Analytische Geometrie

Die Eckpunkte eines Holzkörpers werden durch A $(0 \mid 0\mid0)$ , B $(10\mid 0 \mid 0)$ , C $(10\mid 10\mid 0)$ , D $(0\mid 10 \mid 0)$ und E $( 0 \mid 10 \mid 6)$ dargestellt (vgl. Abbildung).
Die Punkte B, D und E liegen im Modell in der Symmetrieebene des Körpers.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.

3D-Diagramm eines Quaders mit den Punkten A, B, C, D, E und den Achsen x, y, z.

2.1

Zeige, dass das Dreieck BCE rechtwinklig ist, und berechne den Inhalt der Oberfläche des Holzkörpers.

(5 BE)

2.2

Bestimme eine Gleichung der Ebene L, in der das Dreieck BCE liegt, in Koordinatenform.

(3 BE)

2.3

Die quadratische Grundfläche des Holzkörpers schließt mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck BCE dargestellt wird, einen Winkel ein.
Berechne die Größe dieses Winkels.

(2 BE)

2.4

Der Holzkörper soll mit einer möglichst kurzen Linie versehen werden, die im Modell vom Eckpunkt A über die Kante $\overline{BE}$ zum Punkt C verläuft. Die Länge dieser Linie in Zentimetern kann folgendermaßen ermittelt werden:

$P(10-10 t \mid 10t\mid 6t)$

$\overrightarrow{PC} \circ \overrightarrow{PB} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{25}{59}$

$2 \, \cdot \mid \overrightarrow{PC} \mid \approx 15,2$

Erläutere dieses Vorgehen.

(4 BE)

2.5

Der Schnittpunkt der Ebene L mit der $z$ -Achse wird mit F bezeichnet.

2.5.1

Zeichne F sowie die Geraden, in denen L die $xz$ - und die $yz$ -Ebene schneidet, in die Abbildung ein.

(2 BE)

2.5.2

Ermittle, um wie viel Prozent das Volumen des Körpers ABCDEF größer ist als das Volumen des Körpers ABCDE, ohne für diese Volumina konkrete Werte zu berechnen.

(4 BE)

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2.1

1. Schritt: Rechten Winkel nachweisen
Ein rechter Winkel zwischen zwei Vektoren liegt vor, wenn das Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow{CB}\circ\overrightarrow{CE} = \pmatrix{0\\-10\\0} \circ \pmatrix{-10\\0\\6}$ $= 0\cdot(-10)+(-10)\cdot0+0\cdot6$ $= 0$

2. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
Die Oberfläche setzt sich aus der Grundfläche und den vier Seitenflächen zusammen. Der Inhalt der Grundfläche beträgt $\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BC} \mid = 10 \cdot 10 = 10^2.$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 10^2+ 10 \cdot \mid \overline{CE}\mid+ 10 \cdot 6 & \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 277 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt beträgt etwa $277$ cm $^2$ .

2.2

1. Schritt: Normalenvektor berechnen
Durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{CB}$ und $\overrightarrow{CE}$ lässt sich ein Normalenvektor der Ebene berechnen.

$\overrightarrow{CB} \times \overrightarrow{CE} = \pmatrix{10-10\\0-10\\0-0} \times \pmatrix{0-10\\10-10\\6-0}$ $= \pmatrix{0\\-10\\0} \times \pmatrix{-10\\0\\6} = \pmatrix{-60 \\ 0 \\ -100}$

2. Schritt: Koordinatenform bestimmen

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$-60 \cdot x + 0 \cdot y - 100 \cdot z= -600$

Damit folgt die Koordinatenform:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x + \dfrac{5}{3} \cdot z = 10$

2.3

Der Winkel zwischen den beiden Flächen entspricht gerade dem Winkel zwischen den Kanten $\overline{CD}$ und $\overline{CE}.$ Da das Dreieck $CDE$ rechtwinklig im Punkt $D$ ist, lässt sich der Winkel wie folgt berechnen:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 31^°$

Der Winkel zwischen den beiden Flächen beträgt etwa $31^°.$

2.4

$P$ ist der Punkt, der auf der Kante $\overline{BE}$ liegt. Damit lässt sich $P$ durch $P (10 - 10t \mid 10t \mid 6t),$ mit $t \in [0;1]$ beschreiben.
Die gesuchte Linie soll möglichst kurz sein. Deshalb muss das Skalarprodukt $\overrightarrow{PC}\circ\overrightarrow{PB}$ gleich $0$ sein, damit die Strecke $\overline{PC}$ senkrecht zu $\overline{PB}$ liegt. Damit lässt sich $t$ bestimmen.
Aufgrund der Symmetrie des Körpers beträgt die Länge der gesuchten Linie $2 \cdot \mid \overrightarrow{PC} \mid .$

2.5.1

Grafik eines dreidimensionalen Körpers mit Achsenbeschriftungen x, y, z und Punkten A, B, C, D, E, F.

2.5.2

1. Schritt: Volumen des Körpers $ABCDE$
Beim Körper $ABCDE$ handelt es sich um eine Pyramide. Für das Volumen gilt:

$V_{ABCDE}=\dfrac{1}{3}\cdot\mid\overline{AB}\mid^2\cdot \mid\overline{DE}\mid{}$

2. Schritt: Volumen des Körpers $ABCDEF$
Beim Körper $ABCDEF$ handelt es sich um einen (diagonal) halbierten Quader. Also gilt: $\begin{array}[t]{rll} V_{ABCDEF}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\mid\overline{AB}\mid^2\cdot \mid\overline{DE}\mid{}& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Volumenunterschied bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{V_{ABCDEF}}{V_{ABCDE}}&=&\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} \qquad \scriptsize \mid \cdot V_{ABCDE} \\[5pt] V_{ABCDEF} &=& \dfrac{3}{2} \cdot V_{ABCDE} \quad \scriptsize \\[5pt] V_{ABCDEF} &=& V_{ABCDE}+\dfrac{1}{2} \cdot V_{ABCDE} \quad \scriptsize \\[5pt] V_{ABCDEF} &=& V_{ABCDE}+50 \% \cdot V_{ABCDE} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Somit ist das Volumen des Körpers $ABCDEF$ um $50\%$ größer als das Volumen des Körpers $ABCDE$ .

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