Pflichtaufgabe A0

1 Analysis

Gegeben ist die Zahlenfolge $(a_k)$ mit $a_{k+1} = a_k +4$ und $a_3 = 17$ , wobei $k\in \mathbb{N}$ , $k \gt; 0$ gilt.

1.1

Berechne $a_5$ .

(2 BE)

1.2

Die Glieder von $(a_k)$ können auch mit Hilfe der Gleichung $a_k = t\cdot k + r$ $(t,r \in \mathbb{R})$ berechnet werden. Bestimme die Werte für $t$ und $r$ .

(3 BE)

2 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=-x^2+1$ und $x \in \mathbb{R}$ . Ihr Graph ist $G$ .

2.1

Berechne die Stelle $x$ , an der die Gerade mit der Gleichung $y = -3x +\frac{13}{4}$ eine Tangente an $G$ ist.

(2 BE)

2.2

Die $x$ -Achse und $G$ begrenzen eine Fläche vollständig. Begründe, dass der Inhalt dieser Fläche kleiner als $2$ ist.

(3 BE)

3 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(4\mid 2\mid 6)$ , $B(6\mid 3\mid 8)$ und für jeden Wert von $z\in \mathbb{R}$ ein Punkt $C(2\mid 1\mid z)$ .

3.1

Bestimme $z$ so, dass der Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ liegt.

(2 BE)

3.2

Der Punkt $A$ liegt in der Ebene $E: x+2y+2z = 20$ .

Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der einen Abstand von $6$ zu dieser Ebene besitzt.

(3 BE)

4 Stochastik

In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit den Zahlen $1$ , $2$ , $3$ und $4$ beschriftet sind. Zwei Kugeln werden mit einem Griff gezogen. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln an.

4.1

Begründe, dass die Wahrscheinlihckeit der Werte von $X$ nicht gleichverteilt sind.

(2 BE)

4.2

Bestimme den Erwartungswert von $X$ .

(3 BE)

1 Analysis

1.1

$\blacktriangleright$ Folgenglied berechnen

Die Zahlenfolge $(a_k)$ ist mit $a_{k+1}= a_k +4$ und $a_3 =17$ gegeben. Du sollst $a_5$ berechnen. Berechne dazu zunächst $a_4$ ausgehend von $a_3$ , indem du $a_3$ in die Gleichung einsetzt. Anschließend kannst du auf dem gleichen Weg $a_5$ mit Hilfe von $a_4$ berechnen.

$a_4 = 21$

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$a_5 = 25$

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Es ist $a_5 = 25$ .

1.2

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

Die Glieder der Folge $(a_k)$ sollen mit der Gleichung $a_k = t\cdot k +r$ dargestellt werden. Gesucht sind die Parameterwerte $t$ und $r$ . Du hast also zwei Unbekannte und kennst bereits die beiden Glieder $a_3 = 17$ und beispielsweise $a_5 = 25$ . Damit kannst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von $t$ und $r$ aufstellen. Dies ist dann ein lineares Gleichungssystem, das du lösen kannst.

Setze also in die Gleichung ein:

$t = 4$

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Setze diese Lösung für $t$ in $\text{I}$ ein. Die Gleichung kannst du dann nach $r$ lösen.

$r =5$

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Die Werte sind also $t = 4$ und $r = 5$ .

2 Analysis

2.1

$\blacktriangleright$ Stelle berechnen

Du hast die Gleichung der Funktion $f$ gegeben und sollst die Stelle $x$ berechnen, an der die Gerade mit $y = -3x +\frac{13}{4}$ eine Tangente an den Graphen $G$ von $f$ ist. Eine Tangente $t$ an der Stelle $x$ ist eine Gerade mit folgenden Bedingungen:

$t$ besitzt die gleiche Steigung $m_t$ wie $G$ an der Stelle $x$ .
$t$ besitzt an der Stelle $x$ den gleichen Funktionswert wie $f$ .

Die Steigung von $G$ wird über die erste Ableitung von $f$ beschrieben. Die Steigung der Gerade, kannst du direkt aus der Geradengleichung ablesen. Stelle mit Hilfe einer der Bedingungen eine Gleichung in Abhängigkeit von $x$ auf und überprüfe anschließend, ob an der Stelle auch die zweite Bedingung erfüllt ist.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& -2x \\[5pt] -2x&=& -3 \\[5pt] x&=& \frac{3}{2} \end{array}$

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An der Stelle $x = \frac{3}{2}$ besitzen $G$ und die Gerade also die Gleiche Steigung. Überprüfe nun noch den Funktionswert:

$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{3}{2}\right)&=& -\frac{5}{4} \\[10pt] y&=& -\frac{5}{4} \end{array}$

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An der Stelle $x = \frac{3}{2}$ stimmen also sowohl Steigung als auch Funktionswert von $G$ und der Gerade überein. An der Stelle $x = \frac{3}{2}$ ist die Gerade mit der Gleichung $y = -3x+\frac{13}{4}$ eine Tangente an $G$ .

2.2

$\blacktriangleright$ Begrenzung des Flächeninhalts begründen

Der Graph $G$ und die $x$ -Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Du sollst nun begründen, dass der Inhalt der Fläche kleiner als $2$ ist. Bei dem Graphen von $G$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel, die entlang der $y$ -Achse um eine Einheit nach oben verschoben ist.

Eine Skizze kann dir bei der Begründung helfen. Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten $S(0\mid 1)$ . Der Graph schneidet an den Stellen $x_1 =-1$ und $x_2 =1$ die $x$ -Achse. Die Fläche, die der Graph mit der $x$ -Achse einschließt liegt vollständig innerhalb des Rechtecks, das von den Geraden $x_1 =-1$ , $x_2 = 1$ und $y =1$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, füllt dieses aber nicht aus.

Graf einer parabolischen Funktion auf einem Koordinatensystem mit grünem Verlauf.

Abb. 1: Skizze von $G$

Dieses Rechteck hat den Flächeninhalt $2$ . Damit muss der Inhalt der Fläche, die von $G$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird kleiner als der des Rechtecks, also kleiner als $2$ sein.

3 Analytische Geometrie

3.1

1. Schritt: Gleichung der Geraden $AB$ aufstellen

$\overrightarrow{AB}= \pmatrix{6\\3\\8}- \pmatrix{4\\2\\6} = \pmatrix{2\\1\\2 }$

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB}\\[5pt] &=& \pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen

Durch Einsetzen des Ortsvektors von Punkt $C$ in die Geradengleichung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC} &=&\pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \pmatrix{2\\1\\z} &=& \pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \end{array}$

Aus der $x$ -Koordinate der Gleichung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 2&=&4 +t\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -2&=& 2t &\quad \scriptsize \mid\;: 2 \\[5pt] -1&=&t \end{array}$

Aus der $z$ -Koordinate folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} z&=&6+ t\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; t= -1 \\[5pt] &=&6+ (-1)\cdot 2 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Für $z = 4$ liegt der Punkt $C$ somit auf der Geraden $AB.$

3.2

1. Schritt: Normalenvektor der Ebene bestimmen

Ein Normalenvektor der Ebene kann direkt aus der Koordinatenform abgelesen werden:

$\overrightarrow{n}= \pmatrix{1\\2\\2}$

Die Länge des Normalenvektors beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{n}\right| &=&\sqrt{1^2+2^2+2^2} & \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

2. Schritt: Punkt mit dem Abstand 6 ermitteln

Durch zweifaches Addieren des gewählten Normalenvektors der Ebene zu den Koordinaten des Punktes $A$ ergeben sich die Koordinaten eines Punktes mit dem Abstand $6$ zur Ebene:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{n} & \\[5pt] &=& \pmatrix{6\\6\\10} \end{array}$

Der Punkt $P(6\mid 6\mid 10)$ hat folglich den Abstand $6$ zur Ebene $E.$

4 Stochastik

4.1

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die Wahrscheinlichkeit nicht gleichverteilt ist

Du sollst begründen, dass die Wahrscheinlichkeit von $X$ nicht gleichverteilt ist. Gleichverteilung bedeutet, dass jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Finde also zwei mögliche Werte von $X$ , die unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.

Betrachte das Experiment als Ziehen ohne Zurücklegen.
Das Ergebnis $X=3$ kann beispielsweise nur eintreten, wenn entweder zuerst die Kugeln $1$ und dann die Kugel $2$ oder zuerst die Kugel $2$ und dann die Kugel $1$ gezogen wird. Es hat folglich die Wahrscheinlichkeit $2\cdot \frac{1}{4} \cdot {1}{3} = \frac{1}{6}$ .

Für das Ergebnis $X= 5$ gibt es allerdings zwei mögliche Kombinationen: Entweder es werden die Kugeln $1$ und $4$ oder die Kugeln $2$ und $3$ zusammen gezogen. Dieses hat damit die Wahrscheinlichkeit $2\cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ .

Es gilt also:

$P(X=3) = \frac{1}{6}$
$P(X=5) = \frac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit der Werte von $X$ ist damit nicht gleichverteilt.

4.2

$\blacktriangleright$ Erwartungswert bestimmen

Den Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsvariable $X$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=&x_1\cdot P\left(X= x_1\right) \\[5pt] &+& x_2\cdot P\left(X= x_2\right) \\[5pt] &+&... \\[5pt] &+&x_n\cdot P\left(X=x_n\right) \end{array}$

Dabei sind $x_1$ bis $x_n$ die möglichen Werte, die $X$ annehmen kann.

$E(X) =5$

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Der Erwartungswert von $X$ beträgt $E(X)=5$ .

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