Wahlteil A2

Stelle das Modell in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

Ermittle eine Koordinatengleichung für die Ebene
Berechne den Neigungswinkel der Ebene bezüglich der Grundfläche

Zeige, dass folgende Aussagen wahr sind.

• Das Viereck ist ein Trapez.
• Das Dreieck ist rechtwinklig.

Berechne das Verhältnis der Volumina
Bestimme, wie viele Quadratmeter Blech für die Herstellung der drei Seitenflächen des Abstellraumes mindestens benötigt werden.

Ein nasser Ball rollt von der Mitte der Strecke zur Mitte der Strecke und hinterlässt dabei eine geradlinige Spur.
Diese Spur kann mit Hilfe einer Geraden beschrieben werden.
Gib eine Gleichung für an.
Prüfe, ob der Punkt auf der Geraden liegt.
Weise nach, dass innerhalb des Vierecks liegt. Berechne den Abstand des Punktes von der Ebene

Eine Firma fertigt Blechteile für den Abstellraum als Massenware.
Die Fehlerquote beträgt dabei Der laufenden Produktion werden nacheinander Blechteile zufällig entnommen und untersucht, ob sie einwandfrei oder defekt sind.

Begründe, dass man dieses Experiment als Bernoulli-Kette beschreiben kann.

Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.

• Alle Blechteile sind einwandfrei.
• Höchstens ein Blechteil ist defekt.

  Modell darstellen

  Koordinatengleichung ermitteln Die Ebene soll die vier Punkte und enthalten. Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich beispielsweise mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren dieser Punkte: Da für den Normalenvektor nur die Richtung, nicht aber die Länge von Bedeutung ist, kann auch der gekürzte Vektor verwendet werden Eine vorläufige Koordinatengleichung von lautet damit: kann nun mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von ermittelt werden: Eine Koordinatengleichung von lautet:   Neigungswinkel berechnen Die Punkte und haben dieselbe -Koordinate und liegen daher alle in der -Ebene. Da die Grundfläche in der -Ebene liegt, kann der Neigungswinkel von bezüglich der Grundfläche über den Schnittwinkel von bezüglich der -Ebene berechnet werden. Mit dem Normalenvektor von und der -Ebene, folgt mithilfe der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen: ist gegenüber der Grundfläche um ca. geneigt.

  Trapezform nachweisen Damit das Viereck ein Trapez ist, müssen zwei gegenüberliegende Seiten parallel sein. Dies ist der Fall, wenn die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig, also Vielfache voneinander sind. Es gilt: Für ist diese Gleichung erfüllt, und sind also linear abhängig und somit parallel. Damit sind auch die beiden Seiten und parallel. Das Viereck ist also ein Trapez.   Rechtwinkligkeit nachweisen Die Vektoren und und damit auch die Seiten und des Dreiecks stehen senkrecht zueinander. Das Dreieck besitzt also bei einen rechten Winkel und ist damit rechtwinklig.

  Verhältnis der Volumina berechnen Das Carport hat die Form eines Prismas mit der trapezförmigen Grundfläche Da alle Eckpunkte des Trapezes die gleiche -Koordinate haben, ist das Trapez parallel zur -Ebene. Da alle Eckpunkte der Deckfläche die -Koordinate haben, liegt die Deckfläche vollständig in der -Ebene.
Die Höhe des Prismas ist daher Die Seite des Trapezes liegt in der -Ebene und parallel zur -Achse, da beide Punkte und die gleiche -Koordinaten und -Koordinaten haben.
Die Seiten und des Trapezes sind senkrecht zur -Ebene. Das Trapez besitzt also in und jeweils einen rechten Winkel. Die Höhe des Trapezes ist daher die Länge der Strecke Der Flächeninhalt der Grundfläche, also des Trapezes ergibt sich daher zu: Das Volumen des Prismas das das Carport darstellt ergibt sich daher wie folgt: Das Carport besitzt also ein Volumen von Der Abstellraum wird ebenfalls durch ein Prisma mit der Höhe dargestellt. Die Grundfläche bildet das Dreieck Dieses besitzt wie im letzten Aufgabenteil gezeigt einen rechten Winkel bei
Der Flächeninhalt der Grundfläche des zweiten Prismas ergibt sich daher wie folgt: Damit lässt sich das Volumen des zweiten Prismas berechnen, das den Abstellraum darstellt: Der Abstellraum hat also ein Volumen von Die beiden Volumina stehen im Verhältnis .   Menge an Material berechnen Die beiden dreieckigen Seitenflächen sind gleichgroß. Eine von beiden wird im Modell durch das Dreieck dargestellt. Die beiden dreieckigen Seitenflächen besitzen also jeweils eine Größe von
Die dritte Seitenfläche wird durch das Rechteck dargestellt. Der zugehörige Flächeninhalt ergibt sich wie folgt: Die rechteckige Seitenfläche ist also groß. Insgesamt werden Blech benötigt.

  Geradengleichung angeben Mit der Formel zur Berechnung des Ortsvektors des Mittelpunkts einer Strecke folgt: Die Gerade soll also durch die beiden Punkte und verlaufen. Als Richtungsvektor kann und als Stützvekor einer der beiden Ortsvektoren, beispielsweise gewählt werden:   Punktprobe durchführen Wegen der zweiten Zeile ist die Gleichung nicht gültig. Der Punkt liegt damit nicht auf der Geraden   Lage des Punkts nachweisen Betrachtet werden die beiden Dreiecke und Liegt innerhalb eines der beiden Dreiecke, liegt er auch in dem Viereck liegt innerhalb des Dreiecks wenn es und mit gibt, sodass folgende Gleichung erfüllt ist: Einsetzen liefert: Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: Einsetzen der Lösung aus in liefert: Einsetzen in die dritte Gleichung zur Probe liefert: Die dritte Gleichung ist also auch erfüllt. Zudem ist Der Punkt liegt also innerhalb des Dreiecks und damit auch innerhalb des Vierecks   Abstand zur Ebene berechnen Der Abstand des Punkts zur Ebene kann mit Hlfe der Hesseschen-Normalenform von bestimmt werden: Der Abstand von zur Ebene beträgt ca.

  Bernoulli-Kette begründen Die Untersuchung jedes einzelnen Blechteils kann als Bernoulli-Versuch dargestellt werden, da bei jedem dieser Teile eindeutig zwischen „defekt“ und „einwandfrei“ unterschieden wird.
Da die Fehlerquote auf die gesamte laufende Produktion gesehen beträgt, kann diese als Wahrscheinlichkeit dafür angesehen werden, dass ein zufällig ausgewähltes Blechteil defekt ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Blechteil unabhängig von den Ergebnisses bei den anderen Blechteilen aus der Stichprobe gleich. Aufgrund der Unabhängigkeit der einzelnen Bernoulli-Versuche kann das Experiment daher als Bernoulli-Versuch beschrieben werden.

  Wahrscheinlichkeit berechnen Betrachtet wird die Zufallsvariable die die zufällige Anzahl der defekten Blechteile in der Stichprobe von zufällig ausgewählten Blechteilen beschreibt. Diese kann wegen Aufgabenteil 2.6.1 als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern und Mit der entsprechenden Formel für die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. sind alle Blechteile einwandfrei. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. ist höchstens ein Blechteil defekt.