Funktionsterme von $K$ und $f$ sind gleich.
Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in Euro an, die bei der Produktion von $x$ Litern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Die Funktion $E_p$ mit $E_p(x)=p\cdot x$ gibt für $p\in\mathbb{R}^+$ und $x\geq 0$ den Erlös beim Verkauf von $x$ Litern in Euro an. Für die Gewinnfunktion gilt $G_p(x)=E_p(x)-K(x).$

2.4.1

Zeichne die Graphen von $K$ und $E_8$ im Intervall $0\leq x\leq 11$ in ein Koordinatensystem.

(4 BE)

2.4.2

Beschreibe die gegenseitige Lage der Graphen von $K$ und $E_8$ in diesem Intervall. Leite die entsprechende Schlussfolgerungen hinsichtlich des erzielten Gewinns ab.

(4 BE)

2.4.3

Berechne für $p=8$ den Wert von $x$ , für den ein maximaler Gewinn erzielt wird.

(5 BE)

2.4.4

Interpretiere den Wert von $\(K$ im Sachzusammenhang.

(3 BE)

2.4.5

Es gibt einen kleinsten Wert von $p$ so, dass der Verkauf einer Flüssigkeitsmenge gerade noch verlustfrei erfolgen kann.
Zeichne den Graphen dieser Funktion $E_p$ ein.
Bestimme mithilfe dieser grafischen Darstellung den Wert von $p.$

(4 BE)

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1.1

$f(1)=(2\cdot 1-2)\cdot\mathrm e^1=0$

1.2

Notwendige Bedingung:

$\(f$ also $2x\cdot\mathrm e^x=0$ und somit $x=0.$

Hinreichende Bedingung:

$\(f$

$\(f$ $=2\gt0,$ also folgt daraus, dass ein Tiefpunkt vorliegen muss.

Koordinaten berechnen: $f(0)=(2\cdot 0-2)\cdot\mathrm e^0$ $=-2$

$T(0\mid -2)$

1.3

$t:y=m\cdot x+c$

$\(m=f$ $=-\dfrac{2}{\mathrm e}$

Zudem gilt: $f(-1)=(2\cdot(-1)-2)\cdot \mathrm e^{-1}$ $=-\dfrac{4}{\mathrm e}$

Beides in $t$ eingesetzt ergibt:

$-\dfrac{4}{\mathrm e}=-\dfrac{2}{\mathrm e}\cdot(-1)+c,$ somit $c=-\dfrac{6}{\mathrm e}$

$t:y=-\dfrac{2}{\mathrm e}x-\dfrac{6}{\mathrm e}$

1.4

$A=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx\right|=$ $\left|F(1)-F(0)\right|=\left|-2\mathrm e-(-4)\right|$ $=2\mathrm e-4\,[\text{FE}]$

1.5

Für negative Werte von $m$ verlaufen alle Graphen von $g_m$ monoton fallend durch den Punkt $(1\mid 0)$ und somit für $x\lt 1$ oberhalb und für $x\gt 1$ unterhalb der $x$ -Achse.

$G$ hingegen mit nur einer Nullstelle bei $x=1$ verläuft für kleinere Werte als $1$ unterhalb und für größere Werte von $x$ oberhalb der $x$ -Achse. Es kann also keine weiteren Schnittpunkte geben.

2.1

Zeigen, dass $f$ nur eine Nullstelle hat

$f(0)=0$

$\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+24x=0$

$x\cdot\left(\dfrac{1}{3}x^2-5x+24\right)=0$

$x_1=0$

Der zweite Faktor mit $3$ multipliziert ergibt:

$x^2-15x+72=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-15}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-15}{2}\right)^2-72} \\[5pt] &=& 7,5 \pm \sqrt{-15,75} \end{array}$

Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.

Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte berechnen
Extrempunkte

$\(f$

Notwendige Bedingung:

$\(f$

$x^2-10x+24=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-24}\\[5pt] x_{1,2}&=& 5 \pm \sqrt{25-24} \end{array}$

$x_1=6,$ $x_2=4$

Hinreichende Bedingung:

$\(f$ also liegt hier ein lokales Minimum vor

$\(f$ also liegt hier ein lokales Maximum vor

$f(6)=\dfrac{1}{3}\cdot 6^3-5\cdot 6^2+24\cdot 6=36$

$f(4)=\dfrac{1}{3}\cdot 4^3-5\cdot 4^2+24\cdot 4=\dfrac{112}{3}$

$T(6\mid 36),$ $H\left(4\,\bigg\vert\, \dfrac{112}{3}\right)$

Wendepunkt(e)

Notwendige Bedingung:

$\(f$

$2x-10=0,$ also $x=5$

Hinreichende Bedingung:

$\(f$

$f(5)=\dfrac{1}{3}\cdot 5^3-5\cdot 5^2+24\cdot 5$ $=\dfrac{110}{3}$

$W\left(5\,\bigg\vert\, \dfrac{110}{3}\right)$

2.2

Größe des Winkels berechnen

Steigung im Punkt $(2\mid f(2))$ berechnen: $\(f$ $=8$

$\tan{(\alpha)}=8,$ daraus folgt $\alpha\approx 83^\circ$

Begründen, dass eine zu $t$ parallele Tangente existiert

Der Graph der Ableitungsfunktion ist eine Parabel, d.h. jeder Funktionswert außer dem des Scheitelpunkts bei $x=2$ tritt zweimal auf.
Da $2\neq x_W=5$ gibt es einen weiteren Punkt auf $G,$ an dem eine Tangente parallel zu $t$ verläuft.

2.3

$A=\displaystyle\int_{0}^{6}f(x)\;\mathrm dx$ $=\left[\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac{5}{3}x^3+12x^2 \right]_0^6$ $=108-360+432-0=180\,[\text{FE}]$

2.4.1

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2.4.2

Die Graphen schneiden sich im Koordinatenursprung, dann bei 4,6 und nochmal bei 10,4. Zwischen dem Koordinatenursprung und der Stelle 4,6 verläuft der Graph von $K$ oberhalb von $E_8,$ zwischen der Stelle 4,6 und 10,4 unterhalb von $E_8$ .

Dsa Unternehmen erzielt Gewinn, wenn mehr als 4,6 bzw. weniger als 10,4 Liter Flüssigkeit hergestellt und verkauft werden.

2.4.3

$G(x)=E_8(x)-K(X)$ $=8x-\left(\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+24x\right)$ $=-\dfrac{1}{3}x^3+5x^2-16x$

$\(G$

Notwendige Bedingung:

$\(G$

$-x^2+10x-16=0\quad\scriptsize\mid\cdot(-1)$

$x^2-10x+16=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-16} \\[5pt] &=&5\pm3 \end{array}$

$x_1=8,$ $x_2=2$

Hinreichende Bedingung:

$\(G$ also liegt ein lokales Maximum vor

$\(G$ also liegt ein lokales Minimum vor

Das Unternehmen erzielt bei 8 Liter den maximalen Gewinn.

2.4.4

$\(K$ $=15$

Die momentane Änderungsrate der Kostenfunktion für $x=9$ beträgt 15, d.h. die Kosten steigen für kleine Änderungen der Produktion um 15 Euro pro mehr produziertem Liter der Flüssigkeit an.

2.4.5

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Analysis Kosten/Gewinn Lösung

Mit Hilfe der Koordinaten eines Punktes $T(10\mid 52)$ wird der Wert für $p$ näherungsweise mit $\frac{52}{10}=5,2$ bestimmt.

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